Kako najti splošne in posebne rešitve sistema linearnih enačb.

rešitev To naredimo s pomočjo kalkulatorja. Izpišimo razširjeno in glavno matriko:

Glavna matrika A je ločena s pikčasto črto. Na vrhu zapišemo neznane sisteme, pri čemer upoštevamo možno preureditev členov v enačbah sistema. Z določitvijo ranga razširjene matrike hkrati najdemo rang glavne. V matriki B sta prvi in ​​drugi stolpec sorazmerna. Od dveh proporcionalnih stolpcev lahko samo eden sodi v osnovni mol, zato premaknimo na primer prvi stolpec za pikčasto črto z nasprotnim predznakom. Za sistem to pomeni prenos členov iz x 1 na desno stran enačb.

Zmanjšajmo matriko na trikotno obliko. Delali bomo samo z vrsticami, saj množenje vrstice matrike s številom, ki ni nič, in njeno dodajanje drugi vrstici za sistem pomeni množenje enačbe z istim številom in seštevanje z drugo enačbo, kar pa ne spremeni rešitve sistem. Delamo s prvo vrstico: prvo vrstico matrike pomnožimo z (-3) in po vrsti dodamo drugi in tretji vrstici. Nato pomnožite prvo vrstico z (-2) in jo dodajte četrti.

Druga in tretja vrstica sta sorazmerni, zato lahko eno od njiju, na primer drugo, prečrtamo. To je enakovredno prečrtanju druge enačbe sistema, saj je posledica tretje.

Zdaj delamo z drugo vrstico: pomnožimo jo z (-1) in dodamo tretji.

Minor, obkrožen s pikčasto črto, ima najvišji red (možnih minorov) in je različen od nič (je enak zmnožku elementov na glavni diagonali) ter pripada tako glavni kot razširjeni matriki. , torej rangA = rangB = 3.
Minor je osnovna. Vključuje koeficiente za neznanke x 2 , x 3 , x 4 , kar pomeni, da so neznanke x 2 , x 3 , x 4 odvisne, x 1 , x 5 pa proste.
Transformirajmo matriko in pustimo le bazni minor na levi (ki ustreza točki 4 zgornjega algoritma rešitve).

Sistem s koeficienti te matrike je enakovreden izvirnemu sistemu in ima obliko

Z metodo izločanja neznank ugotovimo:
, ,

Dobili smo relacije, ki izražajo odvisne spremenljivke x 2, x 3, x 4 preko prostih x 1 in x 5, torej smo našli splošno rešitev:

S pripisovanjem poljubnih vrednosti prostim neznankam dobimo poljubno število delnih rešitev. Poiščimo dve posebni rešitvi:
1) naj bo x 1 = x 5 = 0, potem je x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) postavite x 1 = 1, x 5 = -1, nato x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Tako sta bili najdeni dve rešitvi: (0,1,-3,3,0) – ena rešitev, (1,4,-7,7,-1) – druga rešitev.

Primer 2. Raziščite združljivost, poiščite splošno in eno posebno rešitev za sistem

rešitev. Preuredimo prvo in drugo enačbo tako, da bo ena v prvi enačbi, in zapišimo matriko B.

V četrtem stolpcu dobimo ničle, tako da operiramo s prvo vrstico:

Zdaj dobimo ničle v tretjem stolpcu z uporabo druge vrstice:

Tretja in četrta vrstica sta sorazmerni, zato lahko eno od njiju prečrtamo, ne da bi spremenili rang:
Pomnožite tretjo vrstico z (–2) in jo dodajte četrti:

Vidimo, da sta ranga glavne in razširjene matrice enaka 4, rang pa sovpada s številom neznank, zato ima sistem edinstveno rešitev:
;
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.

Primer 3. Preverite združljivost sistema in poiščite rešitev, če obstaja.

rešitev. Sestavimo razširjeno matriko sistema.

Prvi dve enačbi preuredimo tako, da je v zgornjem levem kotu 1:
Pomnožimo prvo vrstico z (-1) in jo dodamo tretji:

Pomnožite drugo vrstico z (-2) in jo dodajte tretji:

Sistem je nekonsistenten, saj smo v glavni matriki dobili vrstico, sestavljeno iz ničel, ki je prečrtana, ko najdemo rang, v razširjeni matriki pa ostane zadnja vrstica, to je r B > r A .

telovadba. Raziskovanje ta sistem združljivostne enačbe in jo reši z uporabo matričnega računa.
rešitev

Primer. Dokažite združljivost sistema linearne enačbe in ga rešite na dva načina: 1) z Gaussovo metodo; 2) Cramerjeva metoda. (odgovor vpišite v obrazec: x1,x2,x3)
Rešitev :doc :doc :xls
odgovor: 2,-1,3.

Primer. Podan je sistem linearnih enačb. Dokažite njegovo združljivost. Poiščite splošno rešitev sistema in eno posebno rešitev.
rešitev
odgovor: x 3 = - 1 + x 4 + x 5; x 2 = 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

telovadba. Poiščite splošne in posebne rešitve vsakega sistema.
rešitev. Preučimo ta sistem z uporabo Kronecker-Capellijevega izreka.
Izpišimo razširjeno in glavno matriko:

telovadba. Rešite sistem enačb.
Odgovori:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67 x 3 + 0,67 x 4
S pripisovanjem poljubnih vrednosti prostim neznankam dobimo poljubno število delnih rešitev. Sistem je negotova

Sistem m linearnih enačb z n neznankami imenovan sistem oblike

kje a ij in b i (i=1,…,m; b=1,…,n) je nekaj znanih števil in x 1 ,…,x n– neznano. Pri označevanju koeficientov a ij prvo kazalo i označuje številko enačbe, drugo pa j– število neznanke, na kateri stoji ta koeficient.

Koeficiente pri neznankah bomo zapisali v obliki matrike , ki ga bomo poklicali matriko sistema.

Številke na desni strani enačb so b 1 ,…,b m se imenujejo brezplačni člani.

Totalnost nštevilke c 1 ,…,c n klical odločitev danega sistema, če vsaka enačba sistema postane enačba po zamenjavi števil vanjo c 1 ,…,c n namesto ustreznih neznank x 1 ,…,x n.

Naša naloga bo iskanje rešitev za sistem. V tem primeru lahko pride do treh situacij:

Sistem linearnih enačb, ki ima vsaj eno rešitev, se imenuje skupni. V nasprotnem primeru, tj. če sistem nima rešitev, se pokliče neskupni.

Razmislimo o načinih iskanja rešitev za sistem.

MATRIČNA METODA ZA REŠEVANJE SISTEMOV LINEARNIH ENAČB

Matrike omogočajo na kratko zapisati sistem linearnih enačb. Naj bo podan sistem treh enačb s tremi neznankami:

Razmislite o sistemski matriki in stolpci matrik neznanih in prostih izrazov

Poiščimo delo

tiste. kot rezultat produkta dobimo leve strani enačb tega sistema. Nato lahko z uporabo definicije enakosti matrik ta sistem zapišemo v obliki

ali krajše A∙X=B.

Tukaj so matrice A in B so znani, in matriko X neznano. Treba ga je najti, saj... njegovi elementi so rešitev tega sistema. Ta enačba se imenuje matrična enačba.

Naj bo determinanta matrike drugačna od nič | A| ≠ 0. Potem se matrična enačba reši na naslednji način. Pomnožite obe strani enačbe na levi z matriko A-1, inverzna matrika A: . Ker A -1 A = E in E∙X = X, potem dobimo rešitev matrične enačbe v obliki X = A -1 B .

Upoštevajte, da ker je inverzno matriko mogoče najti samo za kvadratne matrike, lahko matrična metoda reši le tiste sisteme, v katerih število enačb sovpada s številom neznank. Vendar pa je matrični zapis sistema možen tudi v primeru, ko število enačb ni enako številu neznank, potem je matrika A ne bo kvadrat in zato je nemogoče najti rešitev sistema v obliki X = A -1 B.

Primeri. Reši sisteme enačb.

CRAMERJEVO PRAVILO

Razmislite o sistemu treh linearnih enačb s tremi neznankami:

Determinanta tretjega reda, ki ustreza sistemski matriki, tj. sestavljen iz koeficientov za neznanke,

klical determinanta sistema.

Sestavimo še tri determinante takole: zamenjamo zaporedoma 1, 2 in 3 stolpce v determinanti D s stolpcem prostih členov.

Potem lahko dokažemo naslednji rezultat.

Izrek (Cramerjevo pravilo).Če je determinanta sistema Δ ≠ 0, potem ima obravnavani sistem eno in samo eno rešitev in

Dokaz. Torej, razmislimo o sistemu treh enačb s tremi neznankami. Pomnožimo 1. enačbo sistema z algebraičnim komplementom A 11 element a 11, 2. enačba – na A 21 in 3. – naprej A 31:

Dodajmo te enačbe:

Poglejmo vsak oklepaj in desno stran te enačbe. Po izreku o razširitvi determinante v elemente 1. stolpca

Podobno se lahko pokaže, da in .

Končno je to enostavno opaziti

Tako dobimo enakost: .

Zato,.

Enakosti in so izpeljane podobno, iz česar sledi trditev izreka.

Tako ugotavljamo, da če je determinanta sistema Δ ≠ 0, potem ima sistem edinstveno rešitev in obratno. Če je determinanta sistema enaka nič, potem ima sistem neskončno število rešitev ali pa nima nobene rešitve, tj. nezdružljivo.

Primeri. Reši sistem enačb

GAUSSOVA METODA

Prej obravnavane metode lahko uporabimo za reševanje samo tistih sistemov, v katerih število enačb sovpada s številom neznank, determinanta sistema pa mora biti različna od nič. Gaussova metoda je bolj univerzalna in primerna za sisteme s poljubnim številom enačb. Sestoji iz zaporednega izločanja neznank iz enačb sistema.

Ponovno razmislite o sistemu treh enačb s tremi neznankami:

.

Prvo enačbo bomo pustili nespremenjeno, iz 2. in 3. pa bomo izločili člene, ki vsebujejo x 1. Če želite to narediti, drugo enačbo delite z A 21 in pomnožite z – A 11 in ga nato dodajte 1. enačbi. Podobno tretjo enačbo delimo z A 31 in pomnožite z – A 11 in ga nato seštejte s prvim. Posledično bo prvotni sistem dobil obliko:

Zdaj iz zadnje enačbe odstranimo izraz, ki vsebuje x 2. Če želite to narediti, tretjo enačbo delite z, pomnožite z in seštejte z drugo. Potem bomo imeli sistem enačb:

Od tod, iz zadnje enačbe, je enostavno najti x 3, nato iz 2. enačbe x 2 in končno, od 1. x 1.

Pri uporabi Gaussove metode lahko enačbe po potrebi zamenjamo.

Pogosto namesto pisanja nov sistem enačbe, so omejene na zapisovanje razširjene matrike sistema:

in ga nato spravite v trikotno ali diagonalno obliko z uporabo elementarnih transformacij.

TO elementarne transformacije matrike vključujejo naslednje transformacije:

1. preurejanje vrstic ali stolpcev;
2. množenje niza s številom, ki ni nič;
3. dodajanje drugih vrstic eni vrstici.

Primeri: Reši sisteme enačb z Gaussovo metodo.

Tako ima sistem neskončno število rešitev.

Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb (SLAE) je nedvomno najpomembnejša tema pri tečaju linearne algebre. Ogromno število problemi iz vseh vej matematike so reducirani na reševanje sistemov linearnih enačb. Ti dejavniki pojasnjujejo razlog za ta članek. Gradivo članka je izbrano in strukturirano tako, da lahko z njegovo pomočjo

• pobrati optimalna metoda rešitve vašega sistema linearnih algebrskih enačb,
• preuči teorijo izbrane metode,
• rešite svoj sistem linearnih enačb z upoštevanjem podrobnih rešitev tipičnih primerov in problemov.

Kratek opis materiala članka.

Najprej podamo vse potrebne definicije, pojme in uvedemo oznake.

Nato bomo obravnavali metode za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb, v katerih je število enačb enako številu neznanih spremenljivk in imajo enolično rešitev. Najprej se bomo osredotočili na Cramerjevo metodo, drugič bomo prikazali matrično metodo za reševanje tovrstnih sistemov enačb, tretjič pa bomo analizirali Gaussovo metodo (metoda zaporednega izločanja neznanih spremenljivk). Za utrditev teorije bomo zagotovo rešili več SLAE na različne načine.

Po tem bomo prešli na reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošni pogled, v kateri število enačb ne sovpada s številom neznanih spremenljivk ali pa je glavna matrika sistema singularna. Oblikujmo Kronecker-Capellijev izrek, ki nam omogoča, da ugotovimo združljivost SLAE. Analizirajmo rešitev sistemov (če so združljivi) z uporabo koncepta baznega minora matrike. Upoštevali bomo tudi Gaussovo metodo in podrobno opisali rešitve primerov.

Vsekakor se bomo posvetili strukturi splošne rešitve homogenih in nehomogenih sistemov linearnih algebrskih enačb. Podajte koncept temeljnega sistema rešitev in pokažimo, kako je splošna rešitev SLAE zapisana z uporabo vektorjev temeljnega sistema rešitev. Za boljše razumevanje si poglejmo nekaj primerov.

Na koncu bomo obravnavali sisteme enačb, ki jih je mogoče zmanjšati na linearne, pa tudi različne probleme, pri reševanju katerih nastanejo SLAE.

Navigacija po strani.

Definicije, pojmi, oznake.

Obravnavali bomo sisteme p linearnih algebrskih enačb z n neznanimi spremenljivkami (p je lahko enak n) oblike

Neznane spremenljivke – koeficienti (nekateri realni oz kompleksna števila), - prosti izrazi (tudi realna ali kompleksna števila).

Ta oblika zapisa SLAE se imenuje koordinirati.

IN matrična oblika pisanje tega sistema enačb ima obliko,
kje - glavna matrika sistema, - stolpčna matrika neznanih spremenljivk, - stolpčna matrika prostih členov.

Če matriki A dodamo matriko-stolpec prostih členov kot (n+1) stolpec, dobimo t.i. razširjena matrika sistemi linearnih enačb. Običajno je razširjena matrika označena s črko T, stolpec prostih izrazov pa je ločen z navpično črto od preostalih stolpcev, to je

Reševanje sistema linearnih algebrskih enačb imenovan niz vrednosti neznanih spremenljivk, ki spremeni vse enačbe sistema v identitete. Tudi matrična enačba za dane vrednosti neznanih spremenljivk postane identiteta.

Če ima sistem enačb vsaj eno rešitev, se imenuje skupni.

Če sistem enačb nima rešitev, se imenuje neskupni.

Če ima SLAE edinstveno rešitev, se ta pokliče določene; če obstaja več kot ena rešitev, potem – negotova.

Če so prosti členi vseh enačb sistema enaki nič , nato se sistem pokliče homogena, drugače – heterogena.

Reševanje elementarnih sistemov linearnih algebrskih enačb.

Če je število enačb sistema enako številu neznanih spremenljivk in determinanta njegove glavne matrike ni enaka nič, se bodo takšni SLAE imenovali osnovno. Takšni sistemi enačb imajo enolično rešitev in v primeru homogenega sistema so vse neznane spremenljivke enake nič.

Takšne SLAE smo začeli preučevati v srednji šoli. Pri njihovem reševanju smo vzeli eno enačbo, eno neznano spremenljivko izrazili z drugimi in jo nadomestili v preostale enačbe, nato vzeli naslednjo enačbo, izrazili naslednjo neznano spremenljivko in jo nadomestili v druge enačbe itd. Ali pa so uporabili metodo dodajanja, to je, da so dodali dve ali več enačb, da bi izločili nekatere neznane spremenljivke. O teh metodah se ne bomo podrobneje ukvarjali, saj so v bistvu modifikacije Gaussove metode.

Glavne metode za reševanje elementarnih sistemov linearnih enačb so Cramerjeva metoda, matrična metoda in Gaussova metoda. Razvrstimo jih.

Reševanje sistemov linearnih enačb po Cramerjevi metodi.

Recimo, da moramo rešiti sistem linearnih algebrskih enačb

v katerem je število enačb enako številu neznanih spremenljivk in je determinanta glavne matrike sistema različna od nič, to je .

Naj bo determinanta glavne matrike sistema in - determinante matrik, ki jih dobimo iz A z zamenjavo 1., 2., …, n v stolpec brezplačnih članov:

S tem zapisom se neznane spremenljivke izračunajo z uporabo formul Cramerjeve metode kot . Tako se po Cramerjevi metodi najde rešitev sistema linearnih algebrskih enačb.

Primer.

Cramerjeva metoda .

rešitev.

Glavna matrika sistema ima obliko . Izračunajmo njegovo determinanto (če je potrebno, glej članek):

Ker je determinanta glavne matrike sistema različna od nič, ima sistem edinstveno rešitev, ki jo lahko najdemo s Cramerjevo metodo.

Sestavimo in izračunajmo potrebne determinante (determinanto dobimo z zamenjavo prvega stolpca v matriki A s stolpcem prostih členov, determinanto z zamenjavo drugega stolpca s stolpcem prostih členov in z zamenjavo tretjega stolpca matrike A s stolpcem prostih členov) :

Iskanje neznanih spremenljivk s pomočjo formul :

odgovor:

Glavna pomanjkljivost Cramerjeve metode (če jo lahko imenujemo pomanjkljivost) je zapletenost izračuna determinant, ko je število enačb v sistemu večje od treh.

Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb z matrično metodo (z uporabo inverzne matrike).

Naj bo sistem linearnih algebrskih enačb podan v matrični obliki, kjer ima matrika A razsežnost n x n in je njena determinanta različna od nič.

Ker je , je matrika A invertibilna, kar pomeni, da obstaja inverzna matrika. Če obe strani enakosti pomnožimo z levo, dobimo formulo za iskanje matričnega stolpca neznanih spremenljivk. Tako smo z matrično metodo dobili rešitev sistema linearnih algebrskih enačb.

Primer.

Reši sistem linearnih enačb matrična metoda.

rešitev.

Zapišimo sistem enačb v matrični obliki:

Ker

potem je SLAE mogoče rešiti z matrično metodo. Z uporabo inverzne matrike lahko rešitev tega sistema najdemo kot .

Konstruirajmo inverzno matriko z uporabo matrike iz algebraičnih komplementov elementov matrike A (če je potrebno, glej članek):

Ostaja še izračunati matriko neznanih spremenljivk z množenjem inverzne matrike v matrični stolpec brezplačnih članov (če je potrebno, glejte članek):

odgovor:

ali v drugem zapisu x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Glavna težava pri iskanju rešitev sistemov linearnih algebrskih enačb z matrično metodo je kompleksnost iskanja inverzne matrike, zlasti za kvadratne matrike reda, višjega od tretjega.

Reševanje sistemov linearnih enačb z Gaussovo metodo.

Recimo, da moramo najti rešitev sistema n linearnih enačb z n neznanimi spremenljivkami
katere determinanta glavne matrike je različna od nič.

Bistvo Gaussove metode sestoji iz zaporednega izločanja neznanih spremenljivk: najprej x 1 je izključen iz vseh enačb sistema, začenši z drugo, nato je x 2 izključen iz vseh enačb, začenši s tretjo in tako naprej, dokler v sistemu ne ostane samo neznana spremenljivka x n zadnja enačba. Ta postopek preoblikovanja sistemskih enačb za zaporedno odpravo neznanih spremenljivk se imenuje direktna Gaussova metoda. Po končanem hodu Gaussove metode se x n najde iz zadnje enačbe, z uporabo te vrednosti iz predzadnje enačbe se izračuna x n-1 in tako naprej, x 1 se najde iz prve enačbe. Postopek izračunavanja neznanih spremenljivk pri prehodu iz zadnje enačbe sistema v prvo se imenuje obratno od Gaussove metode.

Naj na kratko opišemo algoritem za izločanje neznanih spremenljivk.

Predpostavili bomo, da , saj lahko to vedno dosežemo s preureditvijo enačb sistema. Izločimo neznano spremenljivko x 1 iz vseh enačb sistema, začenši z drugo. Da bi to naredili, drugi enačbi sistema dodamo prvo, pomnoženo z , tretji enačbi dodamo prvo, pomnoženo z , in tako naprej, n-ti enačbi dodamo prvo, pomnoženo z . Sistem enačb po takih transformacijah bo dobil obliko

kje in .

Do enakega rezultata bi prišli, če bi x 1 izrazili z drugimi neznanimi spremenljivkami v prvi enačbi sistema in dobljeni izraz nadomestili v vse druge enačbe. Tako je spremenljivka x 1 izključena iz vseh enačb, začenši z drugo.

V nadaljevanju postopamo na podoben način, vendar le z delom nastalega sistema, ki je označen na sliki

Da bi to naredili, tretji enačbi sistema dodamo drugo, pomnoženo z , četrti enačbi dodamo drugo, pomnoženo z , in tako naprej, n-ti enačbi dodamo drugo, pomnoženo z . Sistem enačb po takih transformacijah bo dobil obliko

kje in . Tako je spremenljivka x 2 izključena iz vseh enačb, začenši s tretjo.

Nato nadaljujemo z izločanjem neznanke x 3 in podobno ravnamo z delom sistema, označenim na sliki

Tako nadaljujemo z neposrednim napredovanjem Gaussove metode, dokler sistem ne prevzame oblike

Od tega trenutka začnemo obratno Gaussovo metodo: izračunamo x n iz zadnje enačbe kot .

Primer.

Reši sistem linearnih enačb Gaussova metoda.

rešitev.

Izključimo neznano spremenljivko x 1 iz druge in tretje enačbe sistema. Da bi to naredili, obema stranema druge in tretje enačbe dodamo ustrezne dele prve enačbe, pomnožene z oz.

Zdaj odstranimo x 2 iz tretje enačbe tako, da njeni levi in ​​desni strani dodamo levo in desno stran druge enačbe, pomnoženo z:

S tem se zaključi hod Gaussove metode naprej;

Iz zadnje enačbe nastalega sistema enačb najdemo x 3:

Iz druge enačbe dobimo.

Iz prve enačbe poiščemo preostalo neznano spremenljivko in s tem dokončamo obratno Gaussovo metodo.

odgovor:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošne oblike.

Na splošno število enačb sistema p ne sovpada s številom neznanih spremenljivk n:

Takšni SLAE morda nimajo rešitev, imajo eno samo rešitev ali imajo neskončno veliko rešitev. Ta izjava velja tudi za sisteme enačb, katerih glavna matrika je kvadratna in singularna.

Kronecker–Capellijev izrek.

Preden najdemo rešitev sistema linearnih enačb, je treba ugotoviti njegovo združljivost. Odgovor na vprašanje, kdaj je SLAE združljiv in kdaj neskladen, podaja Kronecker–Capellijev izrek:
Da bi bil sistem p enačb z n neznankami (p je lahko enak n) konsistenten, je nujno in zadostno, da je rang glavne matrike sistema enak rangu razširjene matrike, tj. , Rank(A)=Rank(T).

Oglejmo si kot primer uporabo Kronecker–Capellijevega izreka za določitev združljivosti sistema linearnih enačb.

Primer.

Ugotovite, ali ima sistem linearnih enačb rešitve.

rešitev.

. Uporabimo metodo mejnih mladoletnikov. Minor drugega reda drugačen od nič. Poglejmo mladoletnike tretjega reda, ki mejijo nanj:

Ker so vsi mejni minori tretjega reda enaki nič, je rang glavne matrike enak dvema.

Po drugi strani pa rang razširjene matrike je enako tri, saj je minor tretjega reda

drugačen od nič.

torej Rang(A), zato lahko z uporabo Kronecker–Capellijevega izreka sklepamo, da je izvirni sistem linearnih enačb nedosleden.

odgovor:

Sistem nima rešitev.

Tako smo se naučili ugotoviti nedoslednost sistema z uporabo Kronecker-Capellijevega izreka.

Toda kako najti rešitev za SLAE, če je vzpostavljena njegova združljivost?

Za to potrebujemo koncept baznega minora matrike in izrek o rangu matrike.

Imenuje se minor najvišjega reda matrike A, ki je različen od nič osnovni.

Iz definicije bazičnega minora sledi, da je njegov vrstni red enak rangu matrike. Za neničelno matriko A je lahko več baznih minorov;

Na primer, razmislite o matriki .

Vsi minori tretjega reda te matrike so enaki nič, saj so elementi tretje vrstice te matrike vsota ustreznih elementov prve in druge vrstice.

Naslednji minori drugega reda so osnovni, ker niso ničelni

mladoletniki niso bazične, saj so enake nič.

Izrek o rangu matrike.

Če je rang matrike reda p krat n enak r, potem so vsi vrstični (in stolpčni) elementi matrike, ki ne tvorijo izbrane osnovne baze, linearno izraženi z ustreznimi vrstičnimi (in stolpčnimi) elementi, ki tvorijo osnova manjša.

Kaj nam pove izrek o rangu matrike?

Če smo po Kronecker–Capellijevem izreku ugotovili združljivost sistema, potem izberemo katerikoli bazni minor glavne matrike sistema (njen vrstni red je enak r) in iz sistema izločimo vse enačbe, ki ne tvorijo izbrane osnovne podlage. Tako dobljen SLAE bo enakovreden originalnemu, saj so zavržene enačbe še vedno redundantne (po izreku o rangu matrike so linearna kombinacija preostalih enačb).

Posledično sta po zavrženju nepotrebnih enačb sistema možna dva primera.

Če je število enačb r v dobljenem sistemu enako številu neznanih spremenljivk, potem bo ta dokončen in edino rešitev lahko najdemo s Cramerjevo metodo, matrično metodo ali Gaussovo metodo.

Primer.

.

rešitev.

Rang glavne matrike sistema je enako dve, saj je minor drugega reda drugačen od nič. Razširjeni matrični rang je tudi enako dve, saj je edini minor tretjega reda nič

in zgoraj obravnavani minor drugega reda je drugačen od nič. Na osnovi Kronecker–Capellijevega izreka lahko trdimo združljivost izvirnega sistema linearnih enačb, saj je Rank(A)=Rank(T)=2.

Kot osnovo minor vzamemo . Sestavljena je iz koeficientov prve in druge enačbe:


Tretja enačba sistema ne sodeluje pri tvorjenju baznega minora, zato jo izločimo iz sistema na podlagi izreka o rangu matrike:


Tako smo dobili elementarni sistem linearnih algebrskih enačb. Rešimo ga s Cramerjevo metodo:


odgovor:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Če je število enačb r v nastalem SLAE manjše število neznanih spremenljivk n, nato na levih straneh enačb pustimo člene, ki tvorijo bazni minor, preostale člene pa prenesemo na desne strani enačb sistema z nasprotnim predznakom.

Neznane spremenljivke (r izmed njih), ki ostanejo na levi strani enačb, se imenujejo glavni.

Pokličemo neznane spremenljivke (obstaja n - r kosov), ki so na desni strani brezplačno.

Zdaj verjamemo, da lahko proste neznane spremenljivke zavzamejo poljubne vrednosti, medtem ko bo r glavnih neznanih spremenljivk izraženo preko prostih neznanih spremenljivk na edinstven način. Njihov izraz je mogoče najti z reševanjem nastalega SLAE z uporabo Cramerjeve metode, matrične metode ali Gaussove metode.

Poglejmo si na primeru.

Primer.

Rešite sistem linearnih algebrskih enačb .

rešitev.

Poiščimo rang glavne matrike sistema po metodi mejnih mladoletnikov. Vzemimo 1 1 = 1 kot neničelni minor prvega reda. Začnimo iskati neničelni minor drugega reda, ki meji na ta minor:


Tako smo našli neničelni minor drugega reda. Začnimo iskati neničelni obrobni minor tretjega reda:


Tako je rang glavne matrice tri. Tudi rang razširjene matrike je enak trem, kar pomeni, da je sistem skladen.

Za osnovo vzamemo najdeni neničelni minor tretjega reda.

Zaradi jasnosti prikazujemo elemente, ki tvorijo osnovo minor:


Člene, vključene v bazni mol, pustimo na levi strani sistemskih enačb, ostale z nasprotnimi predznaki pa prenesemo na desne strani:


Dajmo prostim neznanim spremenljivkam x 2 in x 5 poljubne vrednosti, to pomeni, da sprejmemo , kjer so poljubna števila. V tem primeru bo SLAE prevzel obliko


Rešimo nastali elementarni sistem linearnih algebrskih enačb z uporabo Cramerjeve metode:


Zato,.

V odgovoru ne pozabite navesti prostih neznanih spremenljivk.

odgovor:

Kje so poljubna števila.

Naj povzamemo.

Za rešitev sistema splošnih linearnih algebrskih enačb najprej določimo njegovo združljivost s Kronecker–Capellijevim izrekom. Če rang glavne matrike ni enak rangu razširjene matrike, potem sklepamo, da je sistem nekompatibilen.

Če je rang glavne matrike enak rangu razširjene matrike, potem izberemo bazni minor in zavržemo enačbe sistema, ki ne sodelujejo pri oblikovanju izbranega baznega minora.

Če je vrstni red osnovnega minora enak številu neznanih spremenljivk, potem ima SLAE edinstveno rešitev, ki jo lahko najdemo s katero koli nam znano metodo.

Če je vrstni red osnovnega minora manjši od števila neznanih spremenljivk, potem na levi strani sistemskih enačb pustimo člene z glavnimi neznanimi spremenljivkami, preostale izraze prenesemo na desne strani in damo poljubne vrednosti prostih neznanih spremenljivk. Iz dobljenega sistema linearnih enačb poiščemo glavne neznane spremenljivke z uporabo Cramerjeve metode, matrične metode ali Gaussove metode.

Gaussova metoda za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošne oblike.

Gaussovo metodo je mogoče uporabiti za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb katere koli vrste, ne da bi jih najprej preizkusili glede združljivosti. Postopek zaporednega izločanja neznanih spremenljivk omogoča sklepanje tako o združljivosti kot o nezdružljivosti SLAE, in če rešitev obstaja, jo omogoča najti.

Z računalniškega vidika je boljša Gaussova metoda.

Pazi podroben opis in analiziral primere v članku Gaussova metoda za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb splošne oblike.

Pisanje splošne rešitve homogenih in nehomogenih linearnih algebrskih sistemov z uporabo vektorjev temeljnega sistema rešitev.

V tem razdelku bomo govorili o istočasnih homogenih in nehomogenih sistemih linearnih algebrskih enačb, ki imajo neskončno število rešitev.

Najprej se posvetimo homogenim sistemom.

Temeljni sistem rešitev homogeni sistem p linearnih algebrskih enačb z n neznanimi spremenljivkami je zbirka (n – r) linearno neodvisnih rešitev tega sistema, kjer je r vrstni red baznega minora glavne matrike sistema.

Če linearno neodvisne rešitve homogene SLAE označimo kot X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) so stolpčne matrike dimenzije n z 1) , potem je splošna rešitev tega homogenega sistema predstavljena kot linearna kombinacija vektorjev temeljnega sistema rešitev s poljubnimi konstantnimi koeficienti C 1, C 2, ..., C (n-r), to je .

Kaj pomeni izraz splošna rešitev homogenega sistema linearnih algebrskih enačb (oroslau)?

Pomen je preprost: formula podaja vse možne rešitve prvotnega SLAE, z drugimi besedami, vzamemo kateri koli niz vrednosti poljubnih konstant C 1, C 2, ..., C (n-r), z uporabo formule bomo dobimo eno od rešitev prvotnega homogenega SLAE.

Če torej najdemo temeljni sistem rešitev, potem lahko vse rešitve tega homogenega SLAE definiramo kot .

Pokažimo postopek konstruiranja temeljnega sistema rešitev za homogeno SLAE.

Izberemo bazni minor izvirnega sistema linearnih enačb, izločimo vse druge enačbe iz sistema in vse člene, ki vsebujejo proste neznane spremenljivke, prenesemo na desne strani enačb sistema z nasprotnimi predznaki. Dajmo prostim neznanim spremenljivkam vrednosti 1,0,0,...,0 in izračunamo glavne neznanke z reševanjem nastalega elementarnega sistema linearnih enačb na kakršen koli način, na primer z uporabo metode Cramer. To bo povzročilo X (1) - prvo rešitev osnovnega sistema. Če prostim neznankam damo vrednosti 0,1,0,0,…,0 in izračunamo glavne neznanke, dobimo X (2) . In tako dalje. Če prostim neznanim spremenljivkam priredimo vrednosti 0.0,...,0.1 in izračunamo glavne neznanke, dobimo X (n-r) . Na ta način bo konstruiran temeljni sistem rešitev homogene SLAE in njegovo splošno rešitev lahko zapišemo v obliki .

Za nehomogene sisteme linearnih algebrskih enačb je splošna rešitev predstavljena v obliki , kjer je splošna rešitev ustreznega homogenega sistema, in je partikularna rešitev originalne nehomogene SLAE, ki jo dobimo tako, da prostim neznankam podamo vrednosti ​​0,0,…,0 in izračun vrednosti glavnih neznank.

Poglejmo si primere.

Primer.

Poiščite temeljni sistem rešitev in splošno rešitev homogenega sistema linearnih algebrskih enačb .

rešitev.

Rang glavne matrike homogenih sistemov linearnih enačb je vedno enak rangu razširjene matrike. Poiščimo rang glavne matrike z metodo robnih pomorov. Kot neničelni minor prvega reda vzamemo element a 1 1 = 9 glavne matrike sistema. Poiščimo obrobni neničelni minor drugega reda:

Najden je bil minor drugega reda, drugačen od nič. Pojdimo skozi minore tretjega reda, ki mejijo nanj, da poiščemo neničelnega:

Vsi mejni minori tretjega reda so enaki nič, zato je rang glavne in razširjene matrike enak dvema. Vzemimo . Za jasnost omenimo elemente sistema, ki ga tvorijo:

Tretja enačba prvotnega SLAE ne sodeluje pri oblikovanju osnovnega minora, zato jo je mogoče izključiti:

Na desni strani enačb pustimo člene, ki vsebujejo glavne neznanke, na desne strani pa prenesemo člene s prostimi neznankami:

Konstruirajmo temeljni sistem rešitev izvirnega homogenega sistema linearnih enačb. Osnovni sistem rešitev tega SLAE je sestavljen iz dveh rešitev, saj originalni SLAE vsebuje štiri neznane spremenljivke, vrstni red njegovega baznega minora pa je enak dvema. Da bi našli X (1), damo prostim neznanim spremenljivkam vrednosti x 2 = 1, x 4 = 0, nato najdemo glavne neznanke iz sistema enačb
.

Kot je razvidno iz Cramerjev izrek, se pri reševanju sistema linearnih enačb lahko pojavijo trije primeri:

Prvi primer: sistem linearnih enačb ima edinstveno rešitev

(sistem je dosleden in določen)

Drugi primer: sistem linearnih enačb ima neskončno število rešitev

(sistem je dosleden in negotov)

** ,

tiste. koeficienti neznank in prosti členi so sorazmerni.

Tretji primer: sistem linearnih enačb nima rešitev

(sistem je nedosleden)

Torej sistem m linearne enačbe z n imenovane spremenljivke neskupni, če nima ene same rešitve, ter skupni, če ima vsaj eno rešitev. Simultani sistem enačb, ki ima samo eno rešitev, se imenuje določene, in več kot eno – negotova.

Primeri reševanja sistemov linearnih enačb po Cramerjevi metodi

Naj bo sistem dan

.

Na podlagi Cramerjevega izreka

………….
,

kje
-

sistemska determinanta. Preostale determinante dobimo tako, da stolpec s koeficienti ustrezne spremenljivke (neznano) nadomestimo s prostimi členi:

Primer 2.

.

Zato je sistem določen. Da bi našli njegovo rešitev, izračunamo determinante

Z uporabo Cramerjevih formul najdemo:

Torej je (1; 0; -1) edina rešitev sistema.

Za preverjanje rešitev sistemov enačb 3 X 3 in 4 X 4 lahko uporabite spletni kalkulator s Cramerjevo metodo reševanja.

Če v sistemu linearnih enačb v eni ali več enačbah ni spremenljivk, potem so v determinanti ustrezni elementi enaki nič! To je naslednji primer.

Primer 3. Rešite sistem linearnih enačb z uporabo Cramerjeve metode:

.

rešitev. Najdemo determinanto sistema:

Pozorno si oglej sistem enačb in determinanto sistema ter ponovi odgovor na vprašanje, v katerih primerih je en ali več elementov determinante enakih nič. Torej determinanta ni enaka nič, torej je sistem določen. Da bi našli njegovo rešitev, izračunamo determinante za neznanke

Z uporabo Cramerjevih formul najdemo:

Torej je rešitev sistema (2; -1; 1).

6. Splošni sistem linearne algebrske enačbe. Gaussova metoda.

Kot se spomnimo, sta Cramerjevo pravilo in matrična metoda neprimerna v primerih, ko ima sistem neskončno veliko rešitev ali je nekonzistenten. Gaussova metoda – najmočnejše in vsestransko orodje za iskanje rešitev katerega koli sistema linearnih enačb, ki v vsakem primeru nas bo pripeljal do odgovora! Sam algoritem metode deluje enako v vseh treh primerih. Če Cramerjeva in matrična metoda zahtevata poznavanje determinant, potem za uporabo Gaussove metode potrebujete le poznavanje aritmetičnih operacij, zaradi česar je dostopna tudi šolarjem. osnovni razredi.

Najprej sistematizirajmo nekaj znanja o sistemih linearnih enačb. Sistem linearnih enačb lahko:

1) Imejte edinstveno rešitev.
2) Imeti neskončno veliko rešitev.
3) Nimate rešitev (bodite neskupni).

Gaussova metoda je najmočnejše in univerzalno orodje za iskanje rešitve katerikoli sistemi linearnih enačb. Kot se spomnimo, Cramerjevo pravilo in matrična metoda niso primerni v primerih, ko ima sistem neskončno veliko rešitev ali je nekonzistenten. In metoda zaporednega izločanja neznank Kakorkoli že nas bo pripeljal do odgovora! Vklopljeno to lekcijo znova bomo obravnavali Gaussovo metodo za primer št. 1 (edina rešitev sistema), članek je posvečen situacijam točk št. 2-3. Opažam, da algoritem same metode deluje enako v vseh treh primerih.

Vrnimo se k najpreprostejšemu sistemu iz lekcije Kako rešiti sistem linearnih enačb?
in ga rešite z Gaussovo metodo.

Prvi korak je zapisovanje razširjena sistemska matrika:
. Mislim, da lahko vsak vidi, po kakšnem principu so napisani koeficienti. Navpična črta znotraj matrike nima matematičnega pomena - je preprosto prečrtana zaradi lažjega oblikovanja.

Referenca:Priporočam, da se spomnite pogoji linearna algebra. Sistemska matrica je matrika, sestavljena le iz koeficientov za neznanke, v tem primeru matrika sistema: . Razširjena sistemska matrica je ista matrika sistema plus stolpec prostih členov, v v tem primeru: . Za kratkost lahko katero koli matriko preprosto imenujemo matrika.

Ko je razširjena sistemska matrika napisana, je potrebno z njo izvesti nekaj dejanj, ki se imenujejo tudi elementarne transformacije.

Obstajajo naslednje osnovne transformacije:

1) Strune matrice mogoče preurediti ponekod. Na primer, v obravnavani matriki lahko neboleče preuredite prvo in drugo vrstico:

2) Če je matrika (ali se je pojavila) proporcionalna (kot poseben primer– enake) vrstice, potem sledi izbrisati Vse te vrstice so iz matrike razen ene. Razmislite na primer o matriki . V tej matriki so zadnje tri vrstice sorazmerne, zato je dovolj, da pustite samo eno od njih: .

3) Če se med transformacijami v matriki pojavi ničelna vrstica, potem bi morala biti tudi izbrisati. Seveda ne bom risal, ničelna črta je črta, v kateri vse ničle.

4) Vrstica matrike je lahko pomnožiti (deliti) na poljubno številko različen od nič. Razmislite na primer o matriki. Tukaj je priporočljivo, da prvo vrstico delite z –3 in drugo vrstico pomnožite z 2: . To dejanje zelo uporabno, ker poenostavi nadaljnje transformacije matrike.

5) Ta preobrazba povzroča največ težav, vendar v resnici tudi ni nič zapletenega. V vrstico matrike lahko dodajte še en niz, pomnožen s številom, drugačen od nič. Razmislite o naši matriki praktični primer: . Najprej bom zelo podrobno opisal transformacijo. Pomnožite prvo vrstico z –2: , In drugi vrstici dodamo prvo vrstico pomnoženo z –2: . Zdaj lahko prvo vrstico razdelimo "nazaj" z –2: . Kot lahko vidite, je vrstica, ki je DODANA LI – se ni spremenilo. Vedno spremeni se vrstica KATERI JE DODANO UT.

V praksi tega seveda ne napišejo tako podrobno, ampak napišejo na kratko:

Še enkrat: v drugo vrstico dodal prvo vrstico, pomnoženo z –2. Vrstica se običajno množi ustno ali na osnutku, pri čemer proces miselnega izračuna poteka nekako takole:

»Prepišem matriko in prepišem prvo vrstico: »

»Prvi stolpec. Na dnu moram dobiti ničlo. Zato tistega na vrhu pomnožim z –2: , v drugo vrstico pa dodam prvega: 2 + (–2) = 0. Rezultat zapišem v drugo vrstico: »

»Zdaj pa drugi stolpec. Na vrhu pomnožim -1 z -2: . V drugo vrstico prištejem prvo: 1 + 2 = 3. Rezultat zapišem v drugo vrstico: »

»In tretji stolpec. Na vrhu pomnožim -5 z -2: . V drugo vrstico prištejem prvo: –7 + 10 = 3. V drugo vrstico zapišem rezultat: »

Prosimo, da natančno razumete ta primer in razumete algoritem zaporednega izračuna, če to razumete, potem je Gaussova metoda praktično v vašem žepu. Seveda pa bomo še vedno delali na tej transformaciji.

Elementarne transformacije ne spremenijo rešitve sistema enačb

! POZOR: obravnavane manipulacije ni mogoče uporabiti, če vam ponudijo nalogo, pri kateri so matrike podane »same od sebe«. Na primer s "klasično" operacije z matricami V nobenem primeru ne smete ničesar preurediti znotraj matric!

Vrnimo se k našemu sistemu. Tako rekoč razrezana je na koščke.

Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo z elementarnimi transformacijami reduciramo na stopničast pogled:

(1) Prva vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z –2. In še enkrat: zakaj prvo vrstico pomnožimo z –2? Da bi dobili ničlo na dnu, kar pomeni, da se znebite ene spremenljivke v drugi vrstici.

(2) Drugo vrstico delite s 3.

Namen elementarnih transformacij – reduciraj matriko na postopno obliko: . V obrazcu naloge je jasno navedeno, da s preprostim svinčnikom"stopnice", obkrožite tudi številke, ki se nahajajo na "stopnicah". Sam izraz "stopničasti pogled" ni povsem teoretičen, v znanstveni in izobraževalni literaturi se pogosto imenuje trapezni pogled oz trikotni pogled.

Kot rezultat elementarnih transformacij smo dobili enakovreden izvirni sistem enačb:

Zdaj je treba sistem "odviti" v nasprotni smeri - od spodaj navzgor se imenuje ta postopek obratno od Gaussove metode.

V spodnji enačbi imamo že pripravljen rezultat: .

Oglejmo si prvo enačbo sistema in jo že nadomestimo znana vrednost"Y":

Razmislimo o najpogostejši situaciji, ko Gaussova metoda zahteva reševanje sistem treh linearne enačbe s tremi neznankami.

Primer 1

Rešite sistem enačb z Gaussovo metodo:

Zapišimo razširjeno matriko sistema:

Zdaj bom takoj izrisal rezultat, do katerega bomo prišli med reševanjem:

In ponavljam, naš cilj je spraviti matriko v postopno obliko z uporabo elementarnih transformacij. Kje začeti?

Najprej poglejte številko zgoraj levo:

Skoraj vedno bi moral biti tukaj enota. Na splošno velja –1 (in včasih tudi druge številke), vendar se je nekako tradicionalno zgodilo, da je ena običajno tam. Kako organizirati enoto? Pogledamo prvi stolpec - imamo končano enoto! Prva transformacija: zamenjajte prvo in tretjo vrstico:

Zdaj bo prva vrstica ostala nespremenjena do konca rešitve. Je že lažje.

Enota v zgornjem levem kotu je organizirana. Zdaj morate dobiti ničle na teh mestih:

Ničle dobimo s "težko" transformacijo. Najprej se ukvarjamo z drugo vrstico (2, –1, 3, 13). Kaj je treba storiti, da dobimo ničlo na prvem mestu? Potrebujem drugi vrstici dodajte prvo vrstico, pomnoženo z –2. Miselno ali na osnutku pomnožite prvo vrstico z –2: (–2, –4, 2, –18). In dosledno izvajamo (spet mentalno ali na osnutku) dodajanje, drugi vrstici dodamo prvo vrstico, že pomnoženo z –2:

Rezultat zapišemo v drugo vrstico:

Na enak način ravnamo s tretjo vrstico (3, 2, –5, –1). Če želite dobiti ničlo na prvem mestu, potrebujete tretji vrstici dodajte prvo vrstico, pomnoženo z –3. Miselno ali na osnutku pomnožite prvo vrstico z –3: (–3, –6, 3, –27). IN tretji vrstici dodamo prvo vrstico pomnoženo z –3:

Rezultat zapišemo v tretjo vrstico:

V praksi se ta dejanja običajno izvajajo ustno in zapišejo v enem koraku:

Ni treba šteti vsega naenkrat in ob istem času. Vrstni red izračunov in "vnos" rezultatov dosledno in običajno je tako: najprej prepišemo prvo vrstico in se malo po malo napihnemo - DOSLEDNO in POZORNO:


Zgoraj sem že razpravljal o mentalnem procesu samih izračunov.

V tem primeru je to enostavno; drugo vrstico delimo z –5 (ker so vsa števila deljiva s 5 brez ostanka). Istočasno tretjo vrstico delimo z –2, ker manjše kot je število, tem preprostejša rešitev:

Vklopljeno končna faza elementarne transformacije, tukaj morate dobiti še eno ničlo:

Za to tretji vrstici dodamo drugo vrstico pomnoženo z –2:


Poskusite sami ugotoviti to dejanje - v mislih pomnožite drugo vrstico z –2 in izvedite seštevanje.

Zadnje izvedeno dejanje je pričeska rezultata, tretjo vrstico razdelite s 3.

Kot rezultat elementarnih transformacij je bil pridobljen enakovredni sistem linearnih enačb:

Kul.

Zdaj pride v poštev obratna Gaussova metoda. Enačbe se "razvijajo" od spodaj navzgor.

V tretji enačbi že imamo pripravljen rezultat:

Poglejmo drugo enačbo: . Pomen "zet" je že znan, tako:

In končno, prva enačba: . "Igrek" in "zet" sta znana, gre le za malenkosti:

Odgovori:

Kot je bilo že večkrat omenjeno, je za vsak sistem enačb možno in potrebno preveriti najdeno rešitev, na srečo pa je to enostavno in hitro.

Primer 2

To je primer za neodvisna odločitev, dokončanje vzorca in odgovor na koncu lekcije.

Treba je opozoriti, da vaš potek odločitve morda ne sovpada z mojim odločanjem, in to je značilnost Gaussove metode. Toda odgovori morajo biti enaki!

Primer 3

Rešite sistem linearnih enačb z Gaussovo metodo

Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike:

Pogledamo zgornjo levo "stopničko". Enega bi morali imeti tam. Težava je v tem, da v prvem stolpcu sploh ni enot, zato preurejanje vrstic ne bo rešilo ničesar. V takšnih primerih mora biti enota organizirana z uporabo elementarne transformacije. To je običajno mogoče storiti na več načinov. Naredil sem tole:
(1) Prvi vrstici dodamo drugo vrstico, pomnoženo z –1. To pomeni, da smo drugo vrstico v mislih pomnožili z –1 ter sešteli prvo in drugo vrstico, medtem ko se druga vrstica ni spremenila.

Zdaj zgoraj levo je "minus ena", kar nam zelo ustreza. Kdor želi dobiti +1, lahko izvede dodatno gibanje: prvo vrstico pomnoži z –1 (spremeni predznak).

(2) Prva vrstica, pomnožena s 5, je bila dodana drugi vrstici, pomnoženi s 3.

(3) Prva vrstica je bila pomnožena z –1, načeloma je to zaradi lepote. Spremenili smo tudi predznak tretje vrstice in jo premaknili na drugo mesto, tako da smo na drugi “stopnici” imeli zahtevano enoto.

(4) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z 2.

(5) Tretja vrstica je bila deljena s 3.

Slab znak, ki kaže na napako v izračunih (redkeje tipkarsko napako), je "slab" rezultat. To je, če bi dobili nekaj takega, spodaj, in v skladu s tem, , nato z velik delež verjetnosti, lahko trdimo, da je med osnovnimi transformacijami prišlo do napake.

Mi zaračunavamo obratno, pri oblikovanju primerov pogosto ne prepišejo samega sistema, ampak so enačbe »vzete neposredno iz podane matrike«. Obratna poteza, spomnim vas, deluje od spodaj navzgor. Ja, tukaj je darilo:

Odgovori: .

Primer 4

Rešite sistem linearnih enačb z Gaussovo metodo

To je primer, ki ga morate rešiti sami, je nekoliko bolj zapleten. Nič hudega, če se kdo zmede. Celotna rešitev in vzorčna zasnova na koncu lekcije. Vaša rešitev se lahko razlikuje od moje rešitve.

V zadnjem delu si bomo ogledali nekatere značilnosti Gaussovega algoritma.
Prva značilnost je, da včasih nekatere spremenljivke manjkajo v sistemskih enačbah, na primer:

Kako pravilno napisati matriko razširjenega sistema? O tej točki sem že govoril v razredu. Cramerjevo pravilo. Matrična metoda. V razširjeni matriki sistema smo namesto manjkajočih spremenljivk postavili ničle:

Mimogrede, to je dokaj enostaven primer, saj ima prvi stolpec že eno ničlo in je treba izvesti manj osnovnih transformacij.

Druga značilnost je ta. V vseh obravnavanih primerih smo na »stopnice« postavili –1 ali +1. Ali so tam lahko druge številke? V nekaterih primerih lahko. Razmislite o sistemu: .

Tukaj na zgornji levi "stopnici" imamo dva. Opazimo pa dejstvo, da so vsa števila v prvem stolpcu deljiva z 2 brez ostanka – drugi pa je dva in šest. In dva levo zgoraj nam bosta prav prišla! V prvem koraku morate izvesti naslednje transformacije: dodati prvo vrstico, pomnoženo z –1, drugi vrstici; tretji vrstici dodajte prvo vrstico, pomnoženo z –3. Tako bomo v prvem stolpcu dobili zahtevane ničle.

Ali nekaj takega pogojni primer: . Tukaj nam ustreza tudi trojka na drugem “stopenju”, saj je 12 (mesto, kjer moramo dobiti ničlo) deljivo s 3 brez ostanka. Potrebno je izvesti naslednjo transformacijo: tretjo vrstico dodajte drugo vrstico, pomnoženo z –4, zaradi česar bomo dobili ničlo, ki jo potrebujemo.

Gaussova metoda je univerzalna, vendar ima eno posebnost. Lahko se samozavestno naučite reševati sisteme z drugimi metodami (Cramerjeva metoda, matrična metoda) dobesedno prvič - imajo zelo strog algoritem. Toda, da bi bili prepričani v Gaussovo metodo, jo morate dobro obvladati in rešiti vsaj 5–10 sistemov. Zato lahko sprva pride do zmede in napak v izračunih in v tem ni nič nenavadnega ali tragičnega.

Zunaj okna deževno jesensko vreme.... Zato za vse, ki si želite več zapleten primer za samostojno rešitev:

Primer 5

Rešite sistem štirih linearnih enačb s štirimi neznankami z Gaussovo metodo.

Takšna naloga v praksi ni tako redka. Mislim, da bo tudi čajnik, ki je temeljito preučil to stran, intuitivno razumel algoritem za rešitev takšnega sistema. V bistvu je vse enako - samo dejanj je več.

V lekciji obravnavamo primere, ko sistem nima rešitev (nekonsistenten) ali ima neskončno veliko rešitev. Nekompatibilni sistemi in sistemi s skupno rešitvijo. Tam lahko popravite obravnavani algoritem Gaussove metode.

Želim vam uspeh!

Rešitve in odgovori:

Primer 2: rešitev: Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike.


Izvedene osnovne transformacije:
(1) Prva vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z –2. Prva vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z –1. Pozor! Tu vas bo morda zamikalo, da bi odšteli prvo od tretje vrstice; toplo priporočam, da je ne odštejete - tveganje napake se močno poveča. Samo zložite ga!
(2) Spremenjen je bil predznak druge vrstice (pomnožen z –1). Druga in tretja vrstica sta zamenjani. Prosimo, upoštevajte, da se na “stopnicah” zadovoljimo ne samo z enico, ampak tudi z –1, kar je še bolj priročno.
(3) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena s 5.
(4) Spremenjen je bil predznak druge vrstice (pomnožen z –1). Tretja vrstica je bila deljena s 14.

Zadaj:

Odgovori: .

Primer 4: rešitev: Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike:

Izvedene konverzije:
(1) Prvi vrstici je bila dodana druga vrstica. Tako je želena enota organizirana na zgornji levi “stopnici”.
(2) Prva vrstica, pomnožena s 7, je bila dodana drugi vrstici, pomnoženi s 6.

Z drugim "korakom" se vse poslabša, sta »kandidata« zanjo števili 17 in 23, potrebujemo pa eno ali –1. Transformacije (3) in (4) bodo namenjene pridobivanju želene enote

(3) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z –1.
(4) Tretja vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z –3.
Zahtevani element v drugem koraku je bil prejet .
(5) Druga vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena s 6.

V sklopu pouka Gaussova metoda in Nezdružljivi sistemi/sistemi s skupno rešitvijo smo upoštevali nehomogenih sistemov linearnih enačb, Kje brezplačen član(ki je običajno na desni) vsaj enega iz enačb je bilo različno od nič.
In zdaj, po dobrem ogrevanju z matrični rang, tehniko bomo še pilili elementarne transformacije na homogeni sistem linearnih enačb.
Glede na prve odstavke se gradivo morda zdi dolgočasno in povprečno, vendar je ta vtis varljiv. Poleg nadaljnjega razvoja tehničnih tehnik jih bo še veliko nove informacije, zato poskusite ne zanemariti primerov v tem članku.

Sistemi enačb se pogosto uporabljajo v gospodarskem sektorju pri matematičnem modeliranju različne procese. Na primer pri reševanju problemov vodenja in načrtovanja proizvodnje, logističnih poti (problem transporta) ali postavitve opreme.

Sistemi enačb se ne uporabljajo le v matematiki, ampak tudi v fiziki, kemiji in biologiji pri reševanju problemov ugotavljanja velikosti populacije.

Sistem linearnih enačb je dve ali več enačb z več spremenljivkami, za katere je treba najti skupno rešitev. Takšno zaporedje števil, za katerega vse enačbe postanejo prave enakosti ali pa dokazujejo, da zaporedje ne obstaja.

Linearna enačba

Enačbe oblike ax+by=c imenujemo linearne. Oznake x, y so neznanke, katerih vrednost je treba najti, b, a so koeficienti spremenljivk, c je prosti člen enačbe.
Reševanje enačbe z risanjem bo videti kot ravna črta, katere vse točke so rešitve polinoma.

Vrste sistemov linearnih enačb

Najpreprostejši primeri so sistemi linearnih enačb z dvema spremenljivkama X in Y.

F1(x, y) = 0 in F2(x, y) = 0, kjer sta F1,2 funkciji in (x, y) funkcijski spremenljivki.

Reši sistem enačb - to pomeni iskanje vrednosti (x, y), pri katerih se sistem spremeni v pravo enakost ali ugotovitev, da primerne vrednosti x in y ne obstajajo.

Par vrednosti (x, y), zapisan kot koordinate točke, se imenuje rešitev sistema linearnih enačb.

Če imajo sistemi eno skupno rešitev ali rešitev ne obstaja, jih imenujemo enakovredni.

Homogeni sistemi linearnih enačb so sistemi desna stran ki je enaka nič. Če ima desni del za enačajom vrednost ali je izražen s funkcijo, je tak sistem heterogen.

Število spremenljivk je lahko veliko več kot dve, potem bi morali govoriti o primeru sistema linearnih enačb s tremi ali več spremenljivkami.

Ko se soočajo s sistemi, šolarji predpostavljajo, da mora število enačb nujno sovpadati s številom neznank, vendar ni tako. Število enačb v sistemu ni odvisno od spremenljivk, temveč jih je lahko poljubno.

Enostavne in kompleksne metode za reševanje sistemov enačb

Splošne analitične metode za reševanje takih sistemov ni; vse metode temeljijo na numeričnih rešitvah. IN šolski tečaj Matematika podrobno opisuje metode, kot so permutacija, algebraično seštevanje, substitucija, pa tudi grafične in matrične metode, rešitev po Gaussovi metodi.

Glavna naloga pri poučevanju metod reševanja je naučiti se pravilno analizirati sistem in najti optimalen algoritem rešitve za vsak primer. Glavna stvar ni zapomniti sistema pravil in dejanj za vsako metodo, ampak razumeti načela uporabe določene metode.

Reševanje primerov sistemov linearnih enačb programa za 7. razred srednja šola zelo preprosto in zelo podrobno razloženo. V katerem koli matematičnem učbeniku je temu razdelku namenjena dovolj pozornosti. Reševanje primerov sistemov linearnih enačb po Gaussovi in ​​Cramerjevi metodi se podrobneje obravnava v prvih letnikih visokošolskega študija.

Reševanje sistemov z metodo substitucije

Ukrepi substitucijske metode so usmerjeni v izražanje vrednosti ene spremenljivke v smislu druge. Izraz nadomestimo v preostalo enačbo, nato pa jo reduciramo na obliko z eno spremenljivko. Akcija se ponovi glede na število neznank v sistemu

Naj podamo rešitev primera sistema linearnih enačb razreda 7 z uporabo substitucijske metode:

Kot je razvidno iz primera, je bila spremenljivka x izražena s F(X) = 7 + Y. Nastali izraz, zamenjan v 2. enačbi sistema namesto X, je pomagal pridobiti eno spremenljivko Y v 2. enačbi . rešitev ta primer ne povzroča težav in vam omogoča, da dobite vrednost Y. Zadnji korak To je preverjanje prejetih vrednosti.

Primera sistema linearnih enačb ni vedno mogoče rešiti s substitucijo. Enačbe so lahko zapletene in izražanje spremenljivke v smislu druge neznanke bo preveč okorno za nadaljnje izračune. Kadar so v sistemu več kot 3 neznanke, je tudi reševanje z zamenjavo neizvedljivo.

Rešitev primera sistema linearnih nehomogenih enačb:

Rešitev z algebraičnim seštevanjem

Pri iskanju rešitev sistemov z metodo seštevanja se enačbe seštevajo člen za členom in množijo z različnimi števili. Končni cilj matematičnih operacij je enačba v eni spremenljivki.

Za aplikacije ta metoda sta potrebna praksa in opazovanje. Reševanje sistema linearnih enačb z metodo seštevanja, ko so spremenljivke 3 ali več, ni preprosto. Algebraično seštevanje je priročno za uporabo, ko enačbe vsebujejo ulomke in decimalke.

Algoritem rešitve:

1. Pomnožite obe strani enačbe z določenim številom. Kot rezultat aritmetične operacije mora eden od koeficientov spremenljivke postati enak 1.
2. Dobljeni izraz seštejte člen za členom in poiščite eno od neznank.
3. Zamenjajte dobljeno vrednost v 2. enačbo sistema, da poiščete preostalo spremenljivko.

Metoda rešitve z vnosom nove spremenljivke

Novo spremenljivko lahko uvedemo, če sistem zahteva iskanje rešitve za največ dve enačbi; tudi število neznank ne sme biti večje od dveh.

Metoda se uporablja za poenostavitev ene od enačb z uvedbo nove spremenljivke. Nova enačba se reši za uvedeno neznanko, dobljena vrednost pa se uporabi za določitev izvirne spremenljivke.

Primer kaže, da je bilo mogoče z uvedbo nove spremenljivke t 1. enačbo sistema reducirati na standardno kvadratni trinom. Polinom lahko rešite tako, da poiščete diskriminanto.

Treba je najti diskriminantno vrednost z znana formula: D = b2 - 4*a*c, kjer je D želena diskriminanta, b, a, c so faktorji polinoma. V danem primeru je a=1, b=16, c=39, torej D=100. Če je diskriminanta večja od nič, potem obstajata dve rešitvi: t = -b±√D / 2*a, če je diskriminanta manj kot nič, potem obstaja samo ena rešitev: x= -b / 2*a.

Rešitev za nastale sisteme najdemo z adicijsko metodo.

Vizualna metoda za reševanje sistemov

Primerno za 3 sisteme enačb. Metoda je sestavljena iz konstruiranja grafov vsake enačbe, vključene v sistem, na koordinatni osi. Koordinate presečišč krivulj bodo splošna rešitev sistema.

Grafična metoda ima številne nianse. Oglejmo si nekaj primerov reševanja sistemov linearnih enačb na vizualni način.

Kot je razvidno iz primera, sta bili za vsako vrstico zgrajeni dve točki, vrednosti spremenljivke x so bile izbrane poljubno: 0 in 3. Na podlagi vrednosti x so bile ugotovljene vrednosti za y: 3 in 0. Na grafu smo označili točki s koordinatama (0, 3) in (3, 0) ter jih povezali s črto.

Korake je treba ponoviti za drugo enačbo. Točka presečišča premic je rešitev sistema.

IN naslednji primer treba najti grafična rešitev sistemi linearnih enačb: 0,5x-y+2=0 in 0,5x-y-1=0.

Kot je razvidno iz primera, sistem nima rešitve, ker sta grafa vzporedna in se ne sekata po celi dolžini.

Sistema iz primerov 2 in 3 sta si podobna, vendar se pri konstrukciji pokaže, da sta njuni rešitvi različni. Ne smemo pozabiti, da ni vedno mogoče reči, ali ima sistem rešitev ali ne; vedno je treba sestaviti graf.

Matrica in njene sorte

Matrike se uporabljajo za strnjeno pisanje sistema linearnih enačb. Matrika je posebna vrsta tabele, napolnjene s številkami. n*m ima n - vrstic in m - stolpcev.

Matrika je kvadratna, ko je število stolpcev in vrstic enako. Matrični vektor je matrika enega stolpca z neskončnimi možno število vrstice. Matrika z enicami vzdolž ene od diagonal in drugimi ničelnimi elementi se imenuje identiteta.

Inverzna matrika je matrika, s katero se prvotna matrika spremeni v enotsko matriko; taka matrika obstaja samo za prvotno kvadratno.

Pravila za pretvorbo sistema enačb v matriko

V zvezi s sistemi enačb so koeficienti in prosti členi enačb zapisani kot matrična števila; ena enačba je ena vrstica matrike.

Za vrstico matrike pravimo, da ni nič, če vsaj en element vrstice ni nič. Če se torej v kateri od enačb število spremenljivk razlikuje, je treba namesto manjkajoče neznanke vpisati nič.

Stolpci matrike se morajo strogo ujemati s spremenljivkami. To pomeni, da lahko koeficiente spremenljivke x zapišemo samo v en stolpec, na primer prvi, koeficient neznane y - samo v drugi.

Pri množenju matrike se vsi elementi matrike zaporedno pomnožijo s številom.

Možnosti iskanja inverzne matrike

Formula za iskanje inverzne matrike je zelo preprosta: K -1 = 1 / |K|, kjer je K -1 inverzna matrika in |K| je determinanta matrike. |K| ne sme biti enaka nič, potem ima sistem rešitev.

Determinanto je enostavno izračunati za matriko dva krat dva; Za možnost »tri krat tri« obstaja formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Lahko uporabite formulo ali pa se spomnite, da morate vzeti en element iz vsake vrstice in vsakega stolpca, tako da se število stolpcev in vrstic elementov ne ponavlja pri delu.

Reševanje primerov sistemov linearnih enačb z matrično metodo

Matrična metoda iskanja rešitve vam omogoča zmanjšanje okornih vnosov pri reševanju sistemov z velikim številom spremenljivk in enačb.

V primeru so a nm koeficienti enačb, matrika je vektor, x n so spremenljivke, b n pa prosti členi.

Reševanje sistemov z Gaussovo metodo

V višji matematiki se Gaussova metoda preučuje skupaj s Cramerjevo metodo, proces iskanja rešitev sistemov pa se imenuje Gauss-Cramerjeva metoda rešitev. Te metode se uporabljajo za iskanje spremenljivk sistemov z velikim številom linearnih enačb.

Gaussova metoda je zelo podobna rešitvam s substitucijo in algebrskim seštevanjem, vendar je bolj sistematična. Pri šolskem tečaju se uporablja reševanje po Gaussovi metodi za sisteme 3 in 4 enačb. Cilj metode je reducirati sistem na obliko obrnjenega trapeza. Avtor: algebraične transformacije in substitucij, se vrednost ene spremenljivke nahaja v eni od enačb sistema. Druga enačba je izraz z 2 neznankama, medtem ko sta 3 in 4 s 3 oziroma 4 spremenljivkami.

Po tem, ko sistem privedemo do opisane oblike, se nadaljnja rešitev zmanjša na zaporedno zamenjavo znanih spremenljivk v enačbe sistema.

V šolskih učbenikih za 7. razred je primer rešitve po Gaussovi metodi opisan na naslednji način:

Kot je razvidno iz primera, sta bili v koraku (3) dobljeni dve enačbi: 3x 3 -2x 4 =11 in 3x 3 +2x 4 =7. Reševanje katere koli enačbe vam bo omogočilo, da ugotovite eno od spremenljivk x n.

Izrek 5, ki je omenjen v besedilu, pravi, da če eno od enačb sistema nadomestimo z enakovredno, bo tudi nastali sistem enakovreden prvotnemu.

Dijakom je Gaussova metoda težko razumljiva srednja šola, a je eden izmed najbolj zanimive načine razvijati iznajdljivost otrok, vključenih v izpopolnjevalne programe pri pouku matematike in fizike.

Zaradi lažjega beleženja se izračuni običajno izvedejo na naslednji način:

Koeficienti enačb in prosti členi so zapisani v obliki matrike, kjer vsaka vrstica matrike ustreza eni od enačb sistema. loči leva stran enačbe z desne. Rimske številke označujejo številke enačb v sistemu.

Najprej zapišite matriko, s katero boste delali, nato pa vsa dejanja, izvedena z eno od vrstic. Nastala matrika je zapisana za znakom "puščica" in potrebne algebraične operacije se nadaljujejo, dokler ni dosežen rezultat.

Rezultat mora biti matrika, v kateri je ena od diagonal enaka 1, vsi drugi koeficienti pa so enaki nič, to pomeni, da je matrika reducirana na obliko enote. Ne smemo pozabiti izvesti izračunov s številkami na obeh straneh enačbe.

Ta način snemanja je manj okoren in vam omogoča, da vas ne zmoti naštevanje številnih neznank.

Brezplačna uporaba katere koli metode rešitve zahteva previdnost in nekaj izkušenj. Niso vse metode uporabne narave. Nekatere metode iskanja rešitev so bolj zaželene na določenem področju človeške dejavnosti, druge pa obstajajo za izobraževalne namene.

domov » Literarni klub » Kako najti splošne in posebne rešitve sistema linearnih enačb.