Protiizpeljanka. Antiderivat funkcije in splošnega videza

Oglejmo si gibanje točke vzdolž premice. Naj traja čas t od začetka gibanja je točka prepotovala razdaljo s(t). Nato trenutna hitrost v(t) enaka odvodu funkcije s(t), to je v(t) = s"(t).

V praksi se srečamo z inverznim problemom: dana hitrost gibanja točke v(t) najti pot, po kateri je šla s(t), to je, najti takšno funkcijo s(t), katerega odvod je enak v(t). funkcija s(t), tako da s"(t) = v(t), se imenuje antiodvod funkcije v(t).

Na primer, če v(t) = at, Kje A je dano število, potem funkcija
s(t) = (at 2) / 2v(t), ker
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).

funkcija F(x) imenujemo antiodvod funkcije f(x) v določenem intervalu, če za vse X iz te vrzeli F"(x) = f(x).

Na primer funkcija F(x) = sin x je antiderivacija funkcije f(x) = cos x, ker (sin x)" = cos x; funkcijo F(x) = x 4/4 je antiderivacija funkcije f(x) = x 3, ker (x 4/4)" = x 3.

Razmislimo o problemu.

Naloga.

Dokaži, da so funkcije x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 praodvodi iste funkcije f(x) = x 2.

rešitev.

1) Označimo F 1 (x) = x 3 /3, potem je F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f (x).

2) F 2 (x) = x 3 /3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 /3 + 1)" = (x 3 /3)" + (1)" = x 2 = f( x).

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 – 4)" = x 2 = f (x).

Na splošno je katera koli funkcija x 3 /3 + C, kjer je C konstanta, antiderivacija funkcije x 2. To izhaja iz dejstva, da je odvod konstante enak nič. Ta primer kaže, da je za dano funkcijo njen protiodvod določen dvoumno.

Naj sta F 1 (x) in F 2 (x) dva protiodvoda iste funkcije f(x).

Potem je F 1 "(x) = f(x) in F" 2 (x) = f(x).

Odvod njune razlike g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) je enak nič, saj je g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x ) – f (x) = 0.

Če je g"(x) = 0 na določenem intervalu, potem je tangenta na graf funkcije y = g(x) v vsaki točki tega intervala vzporedna z osjo Ox. Zato je graf funkcije y = g(x) je premica, vzporedna z osjo Ox, tj. g(x) = C, kjer je C neka konstanta iz enakosti g(x) = C, g(x) = F 1 (x). – F 2 (x) sledi F 1 (x) = F 2 (x) + S.

Torej, če je funkcija F(x) antiodvod funkcije f(x) na določenem intervalu, potem so vsi antiodvodi funkcije f(x) zapisani v obliki F(x) + C, kjer je C poljubna konstanta.

Oglejmo si grafe vseh antiodvodov dane funkcije f(x). Če je F(x) eden od antiodvodov funkcije f(x), potem dobimo katerikoli antiodvod te funkcije tako, da F(x) dodamo neko konstanto: F(x) + C. Grafi funkcij y = F( x) + C dobimo iz grafa y = F(x) s premikom vzdolž osi Oy. Z izbiro C lahko zagotovite, da gre graf protiizpeljave skozi dano točko.

Bodimo pozorni na pravila iskanja antiizpeljank.

Spomnimo se, da se imenuje operacija iskanja odvoda za dano funkcijo diferenciacija. Imenuje se obratna operacija iskanja antiodvoda za dano funkcijo integracija(iz latinske besede "obnovi").

Tabela protiizpeljank za nekatere funkcije se lahko sestavi z uporabo tabele izpeljank. Na primer vedeti, da (cos x)" = -sin x, dobimo (-cos x)" = sin x, iz česar sledi, da vse antiderivativne funkcije greh x so zapisane v obrazcu -cos x + C, Kje Z– konstantna.

Oglejmo si nekaj pomenov antiizpeljank.

1) Funkcija: x p, p ≠ -1. protiizpeljanka: (x p+1) / (p+1) + C.

2) Funkcija: 1/x, x > 0. protiizpeljanka: ln x + C.

3) Funkcija: x p, p ≠ -1. protiizpeljanka: (x p+1) / (p+1) + C.

4) Funkcija: e x. protiizpeljanka: e x + C.

5) Funkcija: greh x. protiizpeljanka: -cos x + C.

6) Funkcija: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0. protiizpeljanka: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) Funkcija: 1/(kx + b), k ≠ 0. protiizpeljanka: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) Funkcija: e kx + b, k ≠ 0. protiizpeljanka: (1/k) e kx + b + C.

9) Funkcija: sin (kx + b), k ≠ 0. protiizpeljanka: (-1/k) cos (kx + b).

10) Funkcija: cos (kx + b), k ≠ 0. protiizpeljanka: (1/k) sin (kx + b).

Pravila integracije je mogoče dobiti z uporabo pravila razlikovanja. Poglejmo nekaj pravil.

Naj F(x) in G(x)– antiderivati ​​ustreznih funkcij f(x) in g(x) v nekem intervalu. Nato:

1) funkcijo F(x) ± G(x) je antiderivacija funkcije f(x) ± g(x);

2) funkcijo аF(x) je antiderivacija funkcije af(x).

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.

Ta lekcija je prva v nizu videoposnetkov o integraciji. V njem bomo analizirali, kaj je protiodvod funkcije, in preučili tudi osnovne metode za izračun teh samih protiodvodov.

Pravzaprav tukaj ni nič zapletenega: v bistvu se vse spušča v koncept derivata, ki bi ga morali že poznati :)

Takoj bom opozoril, da ker je to prva lekcija v naši novi temi, danes ne bo zapletenih izračunov in formul, toda to, kar se bomo danes naučili, bo osnova za veliko bolj zapletene izračune in konstrukcije pri izračunu zapletenih integralov in površin .

Poleg tega, ko začnemo študirati zlasti integracijo in integrale, implicitno predvidevamo, da je študent že vsaj seznanjen s koncepti odvodov in ima vsaj osnovne veščine njihovega računanja. Brez jasnega razumevanja tega v integraciji ni prav nič.

Vendar se tukaj skriva ena najpogostejših in zahrbtnih težav. Dejstvo je, da jih mnogi učenci, ko začnejo računati svoje prve protiodvode, zamenjujejo z odpeljankami. Posledično prihaja do neumnih in žaljivih napak pri izpitih in pri samostojnem delu.

Zato zdaj ne bom dal jasne definicije protiizpeljave. V zameno predlagam, da vidite, kako se izračuna na preprostem konkretnem primeru.

Kaj je antiderivat in kako se izračuna?

Poznamo to formulo:

\[((\left(((x)^(n)) \desno))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Ta izpeljanka se preprosto izračuna:

\[(f)"\levo(x \desno)=((\levo(((x)^(3)) \desno))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Pazljivo poglejmo nastali izraz in izrazimo $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\levo(((x)^(3)) \desno))^(\prime )))(3)\]

Lahko pa to zapišemo takole, glede na definicijo izpeljanke:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \desno))^(\prime ))\]

In zdaj pozor: pravkar smo zapisali definicijo protiizpeljave. Če pa ga želite pravilno napisati, morate napisati naslednje:

Na enak način zapišimo naslednji izraz:

Če posplošimo to pravilo, lahko izpeljemo naslednjo formulo:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Zdaj lahko oblikujemo jasno definicijo.

Antiodvod funkcije je funkcija, katere odvod je enak izvorni funkciji.

Vprašanja o funkciji antiderivacije

Zdi se dokaj preprosta in razumljiva definicija. Ko pa ga sliši, bo pozoren študent takoj imel več vprašanj:

1. Recimo, v redu, ta formula je pravilna. Toda v tem primeru, ko je $n=1$, imamo težave: v imenovalcu se pojavi »ničla« in ne moremo deliti z »ničlo«.
2. Formula je omejena samo na stopinje. Kako izračunati protiodvod, na primer sinusa, kosinusa in katere koli druge trigonometrije, pa tudi konstante.
3. Eksistencialno vprašanje: ali je vedno mogoče najti antiderivat? Če da, kaj je potem s protiodvodom vsote, razlike, produkta itd.?

Na zadnje vprašanje odgovorim takoj. Na žalost antiderivat, za razliko od derivata, ni vedno upoštevan. Ne obstaja univerzalna formula, s katero bi iz katere koli začetne konstrukcije dobili funkcijo, ki bo enaka tej podobni konstrukciji. Kar zadeva moči in konstante, bomo o tem zdaj govorili.

Reševanje problemov s potenčnimi funkcijami

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Kot lahko vidite, ta formula za $((x)^(-1))$ ne deluje. Postavlja se vprašanje: kaj potem deluje? Ali ne moremo prešteti $((x)^(-1))$? Seveda lahko. Najprej si zapomnimo tole:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Zdaj pa pomislimo: odvod katere funkcije je enak $\frac(1)(x)$. Očitno se bo vsak študent, ki je vsaj malo študiral to temo, spomnil, da je ta izraz enak odvodu naravnega logaritma:

\[((\levo(\ln x \desno))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Zato lahko z gotovostjo zapišemo naslednje:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]

To formulo morate poznati, tako kot odvod potenčne funkcije.

Torej, kaj vemo do zdaj:

• Za potenčno funkcijo - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• Za konstanto - $=const\to \cdot x$
• Poseben primer potenčne funkcije je $\frac(1)(x)\to \ln x$

In če začnemo množiti in deliti najpreprostejše funkcije, kako potem lahko izračunamo protiodvod produkta ali količnika. Žal analogije z izpeljanko produkta ali količnika tukaj ne delujejo. Standardne formule ni. Za nekatere primere obstajajo zapletene posebne formule - z njimi se bomo seznanili v prihodnjih video lekcijah.

Vendar ne pozabite: ni splošne formule, podobne formuli za izračun odvoda količnika in produkta.

Reševanje resničnih problemov

Naloga št. 1

Izračunajmo vsako potenčno funkcijo posebej:

\[((x)^(2))\do \frac(((x)^(3)))(3)\]

Če se vrnemo k našemu izrazu, zapišemo splošno konstrukcijo:

Problem št. 2

Kot sem že rekel, prototipov del in podrobnosti »na piko« ne upoštevamo. Vendar pa lahko tukaj storite naslednje:

Ulomek smo razčlenili na vsoto dveh ulomkov.

Izračunajmo:

Dobra novica je, da lahko že s poznavanjem formul za izračun antiderivatov izračunate bolj zapletene strukture. Vendar pojdimo dlje in še malo razširimo naše znanje. Dejstvo je, da je veliko konstrukcij in izrazov, ki na prvi pogled nimajo nobene zveze z $((x)^(n))$, mogoče predstaviti kot potence z racionalnim eksponentom, in sicer:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Vse te tehnike je mogoče in je treba kombinirati. Izrazi moči so lahko

• pomnožiti (stopinje sešteti);
• deliti (stopinje se odštejejo);
• pomnožite s konstanto;
• itd.

Reševanje potenčnih izrazov z racionalnim eksponentom

Primer #1

Izračunajmo vsak koren posebej:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Celotno našo konstrukcijo lahko zapišemo takole:

Primer št. 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \desno))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Zato dobimo:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Če zberemo vse v en izraz, lahko zapišemo:

Primer št. 3

Za začetek omenimo, da smo $\sqrt(x)$ že izračunali:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Prepišimo:

Upam, da ne bom nikogar presenetil, če rečem, da so to, kar smo pravkar preučevali, le najpreprostejši izračuni antiizvodov, najbolj elementarne konstrukcije. Poglejmo zdaj malo bolj zapletene primere, v katerih se boste morali poleg tabelarnih protiodvodov spomniti tudi šolskega kurikuluma, in sicer skrajšanih formul za množenje.

Reševanje zahtevnejših primerov

Naloga št. 1

Spomnimo se formule za kvadrat razlike:

\[((\levo(a-b \desno))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Prepišimo našo funkcijo:

Zdaj moramo najti prototip takšne funkcije:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Sestavimo vse skupaj v skupno strukturo:

Problem št. 2

V tem primeru moramo diferencialno kocko razširiti. Spomnimo se:

\[((\levo(a-b \desno))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Ob upoštevanju tega dejstva lahko zapišemo takole:

Malo preoblikujemo našo funkcijo:

Štejemo kot vedno - za vsak termin posebej:

\[((x)^(-3))\do \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\do \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\do \ln x\]

Zapišimo nastalo konstrukcijo:

Problem št. 3

Na vrhu imamo kvadrat vsote, razširimo ga:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \desno))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\levo(\sqrt(x) \desno))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Zapišimo končno rešitev:

Zdaj pa pozor! Zelo pomembna stvar, ki je povezana z levjim deležem napak in nesporazumov. Dejstvo je, da do zdaj ob štetju antiizpeljank z izpeljankami in prinašanjem transformacij nismo razmišljali o tem, čemu je enak odvod konstante. Toda derivat konstante je enak "ničli". To pomeni, da lahko napišete naslednje možnosti:

1. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

To je zelo pomembno razumeti: če je odvod funkcije vedno enak, potem ima ista funkcija neskončno število protiodvodov. Našim protiizpeljankam lahko preprosto dodamo poljubna konstantna števila in dobimo nove.

Ni naključje, da je v razlagi nalog, ki smo jih pravkar rešili, pisalo "Zapiši splošno obliko protiizpeljank." Tisti. Že vnaprej se domneva, da ni eden izmed njih, ampak cela množica. V bistvu pa se razlikujeta le po konstanti $C$ na koncu. Zato bomo pri svojih nalogah popravljali tisto, česar nismo dokončali.

Še enkrat prepišemo naše konstrukcije:

V takih primerih bi morali dodati, da je $C$ konstanta - $C=const$.

V naši drugi funkciji dobimo naslednjo konstrukcijo:

In še zadnja:

In zdaj smo res dobili, kar se od nas zahteva v prvotnem pogoju problema.

Reševanje problemov iskanja praodvodov z dano točko

Zdaj, ko poznamo konstante in posebnosti zapisovanja praizvodov, je povsem logično, da se pojavi naslednja vrsta problema, ko je treba iz množice vseh praizvodov najti enega in edinega, ki bi šel skozi dano točko. . Kakšna je ta naloga?

Dejstvo je, da se vsi protiodvodi določene funkcije razlikujejo le po tem, da so navpično premaknjeni za določeno število. In to pomeni, da ne glede na to, katero točko na koordinatni ravnini vzamemo, bo ena antiderivacija zagotovo prešla in poleg tega le ena.

Torej, težave, ki jih bomo zdaj rešili, so formulirane na naslednji način: ne le poiščite antiderivacijo, če poznate formulo prvotne funkcije, ampak izberite točno tisto, ki poteka skozi dano točko, katere koordinate bodo podane v problemu izjava.

Primer #1

Za začetek preprosto preštejmo vsak izraz:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]

Zdaj te izraze nadomestimo v našo konstrukcijo:

Ta funkcija mora potekati skozi točko $M\left(-1;4 \desno)$. Kaj pomeni, da gre skozi točko? To pomeni, da če namesto $x$ povsod postavimo $-1$ in namesto $F\left(x \right)$ - $-4$, potem bi morali dobiti pravilno številsko enakost. Naredimo to:

Vidimo, da imamo enačbo za $C$, zato jo poskusimo rešiti:

Zapišimo rešitev, ki smo jo iskali:

Primer št. 2

Najprej je treba razkriti kvadrat razlike z uporabo skrajšane formule množenja:

\[((x)^(2))\do \frac(((x)^(3)))(3)\]

Izvirna konstrukcija bo zapisana na naslednji način:

Zdaj poiščemo $C$: nadomestimo koordinate točke $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Izrazimo $C$:

Ostaja še prikaz končnega izraza:

Reševanje trigonometričnih problemov

Za zaključek tega, o čemer smo pravkar razpravljali, predlagam, da razmislimo o dveh kompleksnejših problemih, ki vključujeta trigonometrijo. V njih boste morali na enak način poiskati protiodvode za vse funkcije, nato pa iz tega niza izbrati edino, ki poteka skozi točko $M$ na koordinatni ravnini.

Če pogledam naprej, bi rad omenil, da je tehnika, ki jo bomo zdaj uporabili za iskanje protiodvodov trigonometričnih funkcij, pravzaprav univerzalna tehnika za samotestiranje.

Naloga št. 1

Spomnimo se naslednje formule:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Na podlagi tega lahko zapišemo:

Nadomestimo koordinate točke $M$ v naš izraz:

\[-1=\besedilo(tg)\frac(\besedilo( )\!\!\pi\!\!\besedilo( ))(\besedilo(4))+C\]

Prepišimo izraz ob upoštevanju tega dejstva:

Problem št. 2

To bo malo težje. Zdaj boste videli zakaj.

Spomnimo se te formule:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Če se želite znebiti "minusa", morate storiti naslednje:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Tukaj je naš dizajn

Zamenjajmo koordinate točke $M$:

Skupaj zapišemo končno konstrukcijo:

To je vse, kar sem vam želel danes povedati. Preučevali smo sam pojem praodvod, kako ga izračunamo iz elementarnih funkcij in tudi, kako poiščemo praodvod, ki poteka skozi določeno točko na koordinatni ravnini.

Upam, da vam bo ta lekcija vsaj malo pomagala razumeti to zapleteno temo. Vsekakor pa so nedoločeni in nedoločeni integrali skonstruirani na protiodvodih, zato jih je nujno treba izračunati. To je vse zame. Se vidimo spet!

Protiizpeljanka.

Protiizpeljavo je enostavno razumeti s primerom.

Vzemimo funkcijo y = x 3. Kot vemo iz prejšnjih razdelkov, je izpeljanka iz X 3 je 3 X 2:

(X 3)" = 3X 2 .

Zato iz funkcije y = x 3 dobimo novo funkcijo: pri = 3X 2 .
Figurativno rečeno funkcija pri = X 3 proizvedena funkcija pri = 3X 2 in je njegov »starš«. V matematiki ni besede "starš", obstaja pa soroden koncept: protiizpeljava.

To je: funkcija y = x 3 je protiodvod funkcije pri = 3X 2 .

Opredelitev protiizpeljave:

V našem primeru ( X 3)" = 3X 2 torej y = x 3 – protiizpeljanka za pri = 3X 2 .

Integracija.

Kot veste, se postopek iskanja odvoda dane funkcije imenuje diferenciacija. In inverzna operacija se imenuje integracija.

Primer-razlaga:

pri = 3X 2 + greh x.

rešitev:

Vemo, da je protiizpeljanka za 3 X 2 je X 3 .

Antiizpeljanka za greh x je –cos x.

Seštejemo dva protiodvoda in dobimo protiodvod za dano funkcijo:

y = x 3 + (–cos x),

y = x 3 – cos x.

odgovor:
za funkcijo pri = 3X 2 + greh x y = x 3 – cos x.

Primer-razlaga:

Poiščimo protiodvod za funkcijo pri= 2 greha x.

rešitev:

Opažamo, da je k = 2. Antiizpeljava za sin x je –cos x.

Zato za funkcijo pri= 2 greha x antiderivat je funkcija pri= –2cos x.
Koeficient 2 v funkciji y = 2 sin x ustreza koeficientu protiizpeljave, iz katere je nastala ta funkcija.

Primer-razlaga:

Poiščimo protiodvod za funkcijo l= greh 2 x.

rešitev:

To opazimo k= 2. Protiizpeljava za greh x je –cos x.

Uporabimo našo formulo, da poiščemo antiodvod funkcije l= cos 2 x:

1
l= - · (–cos 2 x),
2

cos 2 x
l = – ----
2

cos 2 x
Odgovor: za funkcijo l= greh 2 x antiderivat je funkcija l = – ----
2

(4)

Primer-razlaga.

Vzemimo funkcijo iz prejšnjega primera: l= greh 2 x.

Za to funkcijo imajo vse antiizpeljave obliko:

cos 2 x
l = – ---- + C.
2

Pojasnilo.

Vzemimo prvo vrstico. Glasi se takole: če je funkcija y = f( x) je 0, potem je njegov antiderivat 1. Zakaj? Ker je odvod enote enak nič: 1" = 0.

Preostale vrstice se berejo v istem vrstnem redu.

Kako zapisati podatke iz tabele? Vzemimo osmo vrstico:

(-cos x)" = greh x

Drugi del zapišemo z izpeljanko, nato enačaj in izpeljanko.

Beremo: antiderivacija za funkcijo sin x je funkcija -cos x.

Ali: funkcija -cos x je antiderivacija za funkcijo sin x.

Protiizpeljanka

Definicija antiderivacijske funkcije

• funkcija y=F(x) imenujemo antiodvod funkcije y=f(x) v danem intervalu X,če za vse X ∈X enakost velja: F′(x) = f(x)

Lahko se bere na dva načina:

1. f odvod funkcije F
2. F antiderivacija funkcije f

Lastnost antiizpeljank

• če F(x)- antiderivacija funkcije f(x) na danem intervalu ima funkcija f(x) neskončno veliko protiodvodov in vse te protiodvode lahko zapišemo v obliki F(x) + C, kjer je C poljubna konstanta.

Geometrijska interpretacija

• Grafi vseh antiodvodov dane funkcije f(x) so pridobljeni iz grafa katere koli antiizpeljave z vzporednimi translacijami vzdolž osi O pri.

Pravila za izračun antiizpeljank

1. Protiodvod vsote je enak vsoti protiodvodov. če F(x)- protiizpeljanka za f(x), in G(x) je antiizpeljava za g(x), To F(x) + G(x)- protiizpeljanka za f(x) + g(x).
2. Konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka odvoda. če F(x)- protiizpeljanka za f(x), In k- konstantno, torej k·F(x)- protiizpeljanka za k f(x).
3. če F(x)- protiizpeljanka za f(x), In k, b- konstantno in k ≠ 0, To 1/k F(kx + b)- protiizpeljanka za f(kx + b).

Ne pozabite!

Katera koli funkcija F(x) = x 2 + C , kjer je C poljubna konstanta in samo taka funkcija je antiderivacija za funkcijo f(x) = 2x.

• Na primer:

  F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x, ker F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x, ker F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

Povezava med grafoma funkcije in njenim protiodvodom:

1. Če graf funkcije f(x)>0 F(x) v tem intervalu narašča.
2. Če graf funkcije f(x)<0 na intervalu, nato pa graf njegovega antiodvoda F(x) se v tem intervalu zmanjša.
3. če f(x)=0, nato graf njegove antiizpeljave F(x) na tej točki se spremeni iz naraščajočega v padajoče (ali obratno).

Za označevanje antiizpeljave se uporablja predznak nedoločenega integrala, to je integral brez navedbe meja integracije.

Nedoločen integral

Opredelitev:

• Nedoločeni integral funkcije f(x) je izraz F(x) + C, to je množica vseh antiodvodov dane funkcije f(x). Nedoločen integral je označen takole: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x)- imenovana funkcija integranda;
• f(x)dx- imenovan integrand;
• x- imenovana spremenljivka integracije;
• F(x)- eden od antiodvodov funkcije f(x);
• Z- poljubna konstanta.

Lastnosti nedoločenega integrala

1. Odvod nedoločenega integrala je enak integrandu: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. Konstantni faktor integranda lahko vzamemo iz predznaka integrala: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. Integral vsote (razlike) funkcij je enak vsoti (razliki) integralov teh funkcij: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. če k, b so konstante in k ≠ 0, potem \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

Tabela protiodvodov in nedoločenih integralov

Newton-Leibnizova formula

Naj f(x) to funkcijo F njen poljubni antiderivat.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)

kje F(x)- protiizpeljanka za f(x)

To je integral funkcije f(x) na intervalu je enaka razliki protiodvodov v točkah b in a.

Območje ukrivljenega trapeza

Krivočrtni trapez je figura, omejena z grafom funkcije, ki je nenegativna in zvezna na intervalu f, Ox os in premice x = a in x = b.

Območje ukrivljenega trapeza najdemo z uporabo Newton-Leibnizove formule:

S= \int_(a)^(b) f(x) dx

Protiizpeljava funkcije in nedoločen integral

Dejstvo 1. Integracija je obratno dejanje diferenciacije, in sicer obnavljanje funkcije iz znanega odvoda te funkcije. Funkcija je tako obnovljena F(x) se imenuje protiizpeljanka za funkcijo f(x).

Definicija 1. Funkcija F(x f(x) v nekem intervalu X, če za vse vrednosti x iz tega intervala velja enakost F "(x)=f(x), torej to funkcijo f(x) je odvod funkcije antiderivacije F(x). .

Na primer funkcija F(x) = greh x je antiderivacija funkcije f(x) = cos x na celotni številski premici, saj za vsako vrednost x (greh x)" = (cos x) .

Definicija 2. Nedoločen integral funkcije f(x) je množica vseh njegovih antiizpeljank. V tem primeru se uporablja notacija

∫

f(x)dx

kje je znak ∫ imenovan integralni znak, funkcija f(x) – funkcija integranda, in f(x)dx – izraz integranda.

Torej, če F(x) – nekaj protiizpeljanke za f(x), To

∫

f(x)dx = F(x) +C

kje C - poljubna konstanta (konstanta).

Za razumevanje pomena niza antiodvodov funkcije kot nedoločenega integrala je primerna naslednja analogija. Naj bodo vrata (tradicionalna lesena vrata). Njegova funkcija je "biti vrata". Iz česa so vrata? Iz lesa. To pomeni, da je množica protiodvodov integranda funkcije »biti vrata«, torej njenega nedoločenega integrala, funkcija »biti drevo + C«, kjer je C konstanta, ki v tem kontekstu lahko označujejo na primer vrsto drevesa. Tako kot so vrata izdelana iz lesa z uporabo nekaterih orodij, je izpeljanka funkcije "izdelana" iz antiizpeljane funkcije z uporabo formule, ki smo se jih naučili med študijem izpeljanke .

Nato je tabela funkcij običajnih predmetov in njihovih ustreznih antiizpeljank ("biti vrata" - "biti drevo", "biti žlica" - "biti kovina" itd.) Podobna tabeli osnovnih nedoločenih integralov, ki bodo podani v nadaljevanju. Tabela nedoločenih integralov navaja skupne funkcije, ki označujejo antiizpeljave, iz katerih so te funkcije "narejene". V delu nalog o iskanju nedoločenega integrala so podani integrandi, ki jih lahko integriramo neposredno brez večjega napora, to je s pomočjo tabele nedoločenih integralov. Pri kompleksnejših problemih je treba integrand najprej transformirati, da lahko uporabimo integrale tabele.

Dejstvo 2. Ko obnavljamo funkcijo kot antiderivacijo, moramo upoštevati poljubno konstanto (konstanto) C, in da ne bi napisali seznama antiizpeljank z različnimi konstantami od 1 do neskončnosti, morate napisati množico antiizpeljank s poljubno konstanto C, na primer takole: 5 x³+C. Torej je poljubna konstanta (konstanta) vključena v izraz antiderivata, saj je antiderivacija lahko funkcija, npr. 5 x³+4 ali 5 x³+3 in pri diferenciranju gre 4 ali 3 ali katera koli druga konstanta na nič.

Postavimo problem integracije: za to funkcijo f(x) najti tako funkcijo F(x), katerih izpeljanka enako f(x).

Primer 1. Poiščite množico protiodvodov funkcije

rešitev. Za to funkcijo je antiderivacija funkcija

funkcija F(x) se imenuje antiodvod za funkcijo f(x), če je izpeljanka F(x) je enako f(x), ali, kar je isto, diferencial F(x) je enako f(x) dx, tj.

(2)

Zato je funkcija antiderivacija funkcije. Vendar pa ni edini antiderivat za. Služijo tudi kot funkcije

kje Z– poljubna konstanta. To lahko preverimo z diferenciacijo.

Torej, če za neko funkcijo obstaja en protiodvod, potem zanjo obstaja neskončno število antiodvodov, ki se razlikujejo s konstantnim členom. Vsi antiodvodi za funkcijo so zapisani v zgornji obliki. To izhaja iz naslednjega izreka.

Izrek (formalna izjava o dejstvu 2).če F(x) – antiderivacija za funkcijo f(x) v nekem intervalu X, potem kateri koli drug protiizpeljanka za f(x) na istem intervalu lahko predstavimo v obliki F(x) + C, Kje Z– poljubna konstanta.

V naslednjem primeru se po lastnostih nedoločenega integrala obrnemo na tabelo integralov, ki bo podana v 3. odstavku. To storimo, preden preberemo celotno tabelo, da je jasno bistvo zgornjega. In po tabeli in lastnostih jih bomo med integracijo uporabili v celoti.

Primer 2. Poiščite nize protiizpeljanih funkcij:

rešitev. Najdemo množice antiizpeljanih funkcij, iz katerih so te funkcije "narejene". Pri omembi formul iz tabele integralov se zaenkrat le sprijaznimo, da take formule tam obstajajo, samo tabelo nedoločenih integralov pa bomo preučili malo naprej.

1) Uporaba formule (7) iz tabele integralov za n= 3, dobimo

2) Z uporabo formule (10) iz tabele integralov za n= 1/3, imamo

3) Ker

potem po formuli (7) s n= -1/4 najdemo

Pod znakom integrala ni zapisana funkcija sama f, in njegov produkt z diferencialom dx. To se naredi predvsem zato, da se pokaže, s katero spremenljivko se išče antiderivat. na primer

, ;

tukaj je v obeh primerih integrand enak , vendar se njegovi nedoločeni integrali v obravnavanih primerih izkažejo za različne. V prvem primeru se ta funkcija obravnava kot funkcija spremenljivke x, in v drugem - kot funkcija z .

Postopek iskanja nedoločenega integrala funkcije se imenuje integracija te funkcije.

Geometrijski pomen nedoločenega integrala

Recimo, da moramo najti krivuljo y=F(x) in že vemo, da je tangens tangentnega kota v vsaki njegovi točki dana funkcija f(x) abscisa te točke.

Glede na geometrijski pomen izpeljanke je tangens kota naklona tangente na določeni točki krivulje y=F(x) enaka vrednosti derivata F"(x). Torej moramo najti takšno funkcijo F(x), za katerega F"(x)=f(x). Funkcija, zahtevana v nalogi F(x) je antiderivat od f(x). Pogojem problema ne izpolnjuje ena krivulja, ampak družina krivulj. y=F(x)- eno od takšnih krivulj, katerokoli drugo krivuljo pa lahko dobimo iz nje z vzporednim prevajanjem vzdolž osi Oj.

Poimenujmo graf antiderivacijske funkcije f(x) integralna krivulja. če F"(x)=f(x), nato graf funkcije y=F(x) obstaja integralna krivulja.

Dejstvo 3. Nedoločen integral je geometrijsko predstavljen z družino vseh integralnih krivulj , kot na spodnji sliki. Razdalja vsake krivulje od izhodišča koordinat je določena s poljubno integracijsko konstanto C.

Lastnosti nedoločenega integrala

Dejstvo 4. Izrek 1. Odvod nedoločenega integrala je enak integrandu, njegov diferencial pa je enak integrandu.

Dejstvo 5. Izrek 2. Nedoločen integral diferenciala funkcije f(x) je enaka funkciji f(x) do stalnega roka , tj.

(3)

Izreka 1 in 2 kažeta, da sta diferenciacija in integracija medsebojno inverzni operaciji.

Dejstvo 6. Izrek 3. Konstantni faktor v integrandu lahko vzamemo iz predznaka nedoločenega integrala , tj.

domov » Šola » Protiizpeljanka. Antiderivat funkcije in splošnega videza