Poiščimo vsoto in produkt korenin kvadratne enačbe. Z uporabo formul (59.8) za korenine zgornje enačbe dobimo

(prva enakost je očitna, drugo dobimo po preprostem izračunu, ki ga bo bralec izvedel samostojno; priročno je uporabiti formulo za množenje vsote dveh števil z njuno razliko).

Dokazano je naslednje

Vietov izrek. Vsota korenov zgornje kvadratne enačbe je enaka drugemu koeficientu z nasprotnim predznakom, njihov produkt pa je enak prostemu členu.

V primeru nereducirane kvadratne enačbe je treba izraze formule (60.1) nadomestiti s formulami (60.1) in prevzeti obliko

Primer 1. Sestavite kvadratno enačbo z njenimi koreninami:

Rešitev, a) Ugotovimo, da ima enačba obliko

Primer 2. Poiščite vsoto kvadratov korenin enačbe, ne da bi rešili samo enačbo.

rešitev. Vsota in produkt korenov sta znana. Predstavimo vsoto kvadratnih korenov v obliki

in dobimo

Iz Vietinih formul je enostavno dobiti formulo

izražanje pravila za faktorizacijo kvadratnega trinoma.

Res, zapišimo formule (60.2) v obliki

Zdaj imamo

kar smo morali dobiti.

Zgornjo izpeljavo Vietovih formul bralec pozna iz srednješolskega tečaja algebre. Drug zaključek je mogoče podati z uporabo Bezoutovega izreka in faktorizacije polinoma (odstavka 51, 52).

Pustimo korenine enačbe, potem se v skladu s splošnim pravilom (52.2) trinom na levi strani enačbe faktorizira:

Če odpremo oklepaje na desni strani te enake enakosti, dobimo

in primerjava koeficientov pri istih potencah nam bo dala formulo Vieta (60.1).

Prednost te izpeljave je, da jo lahko uporabimo za enačbe višjih stopenj, da dobimo izraze za koeficiente enačbe v smislu njenih korenin (brez iskanja samih korenin!). Na primer, če so korenine dane kubične enačbe

bistvo je, da glede na enakost (52.2) najdemo

(v našem primeru z odpiranjem oklepajev na desni strani enakosti in zbiranjem koeficientov na različnih stopnjah dobimo

Spletni kalkulator.
Izolacija kvadrata binoma in faktorizacija kvadratnega trinoma.

Tisti. težave se skrčijo na iskanje števil \(p, q\) in \(n, m\)

Program ne daje samo odgovora na problem, ampak tudi prikaže postopek reševanja.

Ta program je lahko koristen za srednješolce v splošnih šolah, ko se pripravljajo na teste in izpite, pri preverjanju znanja pred enotnim državnim izpitom in za starše, da nadzorujejo rešitev številnih problemov iz matematike in algebre.

Ali pa vam je morda predrago najeti mentorja ali kupiti nove učbenike? Ali pa želite kar se da hitro narediti domačo nalogo iz matematike ali algebre? V tem primeru lahko uporabite tudi naše programe s podrobnimi rešitvami.

Na ta način lahko izvajate lastno usposabljanje in/ali usposabljanje svojih mlajših bratov ali sester, hkrati pa se dvigne raven izobrazbe na področju reševanja problemov.

Če niste seznanjeni s pravili za vnos kvadratnega trinoma, priporočamo, da se z njimi seznanite.

Pravila za vnos kvadratnega polinoma
Vsaka latinska črka lahko deluje kot spremenljivka.

Na primer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) itd.
Številke lahko vnesete kot cela ali ulomka.

Poleg tega je mogoče ulomke vnesti ne le v obliki decimalke, ampak tudi v obliki navadnega ulomka.
Pravila za vnos decimalnih ulomkov.
Pri decimalnih ulomkih je lahko ulomek od celotnega dela ločen s piko ali vejico.

Tako lahko na primer vnesete decimalne ulomke: 2,5x - 3,5x^2
Pravila za vnos navadnih ulomkov.

Samo celo število lahko deluje kot števec, imenovalec in celo število ulomka.

Imenovalec ne more biti negativen. /
Pri vnosu številskega ulomka je števec ločen od imenovalca z znakom za deljenje: &
Celoten del je ločen od ulomka z znakom &:
Vnos: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2

Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\) Pri vnosu izraza lahko uporabite oklepaje
. V tem primeru pri reševanju vneseni izraz najprej poenostavimo.

Na primer: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

Primer podrobne rešitve Izolacija kvadrata binoma. $$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \desno)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \desno)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\levo(\frac(1)(2) \desno)\cdot x + \levo(\frac(1)(2) \desno)^2 \desno)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\levo(x+\frac(1)(2) \desno)^2-\frac(9)(2) $$ odgovor: $$2x^2+2x-4 = 2\levo(x+\frac(1)(2) \desno)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizacija.
$$ 2\levo(x^2+x-2 \desno) = $$
$$ 2 \levo(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \desno) = $$ $$ 2 \levo(x \levo(x +2 \desno) -1 \levo(x +2 \desno) ) \desno) = $$ $$ 2 \levo(x -1 \desno) \levo(x +2 \desno) $$ $$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \desno)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \desno)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\levo(\frac(1)(2) \desno)\cdot x + \levo(\frac(1)(2) \desno)^2 \desno)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\levo(x+\frac(1)(2) \desno)^2-\frac(9)(2) $$$$2x^2+2x-4 = 2 \levo(x -1 \desno) \levo(x +2 \desno) $$

Ugotovljeno je bilo, da nekateri skripti, potrebni za rešitev te težave, niso bili naloženi in program morda ne bo deloval.
Morda imate omogočen AdBlock.
V tem primeru ga onemogočite in osvežite stran.

Ker Veliko ljudi je pripravljenih rešiti problem, vaša zahteva je v čakalni vrsti.
Čez nekaj sekund se spodaj prikaže rešitev.
Počakajte prosim sek...

če ti opazil napako v rešitvi, potem lahko o tem pišete v obrazcu za povratne informacije.
Ne pozabi navedite, katero nalogo ti se odloči kaj vnesite v polja.

Naše igre, uganke, emulatorji:

Malo teorije.

Ločitev kvadrata binoma od kvadratnega trinoma

Če je kvadratni trinom ax 2 +bx+c predstavljen kot a(x+p) 2 +q, kjer sta p in q realni števili, potem pravimo, da iz kvadratni trinom, kvadrat binoma je poudarjen.

Iz trinoma 2x 2 +12x+14 izluščimo kvadrat binoma.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Če želite to narediti, si predstavljajte 6x kot zmnožek 2*3*x, nato pa seštejte in odštejte 3 2. Dobimo:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

to. mi izlušči kvadratni binom iz kvadratnega trinoma in pokazal, da:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Faktoriziranje kvadratnega trinoma

Če je kvadratni trinom ax 2 +bx+c predstavljen v obliki a(x+n)(x+m), kjer sta n in m realni števili, se reče, da je bila operacija izvedena faktorizacija kvadratnega trinoma.

S primerom pokažimo, kako poteka ta preobrazba.

Razčlenimo kvadratni trinom 2x 2 +4x-6.

Vzemimo koeficient a iz oklepaja, tj. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Transformirajmo izraz v oklepajih.
Če želite to narediti, si predstavljajte 2x kot razliko 3x-1x in -3 kot -1*3. Dobimo:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

to. mi faktoriziral kvadratni trinom in pokazal, da:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Upoštevajte, da je faktoriziranje kvadratnega trinoma možno le, če ima kvadratna enačba, ki ustreza temu trinomu, korenine.
Tisti. v našem primeru je možno faktorizirati trinom 2x 2 +4x-6, če ima kvadratna enačba 2x 2 +4x-6 =0 korene. V procesu faktorizacije smo ugotovili, da ima enačba 2x 2 + 4x-6 = 0 dva korena 1 in -3, ker s temi vrednostmi se enačba 2(x-1)(x+3)=0 spremeni v pravo enakost.

V tej lekciji se bomo naučili faktorizirati kvadratne trinome na linearne faktorje. Da bi to naredili, se moramo spomniti Vietovega izreka in njegovega obrata. Ta veščina nam bo pomagala hitro in priročno razširiti kvadratne trinome v linearne faktorje, prav tako pa bo poenostavila redukcijo ulomkov, sestavljenih iz izrazov.

Torej se vrnimo k kvadratni enačbi, kjer je .

Kar imamo na levi strani, se imenuje kvadratni trinom.

Izrek je resničen:Če so korenine kvadratnega trinoma, potem velja identiteta

Kjer je vodilni koeficient, so korenine enačbe.

Imamo torej kvadratno enačbo - kvadratni trinom, kjer korenine kvadratne enačbe imenujemo tudi korenine kvadratnega trinoma. Torej, če imamo korenine kvadratnega trinoma, potem je ta trinom razstavljen na linearne faktorje.

Dokaz:

Dokaz tega dejstva je izveden z uporabo Vietovega izreka, o katerem smo razpravljali v prejšnjih lekcijah.

Spomnimo se, kaj nam pove Vietin izrek:

Če so korenine kvadratni trinom za katere , Potem .

Iz tega izreka sledi naslednja izjava:

Vidimo, da v skladu z Vietaovim izrekom, tj. s substitucijo teh vrednosti v zgornjo formulo, dobimo naslednji izraz

Q.E.D.

Spomnimo se, da smo dokazali izrek, da če so koreni kvadratnega trinoma, potem je razširitev veljavna.

Sedaj pa se spomnimo primera kvadratne enačbe, ki smo ji izbrali korene z uporabo Vietovega izreka. Iz tega dejstva lahko zaradi dokazanega izreka dobimo naslednjo enakost:

Zdaj pa preverimo pravilnost tega dejstva tako, da preprosto odpremo oklepaje:

Vidimo, da smo faktorizirali pravilno, in vsak trinom, če ima korenine, je mogoče faktorizirati v skladu s tem izrekom na linearne faktorje v skladu s formulo

Vendar pa preverimo, ali je takšna faktorizacija možna za katero koli enačbo:

Vzemimo na primer enačbo. Najprej preverimo diskriminantni predznak

In spomnimo se, da mora biti za izpolnitev izreka, ki smo se ga naučili, D večji od 0, tako da v tem primeru faktorizacija po izreku, ki smo se ga naučili, ni mogoča.

Zato oblikujemo nov izrek: če kvadratni trinom nima korenin, ga ni mogoče razstaviti na linearne faktorje.

Torej, pogledali smo Vietov izrek, možnost razgradnje kvadratnega trinoma na linearne faktorje, zdaj pa bomo rešili več problemov.

Naloga št. 1

V tej skupini bomo dejansko reševali problem, inverzen zastavljenemu. Imeli smo enačbo in njene korene smo našli tako, da smo jo faktorizirali. Tukaj bomo naredili nasprotno. Recimo, da imamo korenine kvadratne enačbe

Obratna težava je naslednja: napišite kvadratno enačbo z njenimi koreninami.

Ta problem lahko rešite na 2 načina.

Ker so torej korenine enačbe je kvadratna enačba, katere koreni so dane številke. Zdaj pa odprimo oklepaje in preverimo:

To je bil prvi način, da smo sestavili kvadratno enačbo z danimi koreninami, ki nima drugih korenin, saj ima vsaka kvadratna enačba največ dve korenini.

Ta metoda vključuje uporabo inverznega Vieta izreka.

Če so koreni enačbe, potem izpolnjujejo pogoj, da .

Za reducirano kvadratno enačbo , , tj. v tem primeru in .

Tako smo ustvarili kvadratno enačbo, ki ima dane korenine.

Naloga št. 2

Treba je zmanjšati delež.

Imamo trinom v števcu in trinom v imenovalcu, trinome pa lahko faktoriziramo ali pa ne. Če sta tako števec kot imenovalec faktorizirana, so lahko med njima enaki faktorji, ki jih je mogoče zmanjšati.

Najprej morate faktorizirati števec.

Najprej morate preveriti, ali je to enačbo mogoče faktorizirati, poiščimo diskriminanco. Ker je predznak odvisen od zmnožka (mora biti manjši od 0), v tem primeru, tj. dana enačba ima korene.

Za rešitev uporabimo Vietov izrek:

V tem primeru, ker imamo opravka s koreninami, bo korenine kar težko preprosto izbrati. Vidimo pa, da so koeficienti uravnoteženi, se pravi, če predpostavimo, da , in to vrednost nadomestimo v enačbo, dobimo naslednji sistem: , tj. 5-5=0. Tako smo izbrali enega od korenov te kvadratne enačbe.

Drugi koren bomo iskali tako, da v sistem enačb nadomestimo že znano, na primer , tj. .

Tako smo našli oba korena kvadratne enačbe in lahko nadomestimo njuni vrednosti v izvirno enačbo, da jo faktoriziramo:

Spomnimo se prvotnega problema, zmanjšati smo morali ulomek.

Poskusimo rešiti problem z zamenjavo.

Ne smemo pozabiti, da v tem primeru imenovalec ne more biti enak 0, tj.

Če so ti pogoji izpolnjeni, smo prvotni ulomek reducirali na obliko .

Problem št. 3 (naloga s parametrom)

Pri katerih vrednostih parametra je vsota korenin kvadratne enačbe

Če korenine te enačbe obstajajo, potem , vprašanje: kdaj.

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

• Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

• Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
• Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
• Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
• Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

• Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodnim postopkom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
• V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, našim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse varovanja zasebnosti.

Kvadratni trinom imenujemo polinom oblike sekira 2 +bx +c, Kje x– spremenljivka, a,b,c– nekaj števil in a ≠ 0.

Koeficient A klical višji koeficient, c – brezplačen član kvadratni trinom.

Primeri kvadratnih trinomov:

2 x 2 + 5x+4(Tukaj a = 2, b = 5, c = 4)

x 2 – 7x + 5(Tukaj a = 1, b = -7, c = 5)

9x 2 + 9x – 9(Tukaj a = 9, b = 9, c = -9)

Koeficient b ali koeficient c ali pa sta lahko oba koeficienta enaka nič hkrati. Na primer:

5 x 2 + 3x(Tukaja = 5,b = 3,c = 0, zato v enačbi ni vrednosti za c).

6x 2 – 8 (Tukaja = 6, b = 0, c = -8)

2x2(Tukaja = 2, b = 0, c = 0)

Imenuje se vrednost spremenljivke, pri kateri polinom izniči koren polinoma.

Iskanje korenin kvadratnega trinomasekira 2 + bx + c, ga moramo enačiti z nič -
to je rešiti kvadratno enačbosekira 2 + bx + c = 0 (glejte poglavje "Kvadratna enačba").

Faktoriziranje kvadratnega trinoma

primer:

Razložimo trinom 2 na faktorje x 2 + 7x – 4.

Vidimo: koeficient A = 2.

Zdaj pa poiščimo korenine trinoma. Da bi to naredili, ga enačimo z nič in rešimo enačbo

2x 2 + 7x – 4 = 0.

Kako rešiti takšno enačbo - glejte razdelek »Formule korenin kvadratne enačbe. Diskriminator." Tukaj bomo takoj navedli rezultat izračunov. Naš trinom ima dva korena:

x 1 = 1/2, x 2 = –4.

Nadomestimo vrednosti korenin v našo formulo, pri čemer vzamemo vrednost koeficienta iz oklepajev A, in dobimo:

2x 2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).

Dobljeni rezultat lahko zapišemo drugače, če koeficient 2 pomnožimo z binomom x – 1/2:

2x 2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).

Problem je rešen: trinom je faktoriziran.

Takšno razširitev lahko dobimo za vsak kvadratni trinom, ki ima korenine.

POZOR!

Če je diskriminant kvadratnega trinoma enak nič, ima ta trinom en koren, vendar se pri razgradnji trinoma ta koren vzame kot vrednost dveh korenov - torej kot ista vrednost x 1 inx 2 .

Na primer, trinom ima en koren, ki je enak 3. Potem je x 1 = 3, x 2 = 3.

domov » Irina » Kako faktorizirati kvadratni trinom? Kvadratni trinom. Faktoriziranje kvadratnega trinoma