Kompleksna števila, njihova predstavitev na ravnini. Algebraične operacije na kompleksnih številih. Kompleksno združevanje. Modul in argument kompleksnega števila. Algebraične in trigonometrične oblike kompleksnih števil. Koreni kompleksnih števil. Eksponentna funkcija kompleksnega argumenta. Eulerjeva formula. Eksponentna oblika kompleksnega števila.

Pri preučevanju ene od osnovnih metod integracije: integracije racionalnih ulomkov, je treba upoštevati polinome v kompleksni domeni, da izvedemo stroge dokaze. Zato najprej preučimo nekatere lastnosti kompleksnih števil in operacij z njimi.

Opredelitev 7.1. Kompleksno število z je urejen par realnih števil (a,b) : z = (a,b) (izraz urejeno pomeni, da je pri zapisu kompleksnega števila pomemben vrstni red števil a in b: (a ,b)≠(b,a )). V tem primeru prvo število a imenujemo realni del kompleksnega števila z in ga označimo z a = Re z, drugo število b pa imenujemo imaginarni del z: b = Im z.

Opredelitev 7.2. Dve kompleksni števili z 1 = (a 1 , b 1) in z 2 = (a 2 , b 2) sta enaki, če in samo če sta njun realni in imaginarni del enaka, to je a 1 = a 2 , b 1 = b 2 .

Operacije s kompleksnimi števili.

1. Znesek kompleksna števila z 1 =(a 1, b 1) In z 2 =(a 2, b 2 z =(a,b) tako, da a = a 1 + a 2, b = b 1 + b 2. Lastnosti dodatka: a) z 1 + z 2 = z 2 + z 1; b) z 1 +(z 2 + z 3) = (z 1 + z 2) + z 3; c) obstaja kompleksno število 0 = (0,0): z + 0 =z za poljubno kompleksno število z.

2. delo kompleksna števila z 1 =(a 1, b 1) In z 2 =(a 2, b 2) imenujemo kompleksno število z =(a,b) tako, da a = a 1 a 2 – b 1 b 2, b = a 1 b 2 + a 2 b 1. Lastnosti množenja: a) z 1 z 2 = z 2 z 1; b) z 1 (z 2 z 3) = (z 1 z 2) z 3, V) ( z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3 .

Komentiraj. Podmnožica množice kompleksnih števil je množica realnih števil, definirana kot kompleksna števila oblike ( A, 0). Vidimo, da definicija operacij nad kompleksnimi števili ohranja znana pravila za ustrezne operacije nad realnimi števili. Poleg tega realno število 1 = (1,0) ohrani svojo lastnost, če ga pomnožimo s poljubnim kompleksnim številom: 1∙ z = z.

Opredelitev 7.3. Kompleksno število (0, b) se imenuje čisto namišljeno. Zlasti se imenuje število (0,1). imaginarna enota in je označen s simbolom i.

Lastnosti namišljene enote:

1) i∙i=i² = -1; 2) čisto namišljeno število (0, b) lahko predstavimo kot produkt realnega števila ( b, 0) in i: (b, 0) = b∙i.

Zato lahko vsako kompleksno število z = (a,b) predstavimo kot: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.

Opredelitev 7.4. Zapis v obliki z = a + ib imenujemo algebraični zapis kompleksnega števila.

Komentiraj. Algebrski zapis kompleksnih števil omogoča operacije z njimi po običajnih pravilih algebre.

Opredelitev 7.5. Kompleksno število imenujemo kompleksna konjugata z = a + ib.

3. Odštevanje kompleksna števila je definirana kot inverzna operacija seštevanja: z =(a,b) imenujemo razlika kompleksnih števil z 1 =(a 1, b 1) In z 2 =(a 2, b 2), če a = a 1 – a 2, b = b 1 – b 2.

4. Delitev kompleksna števila definiramo kot inverzno operacijo množenja: število z = a + ib imenujemo količnik deljenja z 1 = a 1 + ib 1 in z 2 = a 2 + ib 2(z 2 ≠ 0), če z 1 = z∙z 2 . Posledično lahko realni in imaginarni del količnika najdemo z reševanjem sistema enačb: a 2 a – b 2 b = a 1, b 2 a + a 2 b = b 1.

Geometrijska interpretacija kompleksnih števil.

Kompleksno število z =(a,b) lahko predstavimo kot točko na ravnini s koordinatami ( a,b) ali vektor z izhodiščem v izhodišču in koncem v točki ( a,b).

V tem primeru se imenuje modul nastalega vektorja modul kompleksno število, kot, ki ga tvori vektor s pozitivno smerjo abscisne osi, pa je argumentštevilke. Glede na to a = ρ cos φ, b = ρ greh φ, kje ρ = |z| - modul z, in φ = arg z je njegov argument, lahko dobite drugo obliko zapisa kompleksnega števila:

Opredelitev 7.6. Vrsta snemanja

z = ρ(ker φ + i greh φ ) (7.1)

klical trigonometrična oblika pisanje kompleksnega števila.

Modul in argument kompleksnega števila pa lahko izrazimo z A in b: . Posledično argument kompleksnega števila ni enolično določen, ampak do izraza, ki je večkratnik 2π.

Preprosto je preveriti, da operacija seštevanja kompleksnih števil ustreza operaciji seštevanja vektorjev. Oglejmo si geometrijsko razlago množenja. Naj potem

Zato je modul produkta dveh kompleksnih števil enak produktu njunih modulov, argument pa je vsota njunih argumentov. V skladu s tem je pri deljenju modul količnika enak razmerju modulov dividende in delitelja, argument pa je razlika med njunima argumentoma.

Poseben primer operacije množenja je potenciranje:

- Moivrejeva formula.

S pomočjo dobljenih relacij naštejemo glavne lastnosti kompleksno konjugiranih števil:

Geometrijski model množice R realnih števil je številska premica. Vsako realno število ustreza eni točki

Z dodajanjem še ene dimenzije številski premici, ki ustreza množici vseh realnih števil – premici, ki vsebuje množico čistih števil

Geometrijski pomen konjugacijske operacije

Slika realnih števil

Slika kompleksnih števil

Primeri upodabljanja kompleksnih števil na koordinatni ravnini

Na koordinatno ravnino nariši množico vseh kompleksnih števil, za katere:

Določanje kompleksnega števila je enakovredno podajanju dveh realnih števil a, b – realnega in imaginarnega dela danega kompleksnega števila. Toda urejen par števil je v kartezičnem pravokotnem koordinatnem sistemu predstavljen s točko s koordinatami. Tako lahko ta točka služi tudi kot slika za kompleksno število z: med kompleksnimi števili in točkami se vzpostavi ujemanje ena proti ena. koordinatne ravnine. Pri uporabi koordinatne ravnine za upodabljanje kompleksnih števil se os Ox običajno imenuje realna os (ker je realni del števila vzet kot abscisa točke), os Oy pa namišljena os (ker imaginarni del števila vzamemo kot ordinato točke). Kompleksno število z, ki ga predstavlja točka (a, b), imenujemo pripona te točke. V tem primeru so realna števila predstavljena s točkami, ki ležijo na realni osi, vsa čisto imaginarna števila (pri a = 0) pa so predstavljena s točkami, ki ležijo na imaginarni osi. Število nič je predstavljeno s točko O.

Na sl. Sestavljenih je 8 slik števil.

Dve kompleksni konjugirani števili sta predstavljeni s točkama, simetričnima glede na os Ox (točke na sliki 8).

S kompleksnim številom pogosto ni povezana samo točka M, ki predstavlja to število, temveč tudi vektor OM (glej odstavek 93), ki vodi od O do M; Predstavitev števila kot vektorja je priročna z vidika geometrijske interpretacije dejanja seštevanja in odštevanja kompleksnih števil.

Na sl. 9, a je prikazano, da vektor, ki predstavlja vsoto kompleksnih števil, dobimo kot diagonalo paralelograma, zgrajenega na vektorjih, ki predstavljajo člene.

To pravilo za seštevanje vektorjev je znano kot pravilo paralelograma (na primer za seštevanje sil ali hitrosti pri tečaju fizike). Odštevanje se lahko zmanjša na dodajanje z nasprotnim vektorjem (slika 9, b).

Kot je znano (točka 8), lahko položaj točke na ravnini določimo tudi z njenimi polarnimi koordinatami. Tako bo kompleksno število - pripona točke določena tudi z nalogo Iz sl. 10 je jasno, da je hkrati modul kompleksnega števila: polarni polmer točke, ki predstavlja število, je enak modulu tega števila.

Polarni kot točke M imenujemo argument števila, ki ga predstavlja ta točka. Argument kompleksnega števila (kot je polarni kot točke) ni definiran dvoumno; če je ena od njegovih vrednosti, so vse njegove vrednosti izražene s formulo

Vse vrednosti argumenta so skupaj označene s simbolom.

Torej lahko vsako kompleksno število povežemo s parom realnih števil: modulom in argumentom danega števila, argument pa je določen dvoumno. Nasprotno, dani modul in argument ustreza enemu številu, ki ima dani modul in argument. Število nič ima posebne lastnosti: njegov modul je enak nič, njegovemu argumentu pa ni dodeljena nobena posebna vrednost.

Da bi dosegli nedvoumnost pri definiciji argumenta kompleksnega števila, se lahko dogovorimo, da eno od vrednosti argumenta imenujemo glavna. Označena je s simbolom. Običajno je glavna vrednost argumenta izbrana kot vrednost, ki zadovoljuje neenakosti

(v drugih primerih neenakosti).

Bodimo pozorni tudi na vrednosti argumenta realnih in čisto imaginarnih števil:

Realni in imaginarni del kompleksnega števila (kot kartezične koordinate točke) sta izražena z njegovim modulom in argumentom (polarne koordinate točke) z uporabo formul (8.3):

in kompleksno število lahko zapišemo v naslednji trigonometrični obliki.

domov » Literarni klub » Modul in argument kompleksnega števila. Trigonometrična