X p 2 graf. Algoritem za konstruiranje kvadratne funkcije

Načrt za konstruiranje kvadratne funkcije.

1. Funkcijska domena (D(l)).

2. Graf te funkcije je parabola, katere veje so usmerjene navzgor (navzdol), ker a = __ > 0 (a = __< 0).

3. Koordinate vrha parabole.

4. Enačba simetrijske osi.

5. Točka presečišča grafa z osjoojoj.

6. Funkcijske ničle.

7. Tabela funkcijskih vrednosti.

8. Urnik.

Primer izrisa funkcije l = x 2 – 4 x + 3

1. D(l) = (- ∞; + ∞).

2. Graf te funkcije je parabola, katere veje so usmerjene navzgor, saj je a = 1 > 0.

3. Koordinate vrha parabole:

x 0 = - , l 0 = 2 2 - 4 2 + 3 = 4 – 8 + 3 = - 1.

4. Enačba simetrijske osix = 2.

5. Točka presečišča z osjoojoj (0; 3).

6. Funkcijske ničle:

x 2 – 4 x + 3 = 0 D = (- 4) 2 – 4 1 3 = 16 -12 = 4 = 2 2

x 1 = = 1 x 2 = = 3

7. Ustvarimo tabelo funkcijskih vrednosti:

0

1

2

3

3

0

- 1

0

8. Zgradimo graf

Lastnosti funkcije:

1. Niz funkcijskih vrednosti (E (l)).

2. Intervali konstantnega znaka funkcije (l>0, l<0).

3. Intervali monotonosti funkcije (naraščanja, padanja).

4. Točki maksimuma in minimuma funkcije.

Lastnosti funkcije l = x 2 – 4 x + 3.

1. E (l) = [-1; + ∞).

2. l < 0, при x (1; 3).

Kako sestaviti parabolo? Obstaja več načinov za risanje kvadratne funkcije. Vsak od njih ima svoje prednosti in slabosti. Razmislimo o dveh načinih.

Začnimo z risanjem kvadratne funkcije oblike y=x²+bx+c in y= -x²+bx+c.

Primer.

Narišite graf funkcije y=x²+2x-3.

rešitev:

y=x²+2x-3 je kvadratna funkcija. Graf je parabola z vejami navzgor. Koordinate vrha parabole

Iz oglišča (-1;-4) zgradimo graf parabole y=x² (kot iz izhodišča koordinat. Namesto (0;0) - oglišče (-1;-4). Iz (-1; -4) gremo v desno za 1 enoto in navzgor za 1 enoto, nato levo za 1 in navzgor za 1 nato: 2 - desno, 4 - navzgor, 3 - navzgor, 3 -; levo, 9 - navzgor Če teh 7 točk ni dovolj, potem 4 na desno, 16 na vrh itd.).

Graf kvadratne funkcije y= -x²+bx+c je parabola, katere veje so obrnjene navzdol. Za sestavo grafa poiščemo koordinate oglišča in iz njih sestavimo parabolo y= -x².

Primer.

Graf funkcije y= -x²+2x+8.

rešitev:

y= -x²+2x+8 je kvadratna funkcija. Graf je parabola z vejami navzdol. Koordinate vrha parabole

Z vrha sestavimo parabolo y= -x² (1 - desno, 1 - dol; 1 - levo, 1 - dol; 2 - desno, 4 - dol; 2 - levo, 4 - dol itd.):

Ta metoda vam omogoča hitro sestavljanje parabole in ne povzroča težav, če znate grafično prikazati funkciji y=x² in y= -x². Slabost: če so koordinate oglišča delna števila, ni zelo priročno graditi graf. Če želite vedeti natančne vrednosti točk presečišča grafa z osjo Ox, boste morali dodatno rešiti enačbo x²+bx+c=0 (ali -x²+bx+c=0), tudi če je te točke mogoče neposredno določiti iz risbe.

Drug način za konstruiranje parabole je po točkah, to pomeni, da lahko najdete več točk na grafu in skozi njih narišete parabolo (ob upoštevanju, da je premica x=xₒ njena simetrijska os). Običajno za to vzamejo vrh parabole, točke presečišča grafa s koordinatnimi osemi in 1-2 dodatni točki.

Nariši graf funkcije y=x²+5x+4.

rešitev:

y=x²+5x+4 je kvadratna funkcija. Graf je parabola z vejami navzgor. Koordinate vrha parabole

to pomeni, da je vrh parabole točka (-2,5; -2,25).

Iščejo. Na presečišču z osjo Ox y=0: x²+5x+4=0. Koreni kvadratne enačbe x1=-1, x2=-4, torej na grafu smo dobili dve točki (-1; 0) in (-4; 0).

V točki presečišča grafa z osjo Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Dobili smo točko (0; 4).

Za razjasnitev grafa lahko najdete dodatno točko. Vzemimo x=1, nato y=1²+5∙1+4=10, kar pomeni, da je druga točka na grafu (1; 10). Te točke označimo na koordinatni ravnini. Ob upoštevanju simetrije parabole glede na premico, ki poteka skozi njeno oglišče, označimo še dve točki: (-5; 6) in (-6; 10) in skozi njiju narišemo parabolo:

Narišite graf funkcije y= -x²-3x.

rešitev:

y= -x²-3x je kvadratna funkcija. Graf je parabola z vejami navzdol. Koordinate vrha parabole

Oglišče (-1,5; 2,25) je prva točka parabole.

V točkah presečišča grafa z osjo x y=0, torej rešujemo enačbo -x²-3x=0. Njeni koreni sta x=0 in x=-3, to je (0;0) in (-3;0) - še dve točki na grafu. Točka (o; 0) je tudi točka presečišča parabole z ordinatno osjo.

Pri x=1 y=-1²-3∙1=-4 je (1; -4) dodatna točka za risanje.

Konstruiranje parabole iz točk je bolj delovno intenzivna metoda v primerjavi s prvo. Če parabola ne seka osi Ox, bo potrebnih več dodatnih točk.

Preden nadaljujemo z gradnjo grafov kvadratnih funkcij oblike y=ax²+bx+c, razmislimo o konstrukciji grafov funkcij z uporabo geometrijskih transformacij. Prav tako je najbolj priročno sestaviti grafe funkcij oblike y=x²+c z uporabo ene od teh transformacij - vzporednega prevajanja.

Funkcija y=x^2 se imenuje kvadratna funkcija. Graf kvadratne funkcije je parabola. Splošni pogled na parabolo je prikazan na spodnji sliki.

Kvadratna funkcija

Slika 1. Splošni pogled na parabolo

Kot je razvidno iz grafa, je simetričen glede na os Oy. Os Oy se imenuje simetrijska os parabole. To pomeni, da če na graf narišete ravno črto vzporedno z osjo Ox nad to osjo. Nato bo sekal parabolo v dveh točkah. Razdalja od teh točk do osi Oy bo enaka.

Simetrijska os deli graf parabole na dva dela. Ti deli se imenujejo veje parabole. In točka parabole, ki leži na simetrični osi, se imenuje vrh parabole. To pomeni, da gre simetrijska os skozi vrh parabole. Koordinate te točke so (0;0).

Osnovne lastnosti kvadratne funkcije

1. Pri x =0, y=0 in y>0 pri x0

2. Kvadratna funkcija doseže najmanjšo vrednost na svojem oglišču. Ymin pri x=0; Upoštevati je treba tudi, da funkcija nima največje vrednosti.

3. Funkcija pada na intervalu (-∞;0] in narašča na intervalu; graf f(x) = x + 2 je premica, vzporedna s premico f(x) = x, vendar pomaknjena navzgor za dve enot in torej poteka skozi točko s koordinatami (0,2) (ker je konstanta 2).

Grafiranje kompleksne funkcije

Poiščite ničle funkcije. Ničle funkcije so vrednosti spremenljivke x, kjer je y = 0, to so točke, kjer graf seka os X. Ne pozabite, da nimajo vse funkcije ničel, vendar so prve korak v procesu grafičnega prikazovanja katere koli funkcije. Če želite najti ničle funkcije, jo enačite z nič. Na primer:

Poiščite in označite horizontalne asimptote. Asimptota je črta, ki se ji graf funkcije približuje, vendar je nikoli ne seka (to pomeni, da v tem območju funkcija ni definirana, na primer pri deljenju z 0). Asimptoto označite s pikčasto črto. Če je spremenljivka "x" v imenovalcu ulomka (npr. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), nastavite imenovalec na nič in poiščite "x". V dobljenih vrednostih spremenljivke "x" funkcija ni definirana (v našem primeru narišite črtkane črte skozi x = 2 in x = -2), ker ne morete deliti z 0. Toda asimptote ne obstajajo samo v primerih, ko funkcija vsebuje frakcijski izraz. Zato je priporočljivo uporabljati zdrav razum:

Konstruirajte krivuljo, podano s parametričnimi enačbami\

Najprej preučimo grafa funkcij \(x\levo(t \desno)\) in \(x\levo(t \desno)\). Obe funkciji sta kubična polinoma, ki sta definirana za vse \(x \in \mathbb(R).\) Poiščite odvod \(x"\left(t \right):\) \[ (x"\left(t \ desno) = (\levo(((t^3) + (t^2) - t) \desno)^\prime ) ) = (3(t^2) + 2t - 1.) \] Reševanje enačbe \ ( x"\left(t \right) = 0,\) določimo stacionarne točke funkcije \(x\left(t \right):\) \[ (x"\left(t \right) = 0 ,)\;\ ; (\Desna puščica 3(t^2) + 2t - 1 = 0,)\;\; (\Rightarrow (t_(1,2)) = \frac(( - 2 \pm \sqrt (16) ))(6) = - 1;\;\frac(1)(3).) \] Ko \ (t = 1\) funkcija \(x\levo(t \desno)\) doseže maksimum enak \ in ima v točki \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) minimalno enako \[ (x\levo((\frac(1)(3)) \desno) ) = ((\levo((\frac(1)(3)) \desno)^3) + (\ levo((\ frac(1)(3)) \desno)^2) - \levo((\frac(1)(3)) \desno) ) = (\frac(1)((27)) + \ frac(1) (9) - \frac(1)(3) = - \frac(5)((27)).) \] Upoštevajte izpeljanko \(y"\left(t \desno):\) \ [ (y"\ levo(t \desno) = (\levo(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \desno)^\prime ) ) = (3(t^2) + 4t - 4.) \ ] Poiščite stacionarne točke funkcije \(y\levo(t \desno):\) \[ (y"\levo(t \desno) = 0,)\;\; (\Rightarrow 3 (t^2) + 4t - 4 = 0,)\;\; (\desna puščica (t_(1,2)) = \frac(( - 4 \pm \sqrt (64) ))(6) = - 2 ;\;\frac(2) (3).) \] Tukaj podobno funkcija \(y\left(t \right)\) doseže maksimum v točki \(t = -2:\) \ in minimum na točki \(t = \large\frac (2)(3)\normalsize:\) \[ (y\levo((\frac(2)(3)) \desno) ) = ((\levo ((\frac(2)(3)) \desno )^3) + 2(\levo((\frac(2)(3)) \desno)^2) - 4 \cdot \frac(2)(3 ) ) = (\frac(8)((27) ) + \frac(8)(9) - \frac(8)(3) ) = ( - \frac((40))((27)).) \] Grafi funkcij \(x\levo(t \desno )\), \(y\levo(t \desno)\) so shematično prikazani na sliki \(15a.\)

Upoštevajte, da ker \[ (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) x\left(t \desno) = \pm \infty ,)\;\;\; (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) y\left(t \desno) = \pm \infty ,) \] potem krivulja \(y\left(x \desno)\) nima niti navpičnice, ni horizontalnih asimptot. Še več, ker \[ (k = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((y\levo(t \desno)))((x\levo(t \desno))) ) = ( \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac(((t^3) + 2(t^2) - 4t))(((t^3) + (t^2) - t) ) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac(((1 + \frac(2)(t) - \frac(4)(((t^2)))))(( 1 + \frac(1)(t) - \frac(1)(((t^2))))) = 1,) \] \[ (b = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left[ (y\left(t \desno) - kx\left(t \desno)) \desno] ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\cancel(\ barva (modra)(t^3)) + \barva(rdeča)(2(t^2)) - \barva(zelena)(4t) - \prekliči(\barva(modra)(t^3)) - \ barva (rdeča)(t^2) + \color(green)(t)) \right) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\color(rdeča)(t^ 2) ) - \color(green)(3t)) \right) = + \infty ,) \] potem tudi krivulja \(y\levo(x \desno)\) nima poševnih asimptot.

Določimo presečišča grafa \(y\levo(x \desno)\) s koordinatnimi osemi. Do presečišča z osjo x pride v naslednjih točkah: \[ (y\levo(t \desno) = (t^3) + 2(t^2) - 4t = 0,)\;\; (\Desna puščica t\levo(((t^2) + 2t - 4) \desno) = 0;) \]

1. \(((t^2) + 2t - 4 = 0,)\;\; (\desna puščica D = 4 - 4 \cdot \levo(( - 4) \desno) = 20,)\;\; (\ Desna puščica (t_(2,3)) = \large\frac(( - 2 \pm \sqrt (20) ))(2)\normalna velikost = - 1 \pm \sqrt 5 .) \)

1. \(((t^2) + t - 1 = 0,)\;\; (\Desna puščica D = 1 - 4 \cdot \levo(( - 1) \desno) = 5,)\;\; (\ Desna puščica (t_(2,3)) = \large\frac(( - 1 \pm \sqrt (5) ))(2)\normalna velikost.) \)

Na drugem intervalu \(\levo(( - 2, - 1) \desno)\) se spremenljivka \(x\) poveča od \(x\levo(( - 2) \desno) = - 2\) na \ (x \left(( - 1) \desno) = 1,\) in spremenljivka \(y\) se zmanjša od \(y\left(( - 2) \desno) = 8\) na \(y\left (( - 1) \desno) = 5.\) Tukaj imamo odsek padajoče krivulje \(y\levo(x \desno).\) Seka ordinatno os v točki \(\levo((0,3 + 2\sqrt 5 ) \desno).\)

V tretjem intervalu \(\left(( - 1,\large\frac(1)(3)\normalsize) \right)\) obe spremenljivki padata. Vrednost \(x\) se spremeni iz \(x\levo(( - 1) \desno) = 1\) v \(x\levo((\large\frac(1)(3)\normalsize) \desno ) = - \large\frac(5)((27))\normalsize.\) V skladu s tem se vrednost \(y\) zmanjša od \(y\levo(( - 1) \desno) = 5\) na \(y\ levo((\large\frac(1)(3)\normalsize) \desno) = - \large\frac(29)((27))\normalsize.\) Krivulja \(y\left(x) \desno)\ ) seka izhodišče koordinat.

Na četrtem intervalu \(\left((\large\frac(1)(3)\normalsize,\large\frac(2)(3)\normalsize) \right)\) se spremenljivka \(x\) poveča od \( x\levo((\large\frac(1)(3)\normalsize) \desno) = - \large\frac(5)((27))\normalsize\) do \(x\left((\ large\ frac(2)(3)\normalsize) \right) = \large\frac(2)((27))\normalsize,\) in spremenljivka \(y\) se zmanjša od \(y\left(( \large\ frac(1)(3)\normalsize) \desno) = - \large\frac(29)((27))\normalsize\) do \(y\left((\large\frac(2)( 3)\ normalna velikost) \desno) = - \large\frac(40)((27))\normalna velikost.\) V tem delu krivulja \(y\levo(x \desno)\) seka ordinatno os pri točka \(\levo( (0,3 - 2\sqrt 5 )\desno).\)

Končno, na zadnjem intervalu \(\levo((\large\frac(2)(3)\normalsize, + \infty ) \desno)\) obe funkciji \(x\levo(t \desno)\), \ ( y\levo(t \desno)\) povečanje. Krivulja \(y\levo(x \desno)\) seka os x v točki \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \približno 2,18.\)

Za razjasnitev oblike krivulje \(y\levo(x \desno)\), izračunajmo največjo in najmanjšo točko. Izpeljanka \(y"\left(x \desno)\) je izražena kot \[ (y"\left(x \desno) = (y"_x) ) = (\frac(((y"_t))) ( ((x"_t))) ) = (\frac((((\levo(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \desno))^\prime )))((( ( \levo(((t^3) + (t^2) - t) \desno))^\prime ))) ) = (\frac((3(t^2) + 4t - 4))(( 3 (t^2) + 2t - 1)) ) = (\frac((\cancel(3)\left((t + 2) \desno)\left((t - \frac(2)(3)) \ desno)))((\cancel(3)\levo((t + 1) \desno)\levo((t - \frac(1)(3)) \desno))) ) = (\frac(( \ levo((t + 2) \desno)\levo((t - \frac(2)(3)) \desno)))(\levo((t + 1) \desno)\levo((t - \ frac(1)(3)) \right))).) \] Sprememba predznaka izpeljanke \(y"\left(x \right)\) je prikazana na sliki \(15c.\) Lahko je razvidno, da v točki \(t = - 2,\) tj. na meji \(I\)-tega in \(II\)-tega intervala ima krivulja maksimum, pri \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize\) (pri meja \(IV\) th in \(V\)th intervala) obstaja minimum. Pri prehodu skozi točko \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) tudi odvod spremeni predznak iz plus v minus, vendar v tem območju krivulja \(y\left(x \right) \) ni enoznačna funkcija. Zato navedena točka ni ekstrem.

Preverimo tudi konveksnost te krivulje. Druga izpeljanka\(y""\levo(x \desno)\) ima obliko: \[ y""\levo(x \desno) = (y""_(xx)) = \frac((((\left( ( (y"_x)) \right))"_t)))(((x"_t))) = \frac((((\left((\frac((3(t^2) + 4t - 4) ) )((3(t^2) + 2t - 1))) \desno))^\prime )))((((\levo(((t^3) + (t^2) - t) \ desno ))^\prime ))) = \frac((\levo((6t + 4) \desno)\levo((3(t^2) + 2t - 1) \desno) - \levo((3( t ^2) + 4t - 4) \desno)\levo((6t + 2) \desno)))((((\levo((3(t^2) + 2t - 1) \desno))^3 ) )) = \frac((18(t^3) + 12(t^2) + 12(t^2) + 8t - 6t - 4 - \levo((18(t^3) + 24(t^ 2 ) - 24t + 6(t^2) + 8t - 8) \desno)))((((\levo((3(t^2) + 2t - 1) \desno))^3))) = \ frac((\cancel(\color(blue)(18(t^3))) + \color(rdeča)(24(t^2)) + \color(green)(2t) - \color(maroon) ( 4) - \prekliči(\barva(modra)(18(t^3))) - \barva(rdeča)(30(t^2)) + \barva(zelena)(16t) + \barva(kostanjeva) ( 8)))((((\levo((3(t^2) + 2t - 1) \desno))^3))) = \frac(( - \barva(rdeča)(6(t^2) ) ) + \color(green)(18t) + \color(maroon)(4)))((((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \frac(( - 6\levo((t - \frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \desno)\levo((t - \frac((9 + \sqrt (105) ) )(6)) \desno)))((((\levo((t + 1) \desno))^3)((\levo((3t - 1) \desno))^3))). \] Posledično drugi odvod spremeni svoj predznak v nasprotno, ko gre skozi naslednje točke (sl.\(15с\)): \[ ((t_1) = - 1:\;\;x\left(( - 1 ) \desno ) = 1,)\;\; (y\levo(( - 1) \desno) = 5;) \] \[ ((t_2) = \frac((9 - \sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\levo((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \desno) \približno 0,24;)\;\; (y\levo((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \desno) \približno 0,91;) \] \[ ((t_3) = \frac(1)(3) :) \;\; (x\levo((\frac(1)(3)) \desno) = - \frac(5)((27)),)\;\; (y\levo((\frac(1)(3)) \desno) = - \frac((29))((27));) \] \[ ((t_4) = \frac((9 + \ sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\levo((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \desno) \približno 40,1;)\;\; (y\left((\frac((9 + \sqrt (105) ))(6)) \right) \približno 40,8.) \] Zato navedene točke predstavljajo prevojne točke krivulje \(y\left( x \desno).\)

Shematski graf krivulje \(y\levo(x \desno)\) je prikazan zgoraj na sliki \(15b.\)

domov » Amatersko fotografiranje » X p 2 graf. Algoritem za konstruiranje kvadratne funkcije