Ko je v točki izpeljanka. Kaj je odvod? Definicija in pomen odvoda funkcije

Reševanje fizikalnih problemov ali primerov v matematiki je popolnoma nemogoče brez poznavanja odvoda in metod za njegov izračun. Odvod je eden najpomembnejših pojmov v matematični analizi. Odločili smo se, da današnji članek posvetimo tej temeljni temi. Kaj je odvod, kakšen je njegov fizikalni in geometrijski pomen, kako izračunati odvod funkcije? Vsa ta vprašanja je mogoče združiti v eno: kako razumeti izpeljanko?

Geometrijski in fizikalni pomen odvoda

Naj bo funkcija f(x) , določene v določenem intervalu (a, b) . Točki x in x0 pripadata temu intervalu. Ko se x spremeni, se spremeni tudi sama funkcija. Spreminjanje argumenta - razlika v njegovih vrednostih x-x0 . Ta razlika je zapisana kot delta x in se imenuje prirast argumenta. Sprememba ali povečanje funkcije je razlika med vrednostmi funkcije na dveh točkah. Opredelitev derivata:

Odvod funkcije v točki je meja razmerja med prirastkom funkcije v dani točki in prirastkom argumenta, ko slednji teži k nič.

Sicer se lahko zapiše takole:

Kakšen smisel ima iskanje takšne meje? In to je:

odvod funkcije v točki je enak tangensu kota med osjo OX in tangento na graf funkcije v dani točki.

Fizični pomen derivata: odvod poti po času je enak hitrosti premokotnega gibanja.

Dejansko že od šolskih dni vsi vedo, da je hitrost posebna pot x=f(t) in čas t . Povprečna hitrost v določenem časovnem obdobju:

Ugotoviti hitrost gibanja v določenem trenutku t0 morate izračunati mejo:

Prvo pravilo: nastavite konstanto

Konstanto lahko vzamemo iz predznaka izpeljanke. Poleg tega je to treba storiti. Pri reševanju primerov v matematiki vzemite pravilo - Če lahko izraz poenostavite, ga obvezno poenostavite .

Primer. Izračunajmo izpeljanko:

Drugo pravilo: odvod vsote funkcij

Odvod vsote dveh funkcij je enak vsoti odvodov teh funkcij. Enako velja za odvod razlike funkcij.

Ne bomo podajali dokaza tega izreka, ampak raje razmislimo o praktičnem primeru.

Poiščite odvod funkcije:

Tretje pravilo: odvod produkta funkcij

Odvod zmnožka dveh diferenciabilnih funkcij se izračuna po formuli:

Primer: poiščite odvod funkcije:

rešitev:

Tukaj je pomembno govoriti o izračunu odvodov kompleksnih funkcij. Odvod kompleksne funkcije je enak zmnožku odvoda te funkcije glede na vmesni argument in odvoda vmesnega argumenta glede na neodvisno spremenljivko.

V zgornjem primeru naletimo na izraz:

V tem primeru je vmesni argument 8x na peto potenco. Da bi izračunali odvod takega izraza, najprej izračunamo odvod zunanje funkcije glede na vmesni argument, nato pa pomnožimo z odvodom samega vmesnega argumenta glede na neodvisno spremenljivko.

Četrto pravilo: odvod kvocienta dveh funkcij

Formula za določanje odvoda količnika dveh funkcij:

Poskušali smo govoriti o derivatih za lutke iz nič. Ta tema ni tako preprosta, kot se zdi, zato bodite pozorni: v primerih so pogosto pasti, zato bodite previdni pri izračunu izpeljank.

Z morebitnimi vprašanji o tej in drugih temah se lahko obrnete na študentski servis. V kratkem času vam bomo pomagali rešiti najtežji test in razumeti naloge, tudi če še nikoli niste računali z izpeljankami.

Kaj je izpeljanka?
Definicija in pomen odvodne funkcije

Mnogi bodo presenečeni nad nepričakovano umestitvijo tega članka v moj avtorski tečaj o odvodu funkcije ene spremenljivke in njegovih aplikacijah. Konec koncev, kot že od šole naprej: standardni učbenik najprej poda definicijo derivata, njegov geometrijski, mehanski pomen. Nato učenci najdejo odvode funkcij po definiciji in pravzaprav šele nato izpopolnijo tehniko diferenciacije z uporabo izpeljane tabele.

Toda z mojega vidika je naslednji pristop bolj pragmatičen: najprej je priporočljivo DOBRO RAZUMETI meja funkcije, in še posebej, neskončno majhne količine. Dejstvo je, da definicija derivata temelji na konceptu limita, ki je v šolskem tečaju slabo upoštevana. Zato velik del mladih potrošnikov granita znanja ne razume samega bistva derivata. Torej, če slabo razumete diferencialni račun ali so se modri možgani v mnogih letih uspešno znebili te prtljage, začnite z meje delovanja. Hkrati obvladajte/zapomnite si njihovo rešitev.

Isti praktični smisel narekuje, da je najprej ugoden naučiti se iskati izpeljanke, vključno z derivati kompleksnih funkcij. Teorija je teorija, ampak, kot pravijo, vedno hočeš razlikovati. V zvezi s tem je bolje preučiti naštete osnovne lekcije in morda mojster razlikovanja ne da bi se sploh zavedali bistva svojih dejanj.

Priporočam, da po branju članka začnete z gradivi na tej strani. Najenostavnejši problemi z izvedenimi finančnimi instrumenti, kjer je obravnavan predvsem problem tangente na graf funkcije. Ampak lahko počakaš. Dejstvo je, da veliko aplikacij derivata ne zahteva razumevanja in ni presenetljivo, da se je teoretična lekcija pojavila precej pozno - ko sem moral razložiti iskanje naraščajočih/padajočih intervalov in ekstremov funkcije. Poleg tega je bil na temo precej dolgo časa. Funkcije in grafi«, dokler se nisem končno odločil, da ga postavim prej.

Zato, dragi čajniki, ne hitite vsrkavati esence derivata kot lačne živali, saj bo nasičenost neokusna in nepopolna.

Koncept naraščanja, padanja, maksimuma, minimuma funkcije

Številni učbeniki uvajajo pojem izpeljanke s pomočjo praktičnih nalog, prišel sem tudi do zanimivega primera. Predstavljajte si, da se odpravljamo v mesto, do katerega je mogoče priti na različne načine. Takoj zavrzimo ovinkaste poti in upoštevajmo samo ravne avtoceste. Vendar pa so tudi ravne smeri drugačne: v mesto lahko pridete po ravni avtocesti. Ali po hriboviti avtocesti - gor in dol, gor in dol. Druga cesta gre samo navzgor, druga pa ves čas navzdol. Ekstremni navdušenci bodo izbrali pot skozi sotesko s strmo pečino in strmim vzponom.

Toda ne glede na vaše želje je priporočljivo poznati območje ali imeti vsaj njegov topografski zemljevid. Kaj pa, če take informacije manjkajo? Navsezadnje lahko izberete na primer gladko pot, a posledično naletite na smučišče z veselimi Finci. Ni dejstvo, da bo navigator ali celo satelitska slika zagotovila zanesljive podatke. Zato bi bilo lepo formalizirati relief poti z uporabo matematike.

Poglejmo nekaj ceste (stranski pogled):

Za vsak slučaj vas spomnim na osnovno dejstvo: potovanja se zgodijo od leve proti desni. Zaradi poenostavitve predpostavimo, da funkcija neprekinjeno na obravnavanem območju.

Kakšne so značilnosti tega grafa?

V intervalih funkcijo poveča, to je vsaka njegova naslednja vrednost več prejšnji. Grobo rečeno, urnik poteka dol gor(vzpnemo se na hrib). In na intervalu funkcijo zmanjša– vsako naslednjo vrednost manj prejšnji, in naš urnik je vklopljen zgoraj navzdol(gremo po klancu navzdol).

Bodimo pozorni tudi na posebne točke. Na točki, ki jo dosežemo maksimum, to je obstaja tak odsek poti, kjer bo vrednost največja (najvišja). Na isti točki se doseže najmanj, In obstaja njegova soseska, v kateri je vrednost najmanjša (najnižja).

Pri pouku si bomo ogledali strožjo terminologijo in definicije. o ekstremih funkcije, zdaj pa preučimo še eno pomembno lastnost: v intervalih funkcija se poveča, vendar se poveča pri različnih hitrostih. In prva stvar, ki vam pade v oči, je, da se graf med intervalom dvigne veliko bolj kul, kot na intervalu . Ali je mogoče z matematičnimi orodji izmeriti strmino ceste?

Hitrost spremembe funkcije

Ideja je naslednja: vzemimo nekaj vrednosti (beri "delta x"), ki ga bomo poklicali povečanje argumenta, in ga začnimo »preizkušati« na različnih točkah naše poti:

1) Poglejmo skrajno levo točko: ko prečkamo razdaljo, se povzpnemo po pobočju do višine (zelena črta). Količina se imenuje prirast funkcije, in v tem primeru je ta prirastek pozitiven (razlika v vrednostih vzdolž osi je večja od nič). Ustvarimo razmerje, ki bo merilo strmine naše ceste. Očitno je to zelo specifično število in ker sta oba prirastka pozitivna, potem .

Pozor! Imenovanja so ENA simbol, torej ne morete "odtrgati" "delte" od "X" in teh črk obravnavati ločeno. Seveda se komentar nanaša tudi na simbol za povečanje funkcije.

Bolj smiselno raziščimo naravo nastalega ulomka. Naj bodimo na začetku na višini 20 metrov (na levi črni točki). Po prevoženi razdalji metrov (leva rdeča črta) se znajdemo na nadmorski višini 60 metrov. Potem bo prirastek funkcije metrov (zelena črta) in: . torej na vsakem metru ta odsek ceste višina se poveča povprečje za 4 metre... ste pozabili plezalno opremo? =) Z drugimi besedami, konstruirano razmerje označuje POVPREČNO HITROST SPREMEMBE (v tem primeru rasti) funkcije.

Opomba : Številčne vrednosti zadevnega primera le približno ustrezajo razmerjem risbe.

2) Zdaj pa pojdimo na enako razdaljo od skrajno desne črne točke. Tu je dvig postopnejši, zato je prirastek (rdeča črta) relativno majhen, razmerje v primerjavi s prejšnjim primerom pa bo zelo skromno. Relativno gledano, metrov in stopnja rasti funkcije je . Se pravi, tukaj za vsak meter poti obstajajo povprečje pol metra višine.

3) Majhna pustolovščina na pobočju gore. Poglejmo zgornjo črno piko, ki se nahaja na ordinatni osi. Predpostavimo, da je to oznaka 50 metrov. Ponovno premagamo razdaljo, zaradi česar se znajdemo nižje - na nivoju 30 metrov. Ker se gibanje izvaja zgoraj navzdol(v “kontra” smeri osi), nato končni prirast funkcije (višine) bo negativen: metrov (rjav segment na risbi). In v tem primeru že govorimo o stopnja zmanjševanja Lastnosti: , to je, da se za vsak meter poti tega odseka višina zmanjša povprečje za 2 metra. Poskrbite za svoja oblačila na peti točki.

Zdaj pa si zastavimo vprašanje: katero vrednost »merilnega standarda« je najbolje uporabiti? To je povsem razumljivo, 10 metrov je zelo grobo. Na njih se zlahka prilega dober ducat hummocks. Ne glede na grbine je lahko spodaj globoka grapa, po nekaj metrih pa njena druga stran z nadaljnjim strmim vzponom. Tako z desetmercem ne bomo dobili razumljivega opisa takih odsekov poti skozi razmerje .

Iz zgornje razprave sledi naslednji zaključek: nižja je vrednost, bolj natančno opišemo topografijo ceste. Poleg tega so naslednja dejstva resnična:

– Za kogarkoli dvižne točke lahko izberete vrednost (tudi če je zelo majhna), ki se ujema z mejami določene rasti. To pomeni, da bo ustrezen prirast višine zajamčeno pozitiven, neenakost pa bo pravilno kazala rast funkcije na vsaki točki teh intervalov.

- Prav tako, za katero koli točka naklona obstaja vrednost, ki se popolnoma prilega temu naklonu. Posledično je ustrezno povečanje višine očitno negativno in neenakost bo pravilno pokazala zmanjšanje funkcije na vsaki točki danega intervala.

– Posebej zanimiv je primer, ko je hitrost spreminjanja funkcije nič: . Prvič, ničelni prirast višine () je znak gladke poti. In drugič, obstajajo še druge zanimive situacije, katerih primere vidite na sliki. Predstavljajte si, da nas je usoda pripeljala na sam vrh hriba z vzpenjajočimi se orli ali na dno grape s kvakanjem žab. Če naredite majhen korak v katero koli smer, bo sprememba višine zanemarljiva in lahko rečemo, da je hitrost spremembe funkcije dejansko enaka nič. Prav takšno sliko opazimo na točkah.

Tako smo prišli do neverjetne priložnosti, da popolnoma natančno opredelimo hitrost spremembe funkcije. Navsezadnje matematična analiza omogoča usmeriti prirastek argumenta na nič: , to je, da infinitezimalno.

Posledično se pojavi še eno logično vprašanje: ali je mogoče najti cesto in njen urnik drugo funkcijo, ki bi nas obvestili o vseh ravninskih odsekih, vzponih, spustih, vrhovih, dolinah, pa tudi o hitrosti rasti/zmanjšanja na vsaki točki na poti?

Kaj je izpeljanka? Opredelitev derivata.
Geometrijski pomen odvoda in diferenciala

Preberite pozorno in ne prehitro - gradivo je preprosto in dostopno vsem! Nič hudega, če na nekaterih mestih nekaj ni jasno, lahko se na članek vedno vrnete pozneje. Povedal bom več, koristno je večkrat preučiti teorijo, da bi temeljito razumeli vse točke (nasvet je še posebej pomemben za "tehnične" študente, za katere ima višja matematika pomembno vlogo v izobraževalnem procesu).

Seveda v sami definiciji izpeljanke v točki to nadomestimo z:

Do česa smo prišli? In smo prišli do zaključka, da za funkcijo po zakonu je postavljen v skladu drugo funkcijo, ki se imenuje izvedenka funkcije(ali preprosto derivat).

Izpeljanka označuje stopnja spremembe funkcije kako Ideja se kot rdeča nit vleče že od samega začetka članka. Razmislimo o nekaterih točkah domena definicije funkcije Naj bo funkcija diferenciabilna v dani točki. Nato:

1) Če , potem funkcija narašča v točki . In očitno obstaja interval(tudi zelo majhen), ki vsebuje točko, v kateri funkcija raste, njen graf pa gre "od spodaj navzgor".

2) Če , potem funkcija pada v točki . In obstaja interval, ki vsebuje točko, pri kateri funkcija pada (graf gre "od zgoraj navzdol").

3) Če , potem neskončno blizu blizu točke funkcija ohranja svojo hitrost konstantno. To se zgodi, kot je navedeno, s konstantno funkcijo in na kritičnih točkah funkcije, še posebej pri minimalnih in maksimalnih točkah.

Malo semantike. Kaj pomeni glagol "razlikovati" v širšem smislu? Razlikovati pomeni poudariti lastnost. Z diferenciacijo funkcije "izoliramo" hitrost njenega spreminjanja v obliki odvoda funkcije. Kaj, mimogrede, pomeni beseda "derivat"? funkcija zgodilo od funkcije.

Izrazi se zelo uspešno razlagajo z mehanskim pomenom izpeljanke :
Razmislimo o zakonu spreminjanja koordinat telesa v odvisnosti od časa in funkciji hitrosti gibanja danega telesa. Funkcija označuje hitrost spremembe koordinate telesa, zato je prvi odvod funkcije glede na čas: . Če v naravi ne bi obstajal koncept »gibanja telesa«, potem ga ne bi bilo izpeljanka koncept "telesne hitrosti".

Pospešek telesa je stopnja spremembe hitrosti, torej: . Če začetni koncepti »gibanja telesa« in »telesne hitrosti« ne bi obstajali v naravi, potem ne bi obstajali izpeljanka koncept "telesnega pospeška".

Opredelitev. Naj bo funkcija $y = f(x)$ definirana v določenem intervalu, v katerem je točka $x_0$. Dajmo argumentu prirastek $\Delta x $, tako da ne zapusti tega intervala. Poiščimo ustrezen prirastek funkcije $\Delta y $ (pri premikanju iz točke $x_0 $ v točko $x_0 + \Delta x $) in sestavimo relacijo $\frac(\Delta y)(\Delta x) $. Če obstaja omejitev tega razmerja pri $\Delta x \rightarrow 0$, se podana omejitev imenuje odvod funkcije$y=f(x) $ v točki $x_0 $ in označite $f"(x_0) $.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbol y se pogosto uporablja za označevanje odpeljanke. Upoštevajte, da je y" = f(x) nova funkcija, ki je seveda povezana s funkcijo y = f(x), definirano v vseh točkah x, v katerih obstaja zgornja meja. Ta funkcija se imenuje takole: odvod funkcije y = f(x).

Geometrijski pomen izpeljanke kot sledi. Če je mogoče na graf funkcije y = f(x) narisati tangento v točki z absciso x=a, ki ni vzporedna z osjo y, potem f(a) izraža naklon tangente :
$k = f"(a)$

Ker $k = tg(a) $, potem velja enakost $f"(a) = tan(a) $.

Razložimo zdaj definicijo odvoda z vidika približnih enakosti. Naj ima funkcija $y = f(x)$ odvod v določeni točki $x$:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
To pomeni, da blizu točke x velja približna enakost $\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)$, tj. $\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x$. Smiselni pomen dobljene približne enakosti je naslednji: prirastek funkcije je »skoraj sorazmeren« s prirastkom argumenta, sorazmernostni koeficient pa je vrednost odvoda v dani točki x. Na primer, za funkcijo $y = x^2$ velja približna enakost $\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x $. Če natančno analiziramo definicijo izpeljanke, bomo ugotovili, da vsebuje algoritem za njeno iskanje.

Oblikujmo ga.

Kako najti odvod funkcije y = f(x)?

1. Popravite vrednost $x$, poiščite $f(x)$
2. Povečajte argument $x$ $\Delta x$, pojdite na novo točko $x+ \Delta x $, poiščite $f(x+ \Delta x) $
3. Poiščite prirastek funkcije: $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) $
4. Ustvarite relacijo $\frac(\Delta y)(\Delta x) $
5. Izračunajte $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ta meja je odvod funkcije v točki x.

Če ima funkcija y = f(x) odvod v točki x, se imenuje diferencibilna v točki x. Postopek za iskanje odvoda funkcije y = f(x) se imenuje diferenciacija funkcije y = f(x).

Razpravljajmo o naslednjem vprašanju: kako sta zveznost in diferenciabilnost funkcije v točki povezani med seboj?

Naj bo funkcija y = f(x) diferenciabilna v točki x. Nato lahko tangento narišemo na graf funkcije v točki M(x; f(x)) in, spomnimo se, kotni koeficient tangente je enak f "(x). Tak graf se ne more "zlomiti" v točki M, tj. funkcija mora biti zvezna v točki x.

To so bili "praktični" argumenti. Dajmo strožjo utemeljitev. Če je funkcija y = f(x) diferenciabilna v točki x, potem velja približna enakost $\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x$. Če v tej enakosti $\Delta x $ teži k nič, potem bo $\Delta y$ teži k nič, in to je pogoj za kontinuiteto funkcije v točki.

Torej, če je funkcija diferenciabilna v točki x, potem je v tej točki zvezna.

Obratna trditev ne drži. Na primer: funkcija y = |x| je povsod zvezna, zlasti v točki x = 0, vendar tangenta na graf funkcije v "stičišču" (0; 0) ne obstaja. Če na neki točki ni mogoče potegniti tangente na graf funkcije, potem odvod na tej točki ne obstaja.

Še en primer. Funkcija $y=\sqrt(x)$ je zvezna na celotni številski premici, tudi v točki x = 0. Tangenta na graf funkcije obstaja v kateri koli točki, tudi v točki x = 0. . Toda v tej točki tangenta sovpada z osjo y, tj. je pravokotna na os abscise, njena enačba ima obliko x = 0. Takšna premica nima kotnega koeficienta, kar pomeni, da $f "(0)$ ne obstaja.

Tako smo se seznanili z novo lastnostjo funkcije - diferenciabilnostjo. Kako lahko iz grafa funkcije sklepamo, da je diferenciabilna?

Odgovor je dejansko podan zgoraj. Če je na neki točki mogoče narisati tangento na graf funkcije, ki ni pravokotna na abscisno os, potem je na tej točki funkcija diferencibilna. Če na neki točki tangenta na graf funkcije ne obstaja ali je pravokotna na abscisno os, potem funkcija na tej točki ni diferencibilna.

Pravila razlikovanja

Operacija iskanja odvoda se imenuje diferenciacija. Pri izvajanju te operacije morate pogosto delati s količniki, vsotami, zmnožki funkcij, pa tudi s "funkcijami funkcij", to je kompleksnimi funkcijami. Na podlagi definicije izpeljanke lahko izpeljemo pravila razlikovanja, ki olajšajo to delo. Če je C konstantno število in so f=f(x), g=g(x) nekatere diferencialne funkcije, potem velja naslednje pravila razlikovanja:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Izpeljava kompleksne funkcije:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabela odvodov nekaterih funkcij

$$ \left(\frac(1)(x) \desno) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \desno) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \desno) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \desno) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Odvod funkcije ene spremenljivke.

Uvod.

Metodološki razvoj je namenjen študentom Fakultete za industrijo in gradbeništvo. Sestavljeni so bili v zvezi s programom tečaja matematike v razdelku "Diferencialni račun funkcij ene spremenljivke."

Razvoj predstavlja enotno metodološko vodilo, ki vključuje: kratke teoretične informacije; »standardne« naloge in naloge s podrobnimi rešitvami in razlago teh rešitev; testne možnosti.

Na koncu vsakega odstavka so dodatne vaje. Zaradi te strukture razvoja so primerni za samostojno obvladovanje odseka z minimalno pomočjo učitelja.

§1. Opredelitev derivata.

Mehanski in geometrijski pomen

izpeljanka.

Koncept odvoda je eden najpomembnejših konceptov matematične analize. Nastal je v 17. stoletju. Nastanek koncepta odvoda je zgodovinsko povezan z dvema problemoma: problemom hitrosti izmeničnega gibanja in problemom tangente na krivuljo.

Ti problemi kljub različni vsebini vodijo do iste matematične operacije, ki jo je treba izvesti na funkciji. Ta operacija je v matematiki dobila posebno ime. Imenuje se operacija diferenciacije funkcije. Rezultat operacije diferenciranja se imenuje odvod.

Torej je odvod funkcije y=f(x) v točki x0 meja (če obstaja) razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta
pri
.

Izpeljanka je običajno označena na naslednji način:
.

Tako po definiciji

Simboli se uporabljajo tudi za označevanje izvedenih finančnih instrumentov
.

Mehanski pomen izpeljanke.

Če je s=s(t) zakon premokotnega gibanja materialne točke, potem
je hitrost te točke v času t.

Geometrijski pomen izpeljanke.

Če ima funkcija y=f(x) odvod v točki , nato kotni koeficient tangente na graf funkcije v točki
enako
.

Primer.

Poiščite odvod funkcije
na točki =2:

1) Dajmo točko =2 prirast
. Upoštevajte, da.

2) Poiščite prirastek funkcije v točki =2:

3) Ustvarimo razmerje med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta:

Poiščimo mejo razmerja pri
:

torej
.

§ 2. Izpeljanke nekaterih

najenostavnejše funkcije.

Študent se mora naučiti izračunati odvode specifičnih funkcij: y=x,y= in na splošno= .

Poiščimo odvod funkcije y=x.

tiste. (x)′=1.

Poiščimo odvod funkcije

Izpeljanka

Pustiti
Potem

V izrazih za odvode potenčne funkcije je zlahka opaziti vzorec
z n=1,2,3.

torej

. (1)

Ta formula velja za vsak pravi n.

Zlasti z uporabo formule (1) imamo:

;

Primer.

Poiščite odvod funkcije

Ta funkcija je poseben primer funkcije oblike

pri
.

Z uporabo formule (1) imamo

Odvodi funkcij y=sin x in y=cos x.

Naj bo y=sinx.

Če delimo z ∆x, dobimo

Če preidemo do limite pri ∆x→0, imamo

Naj bo y=cosx.

Če preidemo na limit pri ∆x→0, dobimo

;
. (2)

§3. Osnovna pravila razlikovanja.

Razmislimo o pravilih razlikovanja.

Izrek1 . Če sta funkciji u=u(x) in v=v(x) diferenciabilni v dani točkix, potem je na tej točki diferenciabilna tudi njuna vsota, odvod vsote pa je enak vsoti odvodov členov : (u+v)"=u"+v".(3 )

Dokaz: upoštevajte funkcijo y=f(x)=u(x)+v(x).

Prirast ∆x argumenta x ustreza prirastkom ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) funkcij u in v. Potem se bo funkcija y povečala

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

torej

Torej, (u+v)"=u"+v".

Izrek2. Če sta funkciji u=u(x) in v=v(x) diferenciabilni v dani točki x, potem je njun produkt diferenciabilen v isti točki. V tem primeru se odvod produkta najde po naslednji formuli: ( uv)"=u"v+uv". ( 4)

Dokaz: Naj bo y=uv, kjer sta u in v nekaj diferenciabilnih funkcij od x. Dajmo x prirastek ∆x; potem bo u prejel prirastek ∆u, v bo prejel prirastek ∆v in y bo prejel prirastek ∆y.

Imamo y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), oz

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Zato je ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Od tod

Če preidemo na limito pri ∆x→0 in ob upoštevanju, da u in v nista odvisna od ∆x, bomo imeli

Izrek 3. Odvod količnika dveh funkcij je enak ulomku, katerega imenovalec je enak kvadratu delitelja, števec pa je razlika med zmnožkom odvoda dividende na delitelj in zmnožkom dividendo z odvodom delitelja, tj.

če
to
(5)