Kako odpreti oklepaje pri množenju. Odpiranje oklepajev: pravila in primeri (7. razred)

V tej lekciji se boste naučili, kako pretvoriti izraz, ki vsebuje oklepaje, v izraz brez oklepajev. Naučili se boste odpreti oklepaje, pred katerimi sta znaka plus in minus. Spomnili se bomo, kako odpreti oklepaje z uporabo distribucijskega zakona množenja. Obravnavani primeri vam bodo omogočili, da povežete novo in predhodno preučeno gradivo v eno celoto.

Tema: Reševanje enačb

Lekcija: Razširjanje oklepajev

Kako razširiti oklepaje, pred katerimi je znak »+«. Uporaba asociativnega zakona seštevanja.

Če morate številu dodati vsoto dveh števil, lahko temu številu najprej dodate prvi člen in nato drugega.

Levo od enačaja je izraz z oklepajem, desno pa izraz brez oklepaja. To pomeni, da je pri premikanju z leve strani enakosti na desno prišlo do odpiranja oklepaja.

Poglejmo si primere.

Primer 1.

Z odpiranjem oklepajev smo spremenili vrstni red dejanj. Postalo je bolj priročno šteti.

Primer 2.

Primer 3.

Upoštevajte, da smo v vseh treh primerih preprosto odstranili oklepaje. Oblikujmo pravilo:

Komentiraj.

Če je prvi člen v oklepaju nepredznačen, mora biti zapisan z znakom plus.

Primeru lahko sledite korak za korakom. Najprej dodajte 445 k 889. To dejanje je mogoče izvesti miselno, vendar ni zelo enostavno. Odprimo oklepaje in ugotovimo, da bo spremenjeni postopek bistveno poenostavil izračune.

Če sledite navedenemu postopku, morate od 512 najprej odšteti 345, nato pa rezultatu dodati 1345. Z odpiranjem oklepajev bomo postopek spremenili in bistveno poenostavili izračune.

Ponazoritev primera in pravila.

Poglejmo primer: . Vrednost izraza lahko najdete tako, da seštejete 2 in 5, nato pa dobljeno število vzamete z nasprotnim predznakom. Dobimo -7.

Po drugi strani pa lahko enak rezultat dobimo s seštevanjem nasprotnih števil prvotnih.

Oblikujmo pravilo:

Primer 1.

Primer 2.

Pravilo se ne spremeni, če v oklepaju nista dva, ampak trije ali več izrazov.

Primer 3.

Komentiraj. Predznaki so obrnjeni le pred izrazi.

Da odpremo oklepaje, se moramo v tem primeru spomniti lastnosti distribucije.

Najprej pomnožite prvi oklepaj z 2, drugega pa s 3.

Pred prvim oklepajem je znak “+”, kar pomeni, da morata znaka ostati nespremenjena. Pred drugim znakom je znak "-", zato je treba vse znake spremeniti v nasprotje

Reference

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. razred. - Gimnazija, 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stranmi učbenika matematike. - Razsvetljenje, 1989.
4. Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Naloge za razrede matematike 5-6 - ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priročnik za učence 6. razreda dopisne šole MEPhI. - ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Učbenik-sogovornik za 5.-6. razred srednje šole. Knjižnica za učitelje matematike. - Razsvetljenje, 1989.

1. Spletni testi iz matematike ().
2. Prenesete lahko tiste, ki so navedeni v členu 1.2. knjige().

domača naloga

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (povezava glej 1.2)
2. Domača naloga: št. 1254, št. 1255, št. 1256 (b, d)
3. Druge naloge: št. 1258(c), št. 1248

Glavna funkcija oklepajev je spreminjanje vrstnega reda dejanj pri izračunu vrednosti. Na primer, bo v številskem izrazu \(5·3+7\) najprej izračunan množenje, nato pa seštevek: \(5·3+7 =15+7=22\). Toda v izrazu \(5·(3+7)\) bo najprej izračunan seštevek v oklepajih in šele nato množenje: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Primer. Razširite oklepaj: \(-(4m+3)\).
rešitev : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Primer. Odprite oklepaj in podajte podobne izraze \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
rešitev : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Primer. Razširite oklepaje \(5(3-x)\).
rešitev : V oklepaju imamo \(3\) in \(-x\), pred oklepajem pa je petica. To pomeni, da je vsak člen v oklepaju pomnožen z \(5\) - na to vas spominjam Znak za množenje med številom in oklepajem v matematiki ni zapisan zaradi zmanjšanja velikosti vnosov.

Primer. Razširite oklepaje \(-2(-3x+5)\).
rešitev : Kot v prejšnjem primeru se \(-3x\) in \(5\) v oklepaju pomnožita z \(-2\).

Primer. Poenostavite izraz: \(5(x+y)-2(x-y)\).
rešitev : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Ostaja še razmisliti o zadnji situaciji.

Pri množenju oklepaja za oklepajem se vsak člen prvega oklepaja pomnoži z vsakim členom drugega:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Primer. Razširite oklepaje \((2-x)(3x-1)\).
rešitev : Imamo produkt oklepajev in ga je mogoče takoj razširiti z uporabo zgornje formule. Da pa se ne bi zmedli, naredimo vse korak za korakom.
Korak 1. Odstranite prvi oklepaj - vsak člen pomnožite z drugim oklepajem:

Korak 2. Razširite produkte oklepajev in faktorja, kot je opisano zgoraj:
-Najprej...

Potem drugi.

Korak 3. Zdaj pomnožimo in predstavimo podobne izraze:

Vseh transformacij ni treba opisati tako podrobno, lahko jih takoj pomnožimo. Če pa se šele učite odpirati oklepaje, pišite podrobno, bo manj možnosti za napake.

Opomba k celotnemu razdelku. Pravzaprav vam ni treba zapomniti vseh štirih pravil, zapomniti si morate samo eno, tole: \(c(a-b)=ca-cb\) . Zakaj? Ker če namesto c zamenjate enega, dobite pravilo \((a-b)=a-b\) . In če nadomestimo minus ena, dobimo pravilo \(-(a-b)=-a+b\) . No, če zamenjate drug oklepaj namesto c, lahko dobite zadnje pravilo.

Oklepaj znotraj oklepaja

Včasih se v praksi pojavijo težave z oklepaji, ugnezdenimi znotraj drugih oklepajev. Tukaj je primer takšne naloge: poenostavite izraz \(7x+2(5-(3x+y))\).

Za uspešno reševanje takšnih nalog potrebujete:
- natančno razumeti gnezdenje oklepajev - kateri je v katerem;
- odprite oklepaje zaporedno, začenši na primer z najbolj notranjim.

Pomembno je pri odpiranju enega od oklepajev ne dotikaj se preostalega izraza, samo prepišem, kot je.
Oglejmo si zgoraj napisano nalogo kot primer.

Primer. Odprite oklepaje in navedite podobne izraze \(7x+2(5-(3x+y))\).
rešitev:

Primer. Odprite oklepaje in navedite podobne izraze \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
rešitev :

Razširjanje oklepajev je osnovna veščina pri matematiki. Brez te spretnosti je nemogoče imeti oceno nad C v 8. in 9. razredu. Zato priporočam, da dobro razumete to temo.

Oklepaji se uporabljajo za označevanje vrstnega reda izvajanja dejanj v številskih, dobesednih in spremenljivih izrazih. Primerno je preiti z izraza z oklepaji na enako enak izraz brez oklepajev. Ta tehnika se imenuje odpiranje oklepajev.

Razširitev oklepajev pomeni odstranitev oklepajev iz izraza.

Posebno pozornost si zasluži še ena točka, ki se nanaša na posebnosti zapisovanja odločitev pri odpiranju oklepajev. Začetni izraz z oklepajem in rezultat, ki ga dobimo po odprtju oklepajev, lahko zapišemo kot enakost. Na primer po razširitvi oklepajev namesto izraza
3−(5−7) dobimo izraz 3−5+7. Oba izraza lahko zapišemo kot enakost 3−(5−7)=3−5+7.

In še ena pomembna točka. V matematiki je za skrajšanje zapisov običajno, da znaka plus ne pišemo, če se pojavi prvi v izrazu ali v oklepaju. Na primer, če seštejemo dve pozitivni števili, na primer sedem in tri, potem ne pišemo +7+3, ampak preprosto 7+3, kljub temu, da je tudi sedem pozitivno število. Podobno, če vidite na primer izraz (5+x) - vedite, da je pred oklepajem plus, ki ni zapisan, pred petico pa plus +(+5+x).

Pravilo odpiranja oklepaja med seštevanjem

Pri odpiranju oklepajev, če je pred oklepajem plus, potem ta plus izpustimo skupaj z oklepaji.

Primer. Odpri oklepaj v izrazu 2 + (7 + 3) Pred oklepajem je plus, kar pomeni, da pred števili v oklepaju ne spreminjamo predznakov.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Pravilo za odpiranje oklepaja pri odštevanju

Če je pred oklepajem minus, potem ta minus skupaj z oklepajem izpustimo, izrazi, ki so bili v oklepaju, pa spremenijo predznak v nasprotno. Odsotnost znaka pred prvim členom v oklepaju pomeni znak +.

Primer. Razširi oklepaj v izrazu 2 − (7 + 3)

Pred oklepajem je minus, kar pomeni, da morate spremeniti znake pred številkami v oklepajih. V oklepaju pred številko 7 ni znaka, to pomeni, da je sedem pozitivna, velja, da je pred njo znak +.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Pri odpiranju oklepajev odstranimo iz primera minus, ki je bil pred oklepajem, in same oklepaje 2 − (+ 7 + 3), znake, ki so bili v oklepajih, pa zamenjamo z nasprotnimi.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Razširitev oklepaja pri množenju

Če je pred oklepajem znak za množenje, se vsako število v oklepaju pomnoži s faktorjem pred oklepajem. V tem primeru pomnožitev minusa z minusom daje plus in množenje minusa s plusom, tako kot množenje plusa z minusom, da minus.

Tako se oklepaji v produktih razširijo v skladu z razdelilno lastnostjo množenja.

Primer. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Pri množenju oklepaja za oklepajem se vsak člen v prvem oklepaju pomnoži z vsakim členom v drugem oklepaju.

(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5

Pravzaprav si ni treba zapomniti vseh pravil, dovolj je, da si zapomnimo le eno, to je: c(a−b)=ca−cb. Zakaj? Kajti če zamenjate enega namesto c, dobite pravilo (a−b)=a−b. In če nadomestimo minus ena, dobimo pravilo −(a−b)=−a+b. No, če zamenjate drug oklepaj namesto c, lahko dobite zadnje pravilo.

Odpiranje oklepaja pri deljenju

Če je za oklepajem znak deljenja, se vsako število v oklepaju deli z deliteljem za oklepajem in obratno.

Primer. (9 + 6) : 3=9 : 3 + 6 : 3

Kako razširiti ugnezdene oklepaje

Če izraz vsebuje ugnezdene oklepaje, se razširijo po vrstnem redu, začenši z zunanjimi ali notranjimi.

V tem primeru je pomembno, da se pri odpiranju enega od oklepajev ne dotikate preostalih oklepajev, ampak jih preprosto prepišete tako, kot so.

Primer. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

Zdaj bomo prešli na odpiranje oklepajev v izrazih, v katerih je izraz v oklepaju pomnožen s številom ali izrazom. Oblikujmo pravilo za odpiranje oklepajev, pred katerimi je znak minus: oklepaj skupaj z znakom minus izpustimo, znake vseh izrazov v oklepajih pa nadomestimo z nasprotnimi.

Ena vrsta transformacije izraza je razširitev oklepajev. Številske, dobesedne in spremenljive izraze lahko zapišemo z oklepaji, ki lahko nakazujejo vrstni red dejanj, vsebujejo negativno število itd. Predpostavimo, da so lahko v zgoraj opisanih izrazih namesto števil in spremenljivk poljubni izrazi.

In bodimo pozorni še na eno točko glede posebnosti pisanja rešitve pri odpiranju oklepaja. V prejšnjem odstavku smo se ukvarjali s tem, kar imenujemo odpiranje oklepaja. Če želite to narediti, obstajajo pravila za odpiranje oklepajev, ki jih bomo zdaj pregledali. To pravilo narekuje dejstvo, da se pozitivna števila običajno pišejo brez oklepajev; v tem primeru oklepaji niso potrebni. Izraz (−3,7)−(−2)+4+(−9) lahko zapišemo brez oklepaja kot −3,7+2+4−9.

Nazadnje, tretji del pravila je preprosto posledica posebnosti zapisovanja negativnih števil na levi v izrazu (ki smo jih omenili v razdelku o oklepajih za zapisovanje negativnih števil). Morda boste naleteli na izraze, sestavljene iz števila, znakov minus in več parov oklepajev. Če odprete oklepaje in se premikate od notranjega k zunanjemu, bo rešitev naslednja: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5 ))=−( 5)=−5.

Kako odpreti oklepaje?

Tukaj je razlaga: −(−2 x) je +2 x, in ker je ta izraz na prvem mestu, lahko +2 x zapišemo kot 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)=−1 /x in −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Prvi del zapisanega pravila za odpiranje oklepaja izhaja neposredno iz pravila za množenje negativnih števil. Njegov drugi del je posledica pravila množenja števil z različnimi predznaki. Preidimo na primere odpiranja oklepajev pri zmnožkih in količnikih dveh števil z različnimi predznaki.

Oklepaj: pravila, primeri, rešitve.

Zgornje pravilo upošteva celotno verigo teh dejanj in znatno pospeši postopek odpiranja oklepajev. Isto pravilo omogoča odpiranje oklepajev v izrazih, ki so zmnožki, in delnih izrazih z znakom minus, ki niso vsote in razlike.

Oglejmo si primere uporabe tega pravila. Navedimo ustrezno pravilo. Zgoraj smo že srečali izraza v obliki −(a) in −(−a), ki ju brez oklepaja zapišemo kot −a oziroma a. Na primer −(3)=3 in. Gre za posebne primere navedenega pravila. Zdaj pa si poglejmo primere odpiranja oklepajev, ko vsebujejo vsote ali razlike. Pokažimo primere uporabe tega pravila. Izraz (b1+b2) označimo z b, nakar uporabimo pravilo množenja oklepaja z izrazom iz prejšnjega odstavka, imamo (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(a1·b+a2· b)=a1·b+a2·b.

Z indukcijo lahko to izjavo razširimo na poljubno število členov v vsakem oklepaju. Ostaja, da odpremo oklepaje v nastalem izrazu z uporabo pravil iz prejšnjih odstavkov, na koncu dobimo 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x· 2·x·y3.

Pravilo v matematiki je odpiranje oklepajev, če sta pred oklepajem (+) in (-).

Ta izraz je produkt treh faktorjev (2+4), 3 in (5+7·8). Oklepaje boste morali odpreti zaporedno. Zdaj uporabimo pravilo za množenje oklepaja s številom, imamo ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Stopnje, katerih osnova so nekateri izrazi, zapisani v oklepaju, z naravnimi eksponenti lahko obravnavamo kot produkt več oklepajev.

Na primer, transformirajmo izraz (a+b+c)2. Najprej ga zapišemo kot zmnožek dveh oklepajev (a+b+c)·(a+b+c), zdaj pomnožimo oklepaj z oklepajem, dobimo a·a+a·b+a·c+ b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Rekli bomo tudi, da je za povečanje vsot in razlik dveh števil na naravno potenco priporočljivo uporabiti Newtonovo binomsko formulo. Na primer (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Nič manj priročno ni, če deljenje najprej zamenjamo z množenjem, nato pa uporabimo ustrezno pravilo za odpiranje oklepajev v produktu.

Še vedno je treba razumeti vrstni red odpiranja oklepajev z uporabo primerov. Vzemimo izraz (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Te rezultate nadomestimo v prvotni izraz: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7) . Vse kar ostane je, da odpremo oklepaje, kot rezultat imamo −5+3·2:4+6·7. To pomeni, da je pri premikanju z leve strani enakosti na desno prišlo do odpiranja oklepaja.

Upoštevajte, da smo v vseh treh primerih preprosto odstranili oklepaje. Najprej dodajte 445 k 889. To dejanje je mogoče izvesti miselno, vendar ni zelo enostavno. Odprimo oklepaje in ugotovimo, da bo spremenjeni postopek bistveno poenostavil izračune.

Kako razširiti oklepaje na drugo stopnjo

Ponazoritev primera in pravila. Poglejmo primer: . Vrednost izraza lahko najdete tako, da seštejete 2 in 5, nato pa dobljeno število vzamete z nasprotnim predznakom. Pravilo se ne spremeni, če v oklepaju nista dva, ampak trije ali več izrazov. Komentiraj. Predznaki so obrnjeni le pred izrazi. Da odpremo oklepaje, se moramo v tem primeru spomniti lastnosti distribucije.

Za posamezne številke v oklepaju

Vaša napaka ni v znakih, ampak v nepravilnem ravnanju z ulomki? V 6. razredu smo spoznavali pozitivna in negativna števila. Kako bomo reševali primere in enačbe?

Koliko je v oklepaju? Kaj lahko rečete o teh izrazih? Seveda je rezultat prvega in drugega primera enak, kar pomeni, da lahko med njima postavimo enačaj: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Kaj smo naredili z oklepaji?

Predstavitev diapozitiva 6 s pravili za odpiranje oklepajev. Tako nam bodo pravila za odpiranje oklepajev v pomoč pri reševanju primerov in poenostavljanju izrazov. Nato učence prosimo, da delajo v parih: s puščicami morajo povezati izraz, ki vsebuje oklepaje, z ustreznim izrazom brez oklepaja.

Slide 11 Nekoč v Sončnem mestu sta se Znayka in Neznan prepirala, kdo od njiju je pravilno rešil enačbo. Nato učenci samostojno rešijo enačbo po pravilih za odpiranje oklepajev. Reševanje enačb" Cilji lekcije: izobraževalni (okrepitev znanja na temo: "Odpiranje oklepajev.

Tema lekcije: »Odpiranje oklepajev. V tem primeru morate vsak izraz iz prvih oklepajev pomnožiti z vsakim členom iz drugega oklepaja in nato sešteti rezultate. Najprej vzamemo prva dva faktorja, ki ju zapremo še v en oklepaj, znotraj teh oklepajev pa odpremo oklepaje po enem od že znanih pravil.

rawalan.freezeet.ru

Odpiranje oklepajev: pravila in primeri (7. razred)

Glavna funkcija oklepajev je spreminjanje vrstnega reda dejanj pri izračunu vrednosti številski izrazi . Na primer, bo v številskem izrazu \(5·3+7\) najprej izračunan množenje, nato pa seštevek: \(5·3+7 =15+7=22\). Toda v izrazu \(5·(3+7)\) bo najprej izračunan seštevek v oklepajih in šele nato množenje: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Če pa imamo opravka s algebrski izraz ki vsebuje spremenljivka- na primer takole: \(2(x-3)\) - potem ni mogoče izračunati vrednosti v oklepaju, spremenljivka je v napoto. Zato se v tem primeru oklepaji "odprejo" z ustreznimi pravili.

Pravila za odpiranje oklepajev

Če je pred oklepajem znak plus, se oklepaj preprosto odstrani, izraz v njem ostane nespremenjen. Z drugimi besedami:

Tukaj je treba pojasniti, da je v matematiki za skrajšanje zapisov običajno, da se znaka plus ne piše, če se pojavi prvi v izrazu. Na primer, če seštejemo dve pozitivni števili, na primer sedem in tri, potem ne pišemo \(+7+3\), ampak preprosto \(7+3\), kljub temu, da je tudi sedem pozitivno število . Podobno, če vidite na primer izraz \((5+x)\) - vedite to pred oklepajem je plus, ki se ne piše.

Primer . Odprite oklepaj in podajte podobne izraze: \((x-11)+(2+3x)\).
rešitev : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Če je pred oklepajem znak minus, potem ko oklepaj odstranimo, vsak izraz v njem spremeni predznak v nasprotno:

Tukaj je treba pojasniti, da medtem ko je bil a v oklepaju, je bil znak plus (le da ga niso napisali), po odstranitvi oklepaja pa se je ta plus spremenil v minus.

Primer : Poenostavite izraz \(2x-(-7+x)\).
rešitev : znotraj oklepaja sta dva izraza: \(-7\) in \(x\), pred oklepajem pa je minus. To pomeni, da se bodo predznaki spremenili - in sedem bo zdaj plus, x pa minus. Odprite oklepaj in predstavljamo podobne pogoje .

Primer. Odprite oklepaj in podajte podobne izraze \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
rešitev : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Če je pred oklepajem faktor, se vsak člen oklepaja pomnoži z njim, to je:

Primer. Razširite oklepaje \(5(3-x)\).
rešitev : V oklepaju imamo \(3\) in \(-x\), pred oklepajem pa je petica. To pomeni, da je vsak člen v oklepaju pomnožen z \(5\) - na to vas spominjam Znak za množenje med številom in oklepajem v matematiki ni zapisan zaradi zmanjšanja velikosti vnosov.

Primer. Razširite oklepaje \(-2(-3x+5)\).
rešitev : Kot v prejšnjem primeru se \(-3x\) in \(5\) v oklepaju pomnožita z \(-2\).

Ostaja še razmisliti o zadnji situaciji.

Pri množenju oklepaja za oklepajem se vsak člen prvega oklepaja pomnoži z vsakim členom drugega:

Primer. Razširite oklepaje \((2-x)(3x-1)\).
rešitev : Imamo produkt oklepajev in ga je mogoče takoj razširiti z uporabo zgornje formule. Da pa se ne bi zmedli, naredimo vse korak za korakom.
Korak 1. Odstranite prvi oklepaj in pomnožite vsak člen z drugim oklepajem:

Korak 2. Razširite produkte oklepajev in faktorja, kot je opisano zgoraj:
-Najprej...

Korak 3. Zdaj pomnožimo in predstavimo podobne izraze:

Vseh transformacij ni treba opisati tako podrobno, lahko jih takoj pomnožimo. Če pa se šele učite odpirati oklepaje, pišite podrobno, bo manj možnosti za napake.

Opomba k celotnemu razdelku. Pravzaprav vam ni treba zapomniti vseh štirih pravil, zapomniti si morate samo eno, tole: \(c(a-b)=ca-cb\) . Zakaj? Ker če namesto c zamenjate enega, dobite pravilo \((a-b)=a-b\) . In če nadomestimo minus ena, dobimo pravilo \(-(a-b)=-a+b\) . No, če zamenjate drug oklepaj namesto c, lahko dobite zadnje pravilo.

Oklepaj znotraj oklepaja

Včasih se v praksi pojavijo težave z oklepaji, ugnezdenimi znotraj drugih oklepajev. Tukaj je primer takšne naloge: poenostavite izraz \(7x+2(5-(3x+y))\).

Za uspešno reševanje takšnih nalog potrebujete:
- natančno razumeti gnezdenje oklepajev - kateri je v katerem;
— odprite oklepaje zaporedno, začenši na primer z najbolj notranjim.

Pomembno je pri odpiranju enega od oklepajev ne dotikaj se preostalega izraza, samo prepišem, kot je.
Oglejmo si zgoraj napisano nalogo kot primer.

Primer. Odprite oklepaje in navedite podobne izraze \(7x+2(5-(3x+y))\).
rešitev:

Začnimo nalogo z odpiranjem notranjega nosilca (tistega znotraj). Če ga razširimo, se ukvarjamo samo s tem, kar je neposredno povezano z njim - to je sam oklepaj in minus pred njim (označeno z zeleno). Vse ostalo (nepoudarjeno) prepišemo tako, kot je bilo.

Reševanje matematičnih nalog na spletu

Spletni kalkulator.
Poenostavitev polinoma.
Množenje polinomov.

S tem matematičnim programom lahko poenostavite polinom.
Medtem ko program teče:
- množi polinome
- povzema monome (navaja podobne)
- odpre oklepaje
- dvigne polinom na potenco

Program za poenostavitev polinomov ne daje le odgovora na problem, temveč nudi podrobno rešitev z razlagami, tj. prikaže postopek reševanja, tako da lahko preverite svoje znanje matematike in/ali algebre.

Ta program je lahko koristen za dijake srednjih šol pri pripravi na teste in izpite, pri preverjanju znanja pred enotnim državnim izpitom in za starše, da nadzorujejo rešitev številnih problemov iz matematike in algebre. Ali pa vam je morda predrago najeti mentorja ali kupiti nove učbenike? Ali pa želite kar se da hitro narediti domačo nalogo iz matematike ali algebre? V tem primeru lahko uporabite tudi naše programe s podrobnimi rešitvami.

Na ta način lahko izvajate lastno usposabljanje in/ali usposabljanje svojih mlajših bratov ali sester, hkrati pa se dvigne raven izobrazbe na področju reševanja problemov.

Ker Veliko ljudi je pripravljenih rešiti problem, vaša zahteva je v čakalni vrsti.
Čez nekaj sekund se spodaj prikaže rešitev.
Prosim počakajte sekundo.

Malo teorije.

Produkt monoma in polinoma. Koncept polinoma

Med različnimi izrazi, ki jih obravnavamo v algebri, zavzemajo pomembno mesto vsote monomov. Tu so primeri takih izrazov:

Vsoto monomov imenujemo polinom. Členi v polinomu se imenujejo členi polinoma. Monome uvrščamo tudi med polinome, pri čemer velja, da je monom polinom, sestavljen iz enega člena.

Predstavimo vse člene v obliki monomov standardne oblike:

Predstavimo podobne člene v dobljenem polinomu:

Rezultat je polinom, katerega vsi členi so monomi standardne oblike in med njimi ni podobnih. Takšni polinomi se imenujejo polinomi standardne oblike.

Za stopnja polinoma standardne oblike prevzame najvišje pristojnosti svojih članov. Tako ima binom tretjo stopnjo, trinom pa drugo.

Običajno so členi polinomov standardne oblike, ki vsebujejo eno spremenljivko, razvrščeni v padajočem vrstnem redu eksponentov njene stopnje. Na primer:

Vsoto več polinomov lahko pretvorimo (poenostavimo) v polinom standardne oblike.

Včasih je treba člene polinoma razdeliti v skupine in vsako skupino zapreti v oklepaje. Ker je oklepaj inverzna transformacija odpirajočih oklepajev, ga je enostavno formulirati pravila za odpiranje oklepajev:

Če je pred oklepajem znak »+«, so izrazi v oklepaju zapisani z istimi znaki.

Če je pred oklepajem znak »-«, so izrazi v oklepaju zapisani z nasprotnimi predznaki.

Transformacija (poenostavitev) produkta monoma in polinoma

Z uporabo distribucijske lastnosti množenja lahko transformirate (poenostavite) produkt monoma in polinoma v polinom. Na primer:

Produkt monoma in polinoma je identično enak vsoti zmnožkov tega monoma in vsakega od členov polinoma.

Ta rezultat je običajno oblikovan kot pravilo.

Če želite pomnožiti monom s polinomom, morate ta monom pomnožiti z vsakim členom polinoma.

To pravilo smo že večkrat uporabili za množenje z vsoto.

Produkt polinomov. Transformacija (poenostavitev) produkta dveh polinomov

Na splošno je zmnožek dveh polinomov identično enak vsoti zmnožka vsakega člena enega polinoma in vsakega člena drugega.

Običajno se uporablja naslednje pravilo.

Če želite pomnožiti polinom s polinomom, morate vsak člen enega polinoma pomnožiti z vsakim členom drugega in sešteti nastale produkte.

Formule za skrajšano množenje. Vsota kvadratov, razlike in razlika kvadratov

Z nekaterimi izrazi v algebrskih pretvorbah se morate ukvarjati pogosteje kot z drugimi. Morda najpogostejši izrazi so u, torej kvadrat vsote, kvadrat razlike in razlika kvadratov. Opazili ste, da so imena teh izrazov videti nepopolna, na primer, to seveda ni samo kvadrat vsote, ampak kvadrat vsote a in b. Kvadrat vsote a in b pa se praviloma ne pojavlja prav pogosto, namesto črk a in b vsebuje različne, včasih precej zapletene izraze.

Izraze je mogoče enostavno pretvoriti (poenostaviti) v polinome standardne oblike, pravzaprav ste že naleteli na takšno nalogo pri množenju polinomov:

Koristno si je zapomniti dobljene identitete in jih uporabiti brez vmesnih izračunov. Pri tem pomagajo kratke besedne formulacije.

- kvadrat vsote je enak vsoti kvadratov in dvojnega produkta.

- kvadrat razlike je enak vsoti kvadratov brez dvojnega produkta.

- razlika kvadratov je enaka zmnožku razlike in vsote.

Te tri identitete omogočajo v preobrazbah zamenjavo svojih levih delov z desnimi in obratno - desne dele z levimi. Najtežje je videti ustrezne izraze in razumeti, kako sta spremenljivki a in b v njih zamenjani. Oglejmo si nekaj primerov uporabe formul za skrajšano množenje.

Knjige (učbeniki) Povzetki enotnega državnega izpita in testi enotnega državnega izpita na spletu Igre, uganke Risanje grafov funkcij Črkovalni slovar ruskega jezika Slovar mladinskega slenga Katalog ruskih šol Katalog srednješolskih izobraževalnih ustanov Rusije Katalog ruskih univerz Katalog ruskih univerz Seznam problemov Iskanje GCD in LCM Poenostavitev polinoma (množenje polinomov) Deljenje polinoma s polinomom s stolpcem Računanje numeričnih ulomkov Reševanje problemov, ki vključujejo odstotke Kompleksna števila: vsota, razlika, produkt in količnik Sistemi 2 linearnih enačb z dvema spremenljivke Reševanje kvadratne enačbe Izolacija kvadrata binoma in faktoriziranje kvadratnega trinoma Reševanje neenačb Reševanje sistemov neenačb Grafiranje kvadratne funkcije Grafiranje ulomljene linearne funkcije Reševanje aritmetičnih in geometrijskih progresij Reševanje trigonometričnih, eksponentnih, logaritemskih enačb Računanje limitov, odvodov, tangens Integral , antiderivacija Reševanje trikotnikov Računanje dejanj z vektorji Računanje dejanj s premicami in ravninami Ploščina geometrijskih likov Obseg geometrijskih likov Prostornina geometrijskih teles Površina geometrijskih teles
Konstruktor prometne situacije
Vreme - novice - horoskopi

www.mathsolution.ru

Razširjanje oklepajev

Nadaljujemo z učenjem osnov algebre. V tej lekciji se bomo naučili razširiti oklepaje v izrazih. Razširitev oklepajev pomeni odstranitev oklepajev iz izraza.

Če želite odpreti oklepaje, si morate zapomniti samo dve pravili. Z redno vadbo lahko odprete oklepaje z zaprtimi očmi in tista pravila, ki so se jih morali naučiti na pamet, lahko varno pozabite.

Prvo pravilo za odpiranje oklepajev

Razmislite o naslednjem izrazu:

Vrednost tega izraza je 2 . Odprimo oklepaje v tem izrazu. Razširitev oklepajev pomeni, da se jih znebite, ne da bi to vplivalo na pomen izraza. To je, potem ko se znebite oklepajev, vrednost izraza 8+(−9+3) mora biti še vedno enako dvema.

Prvo pravilo za odpiranje oklepajev je naslednje:

Pri odpiranju oklepajev, če je pred oklepajem plus, potem ta plus izpustimo skupaj z oklepaji.

Torej, to vidimo v izrazu 8+(−9+3) Pred oklepajem je znak plus. Ta plus je treba izpustiti skupaj z oklepaji. Z drugimi besedami, oklepaji bodo izginili skupaj s plusom, ki je stal pred njimi. In kar je bilo v oklepajih, bo zapisano brez sprememb:

8−9+3 . Ta izraz je enak 2 , tako kot prejšnji izraz z oklepaji, je bil enak 2 .

8+(−9+3) in 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Primer 2. Razširi oklepaje v izrazu 3 + (−1 − 4)

Pred oklepajem je plus, kar pomeni, da je ta plus izpuščen skupaj z oklepaji. Kar je bilo v oklepaju, bo ostalo nespremenjeno:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Primer 3. Razširi oklepaje v izrazu 2 + (−1)

V tem primeru je odpiranje oklepajev postalo nekakšna obratna operacija zamenjave odštevanja s seštevanjem. Kako to razumeti?

V izrazu 2−1 pride do odštevanja, vendar ga je mogoče nadomestiti s seštevanjem. Potem dobimo izraz 2+(−1) . Če pa v izrazu 2+(−1) odprite oklepaje, dobite original 2−1 .

Zato lahko prvo pravilo za odpiranje oklepajev uporabimo za poenostavitev izrazov po nekaterih transformacijah. To pomeni, da ga znebite oklepajev in ga poenostavite.

Na primer, poenostavimo izraz 2a+a−5b+b .

Za poenostavitev tega izraza lahko navedemo podobne izraze. Spomnimo se, da morate za zmanjšanje podobnih izrazov dodati koeficiente podobnih izrazov in rezultat pomnožiti s skupnim delom črke:

Dobil izraz 3a+(−4b). Odstranimo oklepaje v tem izrazu. Pred oklepajem je plus, zato uporabimo prvo pravilo za odpiranje oklepajev, torej oklepaje izpustimo skupaj s plusom, ki je pred temi oklepaji:

Torej izraz 2a+a−5b+b poenostavlja na 3a−4b .

Ko ste odprli nekaj oklepajev, boste morda na poti naleteli na druge. Zanje veljajo enaka pravila kot za prve. Na primer, razširimo oklepaje v naslednjem izrazu:

Na dveh mestih morate odpreti oklepaje. V tem primeru velja prvo pravilo odpiranja oklepajev, in sicer izpuščanje oklepajev skupaj z znakom plus, ki je pred temi oklepaji:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Primer 3. Razširi oklepaje v izrazu 6+(−3)+(−2)

Na obeh mestih, kjer so oklepaji, je pred njimi plus. Tukaj ponovno velja prvo pravilo odpiranja oklepajev:

Včasih je prvi izraz v oklepaju zapisan brez predznaka. Na primer v izrazu 1+(2+3−4) prvi izraz v oklepaju 2 napisano brez znaka. Postavlja se vprašanje, kakšen znak se bo pojavil pred dvema, ko izpustimo oklepaj in plus pred oklepajem? Odgovor se nakazuje sam - pred dvema bo plus.

Pravzaprav je tudi v oklepaju plus pred dvema, a ga ne vidimo, ker ni zapisan. Rekli smo že, da izgleda celoten zapis pozitivnih števil +1, +2, +3. Toda po tradiciji plusi niso zapisani, zato vidimo pozitivna števila, ki so nam znana 1, 2, 3 .

Zato razširite oklepaje v izrazu 1+(2+3−4) , kot običajno morate izpustiti oklepaje skupaj z znakom plus pred temi oklepaji, ampak prvi izraz, ki je bil v oklepaju, zapisati z znakom plus:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Primer 4. Razširi oklepaje v izrazu −5 + (2 − 3)

Pred oklepajem je plus, zato uporabimo prvo pravilo za odpiranje oklepajev, in sicer oklepaje izpustimo skupaj s plusom, ki je pred temi oklepaji. Toda prvi izraz, ki ga zapišemo v oklepaju z znakom plus:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Primer 5. Razširi oklepaje v izrazu (−5)

Pred oklepajem je plus, ki pa ni zapisan, ker pred njim ni bilo drugih števil ali izrazov. Naša naloga je, da odstranimo oklepaj tako, da uporabimo prvo pravilo odpiranja oklepaja, in sicer izpustimo oklepaj skupaj s tem plusom (tudi če je neviden)

Primer 6. Razširi oklepaje v izrazu 2a + (−6a + b)

Pred oklepajem je plus, kar pomeni, da je ta plus izpuščen skupaj z oklepaji. Kar je bilo v oklepaju, bo zapisano nespremenjeno:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Primer 7. Razširi oklepaje v izrazu 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

V tem izrazu sta dve mesti, kjer morate razširiti oklepaje. V obeh razdelkih je plus pred oklepajem, kar pomeni, da je ta plus izpuščen skupaj z oklepajem. Kar je bilo v oklepaju, bo zapisano nespremenjeno:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

Drugo pravilo za odpiranje oklepajev

Zdaj pa poglejmo drugo pravilo za odpiranje oklepajev. Uporablja se, ko je pred oklepajem minus.

Če je pred oklepajem minus, potem ta minus skupaj z oklepajem izpustimo, izrazi, ki so bili v oklepaju, pa spremenijo predznak v nasprotno.

Na primer, razširimo oklepaje v naslednjem izrazu

Vidimo, da je pred oklepajem minus. To pomeni, da morate uporabiti drugo pravilo razširitve, in sicer izpustiti oklepaje skupaj z znakom minus pred temi oklepaji. V tem primeru bodo izrazi, ki so bili v oklepajih, spremenili predznak v nasprotno:

Dobili smo izraz brez oklepaja 5+2+3 . Ta izraz je enak 10, tako kot je bil prejšnji izraz z oklepaji enak 10.

Tako med izrazi 5−(−2−3) in 5+2+3 lahko postavite znak enačaja, ker sta enaki isti vrednosti:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Primer 2. Razširi oklepaje v izrazu 6 − (−2 − 5)

Pred oklepajem je minus, zato uporabimo drugo pravilo za odpiranje oklepajev, in sicer oklepaje izpustimo skupaj z minusom, ki je pred temi oklepaji. V tem primeru izraze, ki so bili v oklepaju, zapišemo z nasprotnimi predznaki:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Primer 3. Razširi oklepaje v izrazu 2 − (7 + 3)

Pred oklepajem je minus, zato za odpiranje oklepajev uporabimo drugo pravilo:

Primer 4. Razširi oklepaje v izrazu −(−3 + 4)

Primer 5. Razširi oklepaje v izrazu −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Obstajata dve mesti, kjer morate odpreti oklepaje. V prvem primeru morate uporabiti drugo pravilo za odpiranje oklepajev in ko gre za izraz +(−9−2) morate uporabiti prvo pravilo:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Primer 6. Razširi oklepaje v izrazu −(−a − 1)

Primer 7. Razširi oklepaje v izrazu −(4a + 3)

Primer 8. Razširi oklepaje v izrazu a − (4b + 3) + 15

Primer 9. Razširi oklepaje v izrazu 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Obstajata dve mesti, kjer morate odpreti oklepaje. V prvem primeru morate uporabiti prvo pravilo za odpiranje oklepajev in ko gre za izraz −(3c+5) morate uporabiti drugo pravilo:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Primer 10. Razširi oklepaje v izrazu −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Na treh mestih morate odpreti oklepaje. Najprej morate uporabiti drugo pravilo za odpiranje oklepajev, nato prvo in nato spet drugo:

−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a − 6b + 8c − 15

Mehanizem za odpiranje nosilca

Pravila za odpiranje oklepajev, ki smo jih zdaj pregledali, temeljijo na distribucijskem zakonu množenja:

pravzaprav odpiranje oklepaja je postopek, pri katerem se skupni faktor pomnoži z vsakim členom v oklepaju. Zaradi tega množenja oklepaji izginejo. Na primer, razširimo oklepaje v izrazu 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Torej, če morate pomnožiti število z izrazom v oklepaju (ali pomnožiti izraz v oklepaju s številom), morate reči odprimo oklepaje.

Toda kako je distribucijski zakon množenja povezan s pravili za odpiranje oklepajev, ki smo jih pregledali prej?

Dejstvo je, da je pred vsakim oklepajem skupni faktor. V primeru 3×(4+5) skupni faktor je 3 . In v primeru a(b+c) skupni faktor je spremenljivka a.

Če pred oklepaji ni številk ali spremenljivk, potem je skupni faktor 1 oz −1 , odvisno od tega, kateri znak je pred oklepajem. Če je pred oklepajem plus, potem je skupni faktor 1 . Če je pred oklepajem minus, potem je skupni faktor −1 .

Na primer, razširimo oklepaje v izrazu −(3b−1). Pred oklepajem je znak minus, zato morate uporabiti drugo pravilo za odpiranje oklepajev, torej izpustiti oklepaj skupaj z znakom minus pred oklepajem. In izraz, ki je bil v oklepaju, zapišite z nasprotnimi predznaki:

Oklepaje smo razširili po pravilu za razširitev oklepajev. Toda te iste oklepaje je mogoče odpreti z uporabo distribucijskega zakona množenja. To naredimo tako, da pred oklepaje najprej napišemo skupni faktor 1, ki ni bil zapisan:

Znak minus, ki je prej stal pred oklepajem, se je nanašal na to enoto. Zdaj lahko odprete oklepaje z uporabo distribucijskega zakona množenja. V ta namen skupni faktor −1 morate pomnožiti z vsakim členom v oklepajih in sešteti rezultate.

Za udobje zamenjamo razliko v oklepajih z zneskom:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Kot zadnjič smo prejeli izraz −3b+1. Vsi se bodo strinjali, da je bilo tokrat za reševanje tako preprostega primera porabljenega več časa. Zato je pametneje uporabiti že pripravljena pravila za odpiranje oklepajev, o katerih smo razpravljali v tej lekciji:

Vendar ne škodi vedeti, kako ta pravila delujejo.

V tej lekciji smo se naučili še eno enako transformacijo. Skupaj z odpiranjem oklepajev, dajanjem splošnega iz oklepajev in prinašanjem podobnih izrazov lahko nekoliko razširite obseg problemov, ki jih je treba rešiti. Na primer:

Tukaj morate izvesti dve dejanji - najprej odprite oklepaje in nato prinesite podobne pogoje. Torej po vrsti:

1) Odprite oklepaje:

2) Predstavljamo podobne pogoje:

V dobljenem izrazu −10b+(−1) lahko razširite oklepaje:

Primer 2. Odprite oklepaje in dodajte podobne izraze v naslednji izraz:

1) Odprimo oklepaje:

2) Predstavimo podobne izraze. Zaradi prihranka časa in prostora tokrat ne bomo zapisali, kako se koeficienti množijo z navadnim črkovnim delom

Primer 3. Poenostavite izraz 8m+3m in poiščite njegovo vrednost pri m=−4

1) Najprej poenostavimo izraz. Da poenostavimo izraz 8m+3m, lahko izločite skupni faktor m zunaj oklepaja:

2) Poiščite vrednost izraza m(8+3) pri m=−4. Če želite to narediti, v izrazu m(8+3) namesto spremenljivke m zamenjajte številko −4

m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

domov » Gala » Kako odpreti oklepaje pri množenju. Odpiranje oklepajev: pravila in primeri (7. razred)