Izračun obsega po tetivi in višini. Kako izračunati površino segmenta in površino segmenta krogle
Ni se treba učiti površine sektorja kroga in površine segmenta! Dragi prijatelji!Verjetno ste večkrat prelistali priročnik z matematičnimi formulami in verjetno se je pojavila misel: "Ali se jih je res mogoče naučiti vseh?" Povedal vam bom, kaj je mogoče, ampak zakaj? Zakaj bi si polnili glavo z množico formul, jih nenehno ponavljali, se zgražali, da ste nekatere pozabili in jih znova ponavljali? Ni potrebe!
Pravzaprav je dovolj, da si zapomnimo tretjino vseh formul, osnovnih formul ali celo manj. Nato boste razumeli, o čem govorimo. Vse druge formule je mogoče hitro izpeljati s poznavanjem osnov, uporabo logike in zapomnitvijo načel, ki jih je treba upoštevati.
Naj vam dam primer: obstaja 32 formul redukcije; njihovo učenje je nesmiselna vaja. Kako hitro zapomniti katero koli od njih, je opisano v članku "", poglejte.
V tem članku bomo pogledali, kako hitro obnoviti v pomnilnik formule za območje sektorja kroga, območje njegovega segmenta in dolžino loka kroga. Prav te formule bodo potrebne za reševanje serije v planimetriji, ki jo bomo analizirali v naslednjem članku.Torej, "osnovne" formule, se jih morate naučiti in poznati!
Območje kroga (formula):
Formula za obseg:
Upodabljajmo sektor, ki ustreza določenemu središčnemu kotu n:
Razmišljamo logično: če je ploščina kroga S= PR 2 , potem bo površina, ki ustreza sektorju ene stopinje, enaka 1/360 površine kroga (vemo, da je celoten krog kot 360 stopinj), tj.
Nadalje je jasno, da je površina sektorja, ki ustreza osrednjemu kotu n stopinj, enaka zmnožku ene tristo šestdesetine površine kroga in osrednjega kota n (ki ustreza sektorju) , to je
Tukaj je formula za območje sektorja.
Lahko pa svoje razmišljanje strukturirate takole:
Sektor 1 stopinje je 1/360 kroga oziroma sektor n stopinj je n/360 kroga. To pomeni, da bo površina sektorja enaka produktu površine kroga in tega dela:
Enostavno je. Potrebno je odšteti površino trikotnika od površine sektorja (označeno je rumena). Kot vemo, je površina trikotnika enaka polovici produkta sosednjih stranic in sinusa kota med njima (to formulo morate poznati, nikompleks). IN v tem primeru To:
pomeni,
Toliko o segmentnem področju!
Območje segmenta, kjer središčni kot več kot 180 stopinj najdemo preprosto:
Od površine kroga odštejte površino nastalega segmenta:
Kot 360 – n stopinj je kot, ki ustreza prikazanemu sektorju (rumeno):
To pomeni, z drugimi besedami, dodamo območje trikotnika njegovemu območju in dobimo območje določenega segmenta.
Podobno določimo dolžino krožnega loka. Kot že rečeno, je obseg enak:
To pomeni, da bo dolžina krožnega loka, ki ustreza eni stopinji, enaka eni tristo šestdesetinki 2πR, tj.
Dobimo dolžino krožnega loka. seveda, te informacije učitelji dajejo učencem, vi pa se niste naučili ničesar tako skrivnega. Vendar sem prepričan, da vam bo članek koristen.
Ponavljam, da je najpomembneje poznati formule za ploščino kroga in obseg, potem pa deluje le logika.
Predlagam, da si ogledate dodatno lekcijo Dmirija Tarasova na to temo. Upoštevane so formule za dolžino krožnega loka in površino sektorja, kjer je središčni kot podan v radianski meri.
To je vse. Srečno vam!!
S spoštovanjem, Alexander Krutitskikh.
P.S: Hvaležen bi bil, če bi mi povedali o spletnem mestu na družbenih omrežjih.
Površina krožnega segmenta je enaka razliki med površino ustreznega krožnega sektorja in površino trikotnika, ki ga tvorijo polmeri sektorja, ki ustreza segmentu, in tetive, ki omejuje segment.
Primer 1
Dolžina tetive, ki zajema krog, je enaka vrednosti a. Stopinjska mera loka, ki ustreza tetivi, je 60°. Poiščite območje krožnega segmenta.
rešitev
Trikotnik, ki ga sestavljata dva polmera in tetiva, je enakokrak, zato bo višina, potegnjena iz oglišča središčnega kota na stranico trikotnika, ki ga tvori tetiva, tudi simetrala središčnega kota, ki ga deli na pol, in mediana, ki deli tetivo na pol. Vedeti, da je sinus kota v pravokotnem trikotniku enako razmerju na nasprotni strani hipotenuze lahko izračunate polmer:
Sin 30°= a/2:R = 1/2;
Sc = πR²/360°*60° = πa²/6
S▲=1/2*ah, kjer je h višina, narisana iz oglišča središčnega kota na tetivo. Po Pitagorovem izreku je h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.
V skladu s tem je S▲=√3/4*a².
Površina segmenta, izračunana kot Sreg = Sc - S▲, je enaka:
Sreg = πa²/6 - √3/4*a²
Nadomeščanje številčna vrednost Namesto vrednosti a lahko preprosto izračunate številsko vrednost površine segmenta.
Primer 2
Polmer kroga je enak a. Stopinjska mera loka, ki ustreza segmentu, je 60°. Poiščite območje krožnega segmenta.
rešitev:
Ustrezno območje sektorja podani kot se lahko izračuna po naslednji formuli:
Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,
Površina trikotnika, ki ustreza sektorju, se izračuna na naslednji način:
S▲=1/2*ah, kjer je h višina, narisana iz oglišča središčnega kota na tetivo. Po Pitagorovem izreku je h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.
V skladu s tem je S▲=√3/4*a².
In končno, površina segmenta, izračunana kot Sreg = Sc - S▲, je enaka:
Sreg = πa²/6 - √3/4*a².
Rešitve so v obeh primerih skoraj enake. Tako lahko sklepamo, da je za izračun površine segmenta v najpreprostejšem primeru dovolj poznati vrednost kota, ki ustreza loku segmenta, in enega od dveh parametrov - bodisi polmer kroga ali dolžina tetive, ki zajema lok kroga, ki tvori segment.
Matematična vrednost površine je znana že od nekdaj antična Grčija. Že v tistih daljnih časih so Grki ugotovili, da je območje neprekinjen del površine, ki je z vseh strani omejen s sklenjeno konturo. To je številska vrednost, ki se meri v kvadratnih enotah. Površina je številčna značilnost obeh ravnin geometrijske oblike(planimetrična) in površine teles v prostoru (volumetrična).
Trenutno ga najdemo ne samo znotraj šolski kurikulum pri pouku geometrije in matematike, pa tudi pri astronomiji, vsakdanjem življenju, gradbeništvu, razvoj oblikovanja, v proizvodnji in v mnogih drugih človeških dejavnostih. Zelo pogosto se zatečemo k izračunu površin segmentov na osebni parceli pri oblikovanju krajinskega območja ali med obnovitvenimi deli na ultramoderni zasnovi prostora. Zato bo poznavanje metod za izračun različnih območij koristno vedno in povsod.
Če želite izračunati površino krožnega segmenta in segmenta krogle, morate razumeti geometrijske izraze, ki bodo potrebni med računskim procesom.
Prvič, segment kroga se imenuje fragment ravna figura krog, ki se nahaja med lokom kroga in tetivo, ki ga seka. Tega koncepta ne smemo zamenjevati s številko sektorja. To so popolnoma različne stvari.
Tetiva je odsek, ki povezuje dve točki, ki ležita na krožnici.
Osrednji kot je tvorjen med dvema segmentoma - polmeroma. V stopinjah se meri z lokom, na katerem leži.
Segment krogle nastane, ko je del krogle (krogla) odrezan z neko ravnino. V tem primeru je osnova sferičnega segmenta krog, višina pa pravokotnica, ki izhaja iz središča kroga do presečišča s površino krogle. To presečišče imenujemo vrh segmenta krogle.
Če želite določiti površino segmenta krogle, morate poznati odrezan krog in višino kroglični segment. Zmnožek teh dveh komponent bo površina odseka krogle: S=2πRh, kjer je h višina odseka, 2πR je obseg in R je polmer velikega kroga.
Za izračun površine segmenta kroga se lahko zatečete k naslednjim formulam:
1. Najti območje segmenta po največ na preprost način, je treba izračunati razliko med površino sektorja, v katerega je vpisan segment, in katerega osnova je tetiva segmenta: S1=S2-S3, kjer je S1 območje segmenta, S2 je območje sektorja, S3 pa območje trikotnika.
Za izračun površine krožnega segmenta lahko uporabite približno formulo: S=2/3*(a*h), kjer je a osnova trikotnika ali h višina segmenta, kar je rezultat razlike med polmerom kroga in
2. Površina segmenta, ki se razlikuje od polkroga, se izračuna na naslednji način: S = (π R2: 360) * α ± S3, kjer je π R2 ploščina kroga, α je stopinjska mera središčnega kota, ki vsebuje lok krožnega segmenta, S3 je ploščina trikotnika, ki je nastal med polmeroma krog in tetiva, ki ima kot v središčnici krožnice in dve oglišči v stičnih točkah polmerov s krožnico.
Če je kot α< 180 градусов, используется знак минус, если α >180 stopinj, uporabljen znak plus.
3. Območje segmenta lahko izračunate z drugimi metodami s trigonometrijo. Za osnovo se praviloma vzame trikotnik. Če se središčni kot meri v stopinjah, je sprejemljiva naslednja formula: S= R2 * (π*(α/180) - sin α)/2, kjer je R2 kvadrat polmera kroga, α je stopinjska mera središčnega kota.
4. Za izračun površine segmenta uporabite trigonometrične funkcije, lahko uporabite drugo formulo, pod pogojem, da se središčni kot meri v radianih: S= R2 * (α - sin α)/2, kjer je R2 kvadrat polmera kroga, α je stopinjska mera središča kota.
