Osnovni geometrijski liki na ravnini. Njihove lastnosti

Planimetrija je veja geometrije, v kateri preučujemo figure na ravnini.

Številke, preučene s planimetrijo:

3. Paralelogram (posebni primeri: kvadrat, pravokotnik, romb)

4. Trapez

5. Obseg

6. Trikotnik

7. Poligon

1) Točka:

V geometriji, topologiji in sorodnih vejah matematike je točka abstrakten objekt v prostoru, ki nima ne prostornine, površine, dolžine ali drugih podobnih značilnosti velikih dimenzij. Tako je točka ničelni objekt. Točka je eden temeljnih pojmov v matematiki.

Točka v evklidski geometriji:

Točka je eden od temeljnih konceptov geometrije, zato "točka" nima definicije. Evklid je točko opredelil kot nekaj, česar ni mogoče razdeliti.

Ravna črta je eden od osnovnih konceptov geometrije.

Geometrijska ravna črta (ravna črta) je razširjen, neukrivljen geometrijski objekt, ki ni zaprt na obeh straneh, katerega presek teži k nič, vzdolžna projekcija na ravnino pa daje točko.

V sistematičnem prikazu geometrije je premica navadno vzeta kot eden od izhodiščnih pojmov, ki je le posredno določen z aksiomi geometrije.

Če je osnova za gradnjo geometrije koncept razdalje med dvema točkama v prostoru, potem lahko premico definiramo kot črto, vzdolž katere je pot enaka razdalji med dvema točkama.

3) Paralelogram:

Paralelogram je štirikotnik, katerega nasprotni strani sta v parih vzporedni, to pomeni, da ležita na vzporednih premicah. Posebni primeri paralelograma so pravokotnik, kvadrat in romb.

Posebni primeri:

kvadrat- pravilni štirikotnik ali romb, pri katerem so vsi koti pravi, ali paralelogram, pri katerem so vse stranice in koti enaki.

Kvadrat lahko definiramo kot: pravokotnik, katerega sosednji stranici sta enaki;

romb, pri katerem so vsi koti pravi (vsak kvadrat je romb, ni pa vsak romb kvadrat).

Pravokotnik je paralelogram, v katerem so vsi koti pravi koti (enaki 90 stopinj).

Romb je paralelogram, v katerem so vse stranice enake. Romb s pravimi koti se imenuje kvadrat.

4) Trapez:

Trapez- štirikotnik s točno enim parom nasprotnih stranic, ki sta vzporedna.

1. Trapez, katerega stranice niso enake,

klical vsestranski .

2. Trapez, katerega stranice so enake, se imenuje enakokraki.

3. Trapez, v katerem ena stranica tvori pravi kot z osnovami, se imenuje pravokotne .

Segment, ki povezuje središča stranskih stranic trapeza, se imenuje srednja črta trapez (MN). Srednjica trapeza je vzporedna z osnovama in enaka njuni polvsoti.

Trapez lahko imenujemo prisekan trikotnik, zato so imena trapezov podobna imenom trikotnikov (trikotniki so lahko skalni, enakokraki ali pravokotni).

5) Obseg:

krog- geometrijsko mesto točk ravnine, ki so enako oddaljene od dane točke, imenovane središče, na dani ničelni razdalji, imenovani njen polmer.

6) Trikotnik:

Trikotnik- najpreprostejši mnogokotnik, ki ima 3 oglišča (kote) in 3 stranice; del ravnine, ki ga omejujejo tri točke, in trije odseki, ki povezujejo te točke v parih.

7) Poligon:

Poligon- to je geometrijska figura, definirana kot zaprta zlomljena črta. Obstajajo tri različne definicije:

Ravne zaprte lomljene črte;

Ravninske zaprte poličnije brez samopresečišč;

Deli ravnine, omejeni z lomljenimi črtami.

Oglišča mnogokotnika imenujemo oglišča mnogokotnika, odseke pa stranice mnogokotnika.

Osnovne lastnosti premice in točke:

1. Ne glede na premico obstajajo točke, ki tej premici pripadajo in ji ne pripadajo.

Skozi kateri koli dve točki lahko narišete ravno črto in samo eno.

2. Od treh točk na premici ena in samo ena leži med drugima dvema.

3. Vsak segment ima določeno dolžino, večjo od nič. Dolžina odseka je enaka vsoti dolžin delov, na katere ga deli katera koli njegova točka.

6. Na katero koli polpremico od njene začetne točke lahko narišete odsek določene dolžine in samo enega.

7. Iz katere koli polpremice v dano polravnino lahko postavite kot z dano stopinjsko mero, manjšo od 180°, in to samo eno.

8. Ne glede na trikotnik je enak trikotnik na dani lokaciji glede na dano polpremico.

Lastnosti trikotnika:

Razmerja med stranicami in koti trikotnika:

1) Nasproti večje stranice leži večji kot.

2) Večja stranica leži nasproti večjega kota.

3) Enaki koti ležijo nasproti enakih stranic in, nasprotno, enake stranice ležijo nasproti enakih kotov.

Razmerje med notranjim in zunanjim kotom trikotnika:

1) Vsota poljubnih dveh notranjih kotov trikotnika je enaka zunanjemu kotu trikotnika, ki meji na tretji kot.

2) Stranice in koti trikotnika so med seboj povezani tudi z razmerji, ki jih imenujemo sinusni in kosinusni izrek.

Trikotnik se imenuje topi, pravokotni ali ostrokotni , če je njegov največji notranji kot večji, enak ali manjši od 90∘.

Srednja linija trikotnika je odsek, ki povezuje razpoloviščni točki obeh stranic trikotnika.

Lastnosti srednje črte trikotnika:

1) Premica, ki vsebuje središčnico trikotnika, je vzporedna s premico, ki vsebuje tretjo stranico trikotnika.

2) Srednja črta trikotnika je enaka polovici tretje stranice.

3) Srednja črta trikotnika reže podoben trikotnik od trikotnika.

Lastnosti pravokotnika:

1) nasprotni strani sta enaki in vzporedni drug z drugim;

2) diagonali sta enaki in se v presečišču razpolovita;

3) vsota kvadratov diagonal je enaka vsoti kvadratov vseh (štirih) stranic;

4) pravokotniki enake velikosti lahko popolnoma pokrijejo ravnino;

5) pravokotnik lahko razdelimo na dva enaka pravokotnika na dva načina;

6) pravokotnik lahko razdelimo na dva enaka pravokotna trikotnika;

7) okoli pravokotnika lahko opišete krog, katerega premer je enak diagonali pravokotnika;

8) v pravokotnik (razen kvadrat) ni mogoče vpisati kroga tako, da se dotika vseh njegovih stranic.

Lastnosti paralelograma:

1) Sredina diagonale paralelograma je njegovo simetrično središče.

2) Nasprotni stranici paralelograma sta enaki.

3) Nasprotna kota paralelograma sta enaka.

4) Vsaka diagonala paralelograma deli na dva enaka trikotnika.

5) Diagonali paralelograma sta razpolovljeni s presečiščem.

6) Vsota kvadratov diagonal paralelograma (d1 in d2) je enaka vsoti kvadratov vseh njegovih stranic: d21+d22=2(a2+b2)

Z lastnosti kvadrata:

1) Vsi koti kvadrata so pravi, vse stranice kvadrata so enake.

2) Diagonali kvadrata sta enaki in se sekata pod pravim kotom.

3) Diagonale kvadrata delijo njegove kote na pol.

Lastnosti romba:

1. Diagonala romba deli na dva enaka trikotnika.

2. Diagonale romba so na presečišču razdeljene na pol.

3. Nasprotni stranici romba sta med seboj enaki, njegova nasprotna kota pa sta enaka.

Poleg tega ima romb naslednje lastnosti:

a) diagonali romba sta medsebojno pravokotni;

b) diagonala romba deli njegov kot na pol.

Lastnosti kroga:

1) Premica ne sme imeti skupnih točk s krožnico; imajo s krogom eno skupno točko (tangento); imajo z njim dve skupni točki (sekant).

2) Skozi tri točke, ki ne ležijo na isti premici, lahko narišete krog in samo eno.

3) Stična točka dveh krogov leži na premici, ki povezuje njuni središči.

Lastnosti poligona:

1) Vsota notranjih kotov ravnega konveksnega n-kotnika je enaka.

2) Število diagonal katerega koli n-kotnika je enako.

3).Produkt strani mnogokotnika in sinusa kota med njima je enak površini poligona.

Tema lekcije

Geometrijske oblike

Kaj je geometrijska figura

Geometrijski liki so skupek številnih točk, črt, ploskev ali teles, ki se nahajajo na površini, ravnini ali prostoru in tvorijo končno število črt.

Izraz "figura" se do neke mere formalno uporablja za množico točk, praviloma pa se figura običajno imenuje množica, ki se nahaja na ravnini in je omejena s končnim številom črt.

Točka in premica sta osnovni geometrijski liki, ki se nahajata na ravnini.

Najenostavnejše geometrijske figure na ravnini vključujejo segment, žarek in lomljeno črto.

Kaj je geometrija

Geometrija je matematična veda, ki se ukvarja s proučevanjem lastnosti geometrijskih likov. Če dobesedno prevedemo izraz "geometrija" v ruščino, to pomeni "merjenje zemlje", saj je bila v starih časih glavna naloga geometrije kot znanosti merjenje razdalj in površin na površini zemlje.

Praktična uporaba geometrije je neprecenljiva v vsakem trenutku in ne glede na poklic. Niti delavec, niti inženir, niti arhitekt, niti umetnik ne more brez znanja geometrije.

V geometriji obstaja del, ki se ukvarja s preučevanjem različnih likov na ravnini in se imenuje planimetrija.

Že veste, da je figura poljubna množica točk na ravnini.

Geometrijski liki so: točka, premica, odsek, žarek, trikotnik, kvadrat, krog in drugi liki, ki jih proučuje planimetrija.

Pika

Iz zgoraj preučenega materiala že veste, da se točka nanaša na glavne geometrijske figure. In čeprav je to najmanjši geometrijski lik, je potreben za konstrukcijo drugih likov na ravnini, risbi ali sliki in je osnova za vse druge konstrukcije. Navsezadnje je konstrukcija bolj zapletenih geometrijskih figur sestavljena iz številnih točk, značilnih za določeno figuro.

V geometriji so točke označene z velikimi črkami latinske abecede, na primer: A, B, C, D....

Zdaj pa povzamemo in tako je z matematičnega vidika točka tako abstrakten objekt v prostoru, ki nima prostornine, površine, dolžine in drugih značilnosti, a ostaja eden temeljnih pojmov v matematiki. Točka je ničelni objekt, ki nima definicije. Po Evklidovi definiciji je točka nekaj, česar ni mogoče definirati.

Naravnost

Tako kot točka se ravna črta nanaša na figure na ravnini, ki nima definicije, saj je sestavljena iz neskončnega števila točk, ki se nahajajo na eni črti, ki nima ne začetka ne konca. Lahko trdimo, da je ravna črta neskončna in nima omejitev.

Če se ravna črta začne in konča s točko, potem ni več ravna črta in se imenuje odsek.

Toda včasih ima ravna črta točko na eni strani in ne na drugi. V tem primeru se ravna črta spremeni v žarek.

Če vzamete ravno črto in postavite točko na njeno sredino, bo to ravno črto razdelilo na dva nasprotno usmerjena žarka. Ti žarki so dodatni.

Če je pred vami več segmentov, povezanih med seboj, tako da konec prvega segmenta postane začetek drugega, konec drugega segmenta postane začetek tretjega itd., in ti segmenti niso na isti ravni črti in ko imata povezani skupno točko, je taka veriga lomljena črta.

telovadba

Katera lomljena črta se imenuje nezaključena?
Kako je označena ravna črta?
Kako se imenuje lomljena črta, ki ima štiri sklenjene člene?
Kako se imenuje lomljena črta s tremi sklenjenimi členi?

Ko konec zadnjega odseka lomljene črte sovpada z začetkom 1. odseka, se taka lomljena črta imenuje zaprta. Primer zaprte poličnije je poljuben mnogokotnik.

Letalo

Tako kot točka in premica je tudi ravnina primarni pojem, nima definicije in ni mogoče videti ne začetka ne konca. Zato pri obravnavanju ravnine upoštevamo le tisti njen del, ki je omejen z zaprto lomljeno črto. Tako lahko vsako gladko površino štejemo za ravnino. Ta površina je lahko list papirja ali miza.

Kotiček

Lik, ki ima dva žarka in oglišče, se imenuje kot. Stičišče žarkov je vrh tega kota, njegove stranice pa so žarki, ki tvorijo ta kot.

Vaja:

1. Kako je v besedilu označen kot?
2. Katere enote lahko uporabiš za merjenje kota?
3. Kakšni so koti?

Paralelogram

Paralelogram je štirikotnik, katerega nasprotni strani sta v parih vzporedni.

Pravokotnik, kvadrat in romb so posebni primeri paralelograma.

Paralelogram s pravimi koti, enakimi 90 stopinj, je pravokotnik.

Kvadrat je enak paralelogram; njegovi koti in stranice so enaki.

Kar zadeva definicijo romba, je to geometrijska figura, katere vse strani so enake.

Poleg tega morate vedeti, da je vsak kvadrat romb, vendar pa vsak romb ne more biti kvadrat.

Trapez

Ko obravnavamo geometrijsko figuro, kot je trapez, lahko rečemo, da ima, zlasti kot štirikotnik, en par vzporednih nasprotnih stranic in je krivuljasta.

Krog in krog

Krog je geometrijsko mesto točk na ravnini, ki je enako oddaljena od dane točke, imenovane središče, na dani razdalji, ki ni nič, imenovani njen polmer.

Trikotnik

Tudi trikotnik, ki ste ga že preučevali, spada med enostavne geometrijske like. To je ena od vrst poligonov, pri katerih je del ravnine omejen s tremi točkami in tremi segmenti, ki te točke povezujejo v parih. Vsak trikotnik ima tri oglišča in tri stranice.

Vaja: Kateri trikotnik imenujemo degeneriran?

Poligon

Poligoni vključujejo geometrijske figure različnih oblik, ki imajo zaprto lomljeno črto.

V mnogokotniku so vse točke, ki povezujejo segmente, njegova oglišča. In segmenti, ki sestavljajo poligon, so njegove stranice.

Ali ste vedeli, da nastanek geometrije sega stoletja nazaj in je povezan z razvojem različnih obrti, kulture, umetnosti in opazovanja okoliškega sveta. In ime geometrijskih likov je potrditev tega, saj njihovi izrazi niso nastali kar tako, temveč zaradi njihove podobnosti in podobnosti.

Navsezadnje izraz "trapez", preveden iz starogrškega jezika iz besede "trapezion", pomeni mizo, obrok in druge izpeljane besede.

"Stožec" izhaja iz grške besede "konos", kar pomeni borov storž.

"Črta" ima latinske korenine in izhaja iz besede "linum", v prevodu zveni kot lanena nit.

Ali ste vedeli, da če vzamete geometrijske figure z enakim obodom, se med njimi izkaže, da ima krog največjo površino.

Besedilo dela je objavljeno brez slik in formul.
Celotna različica dela je na voljo v zavihku "Delovne datoteke" v formatu PDF

Uvod

Geometrija je ena najpomembnejših sestavin matematičnega izobraževanja, potrebna za pridobitev specifičnega znanja o prostoru in praktično pomembnih veščin, oblikovanje jezika za opisovanje predmetov v okoliškem svetu, za razvoj prostorske domišljije in intuicije, matematične kulture. , kot tudi za estetsko vzgojo. Študij geometrije prispeva k razvoju logičnega mišljenja in oblikovanju dokaznih veščin.

Geometrija v 7. razredu sistematizira znanje o najpreprostejših geometrijskih likih in njihovih lastnostih; uvede se koncept enakosti figur; razvija se sposobnost dokazovanja enakosti trikotnikov z uporabo preučenih znakov; uveden je razred nalog, ki vključujejo sestavljanje s šestilom in ravnilom; uveden je eden najpomembnejših pojmov - pojem vzporednice; obravnavajo nove zanimive in pomembne lastnosti trikotnikov; obravnavan je eden najpomembnejših izrekov v geometriji - izrek o vsoti kotov trikotnika, ki nam omogoča razvrščanje trikotnikov po kotih (ostrokotni, pravokotni, topi).

Med poukom, zlasti pri prehodu iz enega dela lekcije v drugega, menjavi dejavnosti, se postavlja vprašanje ohranjanja zanimanja za pouk. torej ustrezen Postavlja se vprašanje o uporabi nalog pri pouku geometrije, ki vključujejo pogoj problemske situacije in elemente ustvarjalnosti. torej namen Ta študija je sistematizirati naloge geometrijske vsebine z elementi ustvarjalnosti in problemskih situacij.

Predmet študija: Geometrijske naloge z elementi ustvarjalnosti, zabave in problemskih situacij.

Raziskovalni cilji: Analizirajte obstoječe geometrijske naloge, namenjene razvoju logike, domišljije in ustvarjalnega mišljenja. Pokažite, kako lahko z zabavnimi tehnikami razvijete zanimanje za predmet.

Teoretični in praktični pomen študije je, da lahko zbrano gradivo uporabimo v procesu dodatnega pouka geometrije, in sicer na olimpijadah in tekmovanjih iz geometrije.

Obseg in struktura študije:

Študijo sestavljajo uvod, dve poglavji, zaključek, bibliografija, vsebuje 14 strani glavnega tipkanega besedila, 1 tabelo, 10 slik.

Poglavje 1. PLOŠKE GEOMETRIJSKE FIGURE. OSNOVNI POJMI IN DEFINICIJE

1.1. Osnovne geometrijske figure v arhitekturi zgradb in objektov

V svetu okoli nas je veliko materialnih predmetov različnih oblik in velikosti: stanovanjske zgradbe, deli strojev, knjige, nakit, igrače itd.

V geometriji namesto besede predmet pravijo geometrijski lik, geometrijske like pa delijo na ploske in prostorske. V tem delu bomo obravnavali enega najzanimivejših delov geometrije - planimetrijo, v kateri so obravnavane samo ravninske figure. Planimetrija(iz latinščine planum - "ravnina", starogrška μετρεω - "mera") - del evklidske geometrije, ki preučuje dvodimenzionalne (enoravninske) figure, to je figure, ki se lahko nahajajo znotraj iste ravnine. Ravni geometrijski lik je tisti, pri katerem vse točke ležijo na isti ravnini. Vsaka risba, izdelana na listu papirja, daje idejo o takšni figuri.

Toda preden razmislimo o ploščatih figurah, se je treba seznaniti s preprostimi, a zelo pomembnimi figurami, brez katerih ploščate figure preprosto ne morejo obstajati.

Najenostavnejši geometrijski lik je pika. To je ena glavnih figur geometrije. Je zelo majhen, vendar se vedno uporablja za gradnjo različnih oblik na ravnini. Točka je glavna figura za absolutno vse konstrukcije, tudi najvišje kompleksnosti. Z matematičnega vidika je točka abstrakten prostorski objekt, ki nima takšnih značilnosti, kot sta površina ali prostornina, hkrati pa ostaja temeljni pojem v geometriji.

Naravnost- eden od temeljnih pojmov geometrije V sistematičnem prikazu geometrije je premica običajno vzeta kot eden od izhodiščnih pojmov, ki je le posredno določen z aksiomi geometrije (evklidski). Če je osnova za gradnjo geometrije koncept razdalje med dvema točkama v prostoru, potem lahko premico definiramo kot črto, vzdolž katere je pot enaka razdalji med dvema točkama.

Ravne črte v prostoru lahko zasedajo različne položaje, razmislimo o nekaterih od njih in navedimo primere, ki jih najdemo v arhitekturnem videzu zgradb in objektov (tabela 1):

Tabela 1

1.2. Ravne geometrijske oblike. Lastnosti in definicije

Človek si je ob opazovanju oblik rastlin in živali, gora in rečnih vijug, pokrajinskih značilnosti in oddaljenih planetov izposodil od narave njene pravilne oblike, velikosti in lastnosti. Materialne potrebe so ljudi spodbujale k gradnji hiš, izdelovanju orodij za delo in lov, klesanju posode iz gline itd. Vse to je postopoma prispevalo k temu, da je človek spoznal osnovne geometrijske pojme.

štirikotniki:

Paralelogram(starogrško παραλληλόγραμμον iz παράλληλος - vzporednik in γραμμή - črta, črta) je štirikotnik, katerega nasprotne stranice so po parih vzporedne, to pomeni, da ležijo na vzporednih premicah.

Znaki paralelograma:

Štirikotnik je paralelogram, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev: 1. Če sta v štirikotniku nasprotni stranici po parih enaki, je štirikotnik paralelogram. 2. Če se v štirikotniku diagonali sekata in ju presečišče deli na pol, potem je ta štirikotnik paralelogram. 3. Če sta dve stranici štirikotnika enaki in vzporedni, potem je ta štirikotnik paralelogram.

Paralelogram, katerega vsi koti so pravi koti, se imenuje pravokotnik.

Imenuje se paralelogram, v katerem so vse stranice enake diamant

trapez— To je štirikotnik, pri katerem sta dve stranici vzporedni, drugi dve stranici pa nista vzporedni. Tudi trapez je štirikotnik, v katerem je en par nasprotnih stranic vzporeden, stranice pa med seboj niso enake.

Trikotnik je najpreprostejši geometrijski lik, sestavljen iz treh odsekov, ki povezujejo tri točke, ki ne ležijo na isti premici. Te tri točke imenujemo oglišča trikotnik, segmenti pa so stranice trikotnik. Prav zaradi svoje enostavnosti je bil trikotnik osnova številnih meritev. Geodeti pri izračunu zemljišč in astronomi pri ugotavljanju razdalj do planetov in zvezd uporabljajo lastnosti trikotnikov. Tako je nastala veda trigonometrija - veda o merjenju trikotnikov, o izražanju stranic skozi njegove kote. Območje katerega koli poligona je izraženo s površino trikotnika: dovolj je, da ta mnogokotnik razdelite na trikotnike, izračunate njihova območja in seštejete rezultate. Res je, da ni bilo takoj mogoče najti pravilne formule za območje trikotnika.

Lastnosti trikotnika so še posebej aktivno preučevali v 15.-16. stoletju. Tukaj je eden najlepših teoremov tistega časa, zahvaljujoč Leonhardu Eulerju:

Ogromno delo na geometriji trikotnika, opravljeno v XY-XIX stoletjih, je ustvarilo vtis, da je o trikotniku že vse znano.

Poligon - je geometrijska figura, običajno opredeljena kot sklenjena lomljena črta.

krog- geometrijsko mesto točk v ravnini, razdalja od katere do dane točke, imenovane središče kroga, ne presega danega nenegativnega števila, imenovanega polmer tega kroga. Če je polmer enak nič, se krog degenerira v točko.

Obstaja veliko število geometrijskih oblik, vse se razlikujejo po parametrih in lastnostih, včasih presenetljive s svojimi oblikami.

Da bi si bolje zapomnili in razlikovali ravne figure po lastnostih in značilnostih, sem se domislil geometrijske pravljice, ki bi vam jo rad predstavil v naslednjem odstavku.

Poglavje 2. UGANKE IZ RAVNIH GEOMETRIJSKIH LIK

2.1. Uganke za sestavljanje kompleksne figure iz niza ravnih geometrijskih elementov.

Po študiju ravnih oblik sem se spraševal, ali obstajajo kakšne zanimive težave s ploščatimi oblikami, ki bi jih lahko uporabili kot igre ali uganke. In prva težava, ki sem jo našel, je bila uganka Tangram.

To je kitajska uganka. Na Kitajskem se imenuje "chi tao tu" ali miselna uganka iz sedmih delov. V Evropi je ime "Tangram" najverjetneje nastalo iz besede "tan", kar pomeni "kitajski" in korena "gram" (grško - "črka").

Najprej morate narisati kvadrat 10 x 10 in ga razdeliti na sedem delov: pet trikotnikov 1-5 , kvadrat 6 in paralelogram 7 . Bistvo sestavljanke je, da iz vseh sedmih kosov sestavite figure, prikazane na sliki 3.

Slika 3. Elementi igre "Tangram" in geometrijske oblike

Slika 4. Tangram naloge

Še posebej zanimivo je izdelati "oblikovane" mnogokotnike iz ravnih figur, pri čemer poznamo samo obrise predmetov (slika 4). Več takšnih orisnih nalog sem si izmislil sam in jih pokazal sošolcem, ki so se z veseljem lotili reševanja nalog in ustvarili veliko zanimivih poliedrov, podobnih obrisom predmetov v svetu okoli nas.

Za razvoj domišljije lahko uporabite tudi takšne oblike zabavnih ugank, kot so naloge za rezanje in reprodukcijo danih figur.

Primer 2. Rezanje (parketarska) opravila se na prvi pogled zdijo precej raznolika. Vendar večina uporablja le nekaj osnovnih vrst rezov (običajno tiste, s katerimi je mogoče iz enega paralelograma ustvariti drugega).

Oglejmo si nekaj tehnik rezanja. V tem primeru bomo poklicali rezane figure poligoni.

riž. 5. Tehnike rezanja

Slika 5 prikazuje geometrijske oblike, iz katerih lahko sestavite različne okrasne kompozicije in ustvarite okras z lastnimi rokami.

Primer 3. Še ena zanimiva naloga, ki si jo lahko izmislite sami in jo izmenjate z drugimi učenci, in tisti, ki zbere največ izrezanih kosov, je razglašen za zmagovalca. Tovrstnih nalog je lahko kar veliko. Za kodiranje lahko vzamete vse obstoječe geometrijske oblike, ki so razrezane na tri ali štiri dele.

Sl. 6. Primeri nalog rezanja:

------ - poustvarjen trg; - rez s škarjami;

Osnovna figura

2.2 Enako velike in enako sestavljene figure

Oglejmo si še eno zanimivo tehniko rezanja ravnih figur, kjer bodo glavni "junaki" rezov poligoni. Pri izračunu površin poligonov se uporablja preprosta tehnika, imenovana metoda razdelitve.

Na splošno se poligoni imenujejo enakomerno sestavljeni, če po rezanju poligona na določen način F na končno število delov, je mogoče z različno razporeditvijo teh delov iz njih sestaviti mnogokotnik H.

To vodi do naslednjega izrek: Enakostranični mnogokotniki imajo enako ploščino, zato se bodo šteli za enake ploščine.

Na primeru enakostranskih mnogokotnikov lahko obravnavamo tako zanimivo rezanje, kot je preoblikovanje "grškega križa" v kvadrat (slika 7).

Slika 7. Preoblikovanje "grškega križa"

Pri mozaiku (parketu), sestavljenem iz grških križev, je paralelogram period kvadrat. Problem rešimo tako, da na mozaik, sestavljen s pomočjo križcev, prestavimo mozaik iz kvadratkov, tako da skladne točke enega mozaika sovpadajo s skladnimi točkami drugega (slika 8).

Na sliki skladne točke mozaika križev, in sicer središča križev, sovpadajo s skladnimi točkami "kvadratnega" mozaika - oglišči kvadratov. Z vzporednim premikanjem kvadratnega mozaika bomo vedno dobili rešitev problema. Poleg tega ima problem več možnih rešitev, če se pri sestavljanju parketnega ornamenta uporablja barva.

Slika 8. Parket iz grškega križa

Drug primer enako sorazmernih figur lahko obravnavamo na primeru paralelograma. Na primer, paralelogram je enak pravokotniku (slika 9).

Ta primer ponazarja metodo razdelitve, ki obsega izračun površine mnogokotnika tako, da ga poskušamo razdeliti na končno število delov tako, da se ti deli lahko uporabijo za ustvarjanje enostavnejšega mnogokotnika, katerega površina je že znana. nas.

Na primer, trikotnik je enakovreden paralelogramu z enako osnovo in polovico višine. Iz tega položaja se zlahka izpelje formula za območje trikotnika.

Upoštevajte, da velja tudi zgornji izrek obratni izrek:če sta dva poligona enako velika, potem sta enakovredna.

Ta izrek, dokazan v prvi polovici 19. st. madžarskega matematika F. Bolyaija in nemškega častnika in ljubitelja matematike P. Gerwina, lahko predstavimo takole: če obstaja torta v obliki mnogokotnika in poligonalna škatla popolnoma drugačne oblike, vendar enake površine , potem lahko torto razrežete na omejeno število kosov (ne da bi jih obrnili s kremno stranjo navzdol), ki jih lahko položite v to škatlo.

Zaključek

Za zaključek bi rad omenil, da je v različnih virih kar nekaj problemov o ravnih figurah, a tisti, ki so me zanimali, so bili tisti, na podlagi katerih sem moral sestaviti lastne uganke.

Navsezadnje z reševanjem takšnih problemov ne morete samo nabirati življenjskih izkušenj, temveč tudi pridobiti nova znanja in spretnosti.

V ugankah sem pri konstruiranju dejanj-premikov z vrtenji, premiki, premiki na ravnini ali njihovimi kompozicijami dobil samostojno ustvarjene nove slike, na primer poliedrske figure iz igre "Tangram".

Znano je, da je glavno merilo mobilnosti človekovega razmišljanja sposobnost, da s pomočjo rekonstruktivne in ustvarjalne domišljije izvede določena dejanja v določenem časovnem obdobju, v našem primeru pa premike figur na ravnini. Zato mi bo študij matematike in še posebej geometrije v šoli dal še več znanja, ki ga bom kasneje uporabil v svojih prihodnjih poklicnih dejavnostih.

Bibliografija

1. Pavlova, L.V. Netradicionalni pristopi k poučevanju risanja: učbenik / L.V. Pavlova. - Nižni Novgorod: Založba NSTU, 2002. - 73 str.

2. Enciklopedični slovar mladega matematika / Komp. A.P. Savin. - M .: Pedagogika, 1985. - 352 str.

3.https://www.srops.ru/novosti_otrasli/2015_11_11_pervoe_zdanie_iz_grandioznogo_proekta_big_v_tayvane

4.https://www.votpusk.ru/country/dostoprim_info.asp?ID=16053

Dodatek 1

Vprašalnik za sošolce

1. Ali veste, kaj je uganka Tangram?

2. Kaj je "grški križ"?

3. Bi vas zanimalo, kaj je "Tangram"?

4. Bi vas zanimalo, kaj je "grški križ"?

Anketiranih je bilo 22 učencev 8. razreda. Rezultati: 22 učencev ne ve, kaj je »Tangram« in »Grški križ«. 20 študentov bi se zanimalo, kako uporabiti sestavljanko Tangram, sestavljeno iz sedmih ploščatih figur, da bi dobili bolj zapleteno figuro. Rezultati raziskave so povzeti v diagramu.

Dodatek 2

Elementi igre "Tangram" in geometrijske oblike

Preoblikovanje "grškega križa"

Geometrijski lik se imenuje ploščat, če vsi drobni deli lika pripadajo isti ravnini.

Primeri ravnih geometrijskih likov so: premica, segment, krog, različni mnogokotniki itd. Oblike kot so krogla, kocka, valj, piramida itd. niso ravne.

Na ravnini ločimo konveksne in nekonveksne figure.

Geometrijska figura se imenuje konveksna, če v celoti vsebuje segment, katerega konca sta kateri koli dve točki, ki pripadata figuri (slika 54).

Primeri konveksnih oblik so: krog, razni trikotniki, kvadrat. Točka, ravna črta, žarek, segment, ravnina se prav tako štejejo za konveksne figure.

Glavni geometrijski liki na ravnini sta točka in premica. Ti izrazi se pogosto uporabljajo tudi pri delu s predšolskimi otroki. Otroke je treba takoj naučiti prepoznati te figure, jih prikazati, razumeti in pravilno izvajati naloge.

Osnovne lastnosti točk in črt so razkrite v aksiomih:

1. Obstajajo točke, ki pripadajo in ne pripadajo premici.

2. Eno ravno črto lahko narišemo skozi dve različni točki.

3. Dve različni premici se ne sekata ali pa se sekata v eni točki.

Otroci se na primer med igro ali risanjem seznanijo s točko, segmentom, različnimi črtami, od njih ločijo ravno črto, krivuljo, lomljeno črto in se naučijo prepoznati nekatere njihove lastnosti.

1. "Katera cesta od gozda do hiše je krajša?" (Slika 55).

2. »Pujski živijo v hišah na bregovih reke. Ne znajo plavati. Kateri od pujsov gre lahko drug k drugemu na obisk?« (Slika 56).

Sklenjena črta deli ravnino na zunanjo in notranjo regijo. Otroci se zgodaj naučijo, kaj pomenita "noter" in "zunaj". Na primer, to se zgodi pri opravljanju naloge slikanja figure, to je njenega notranjega področja.

Geometrijske oblike, ki jih otroci zgodaj spoznajo (krog, kvadrat, trikotnik itd.), so sklenjene črte (meje oblik) s svojim notranjim predelom. Krožna obroba

je krog. Meja poligonov je lomljena črta, sestavljena iz segmentov. V geometriji imajo vsi ti pojmi definicije.

Odsek je del premice, ki ga sestavljajo vse točke te premice, ki ležijo med dvema danima točkama, ki ju imenujemo konca odseka.

Žarek (polpremica) je del premice, sestavljen iz vseh njegovih točk, ki ležijo na eni strani dane točke na njej (začetek žarka).

Kot je manjši del ravnine, ki ga omejujeta dva žarka, ki izhajata iz ene točke. Te žarke imenujemo stranice kota, njihova skupna točka pa je vrh kota (slika 59).

Krog lahko definiramo kot figuro, sestavljeno iz kroga in njegovega notranjega območja.

krog je množica točk na ravnini, enako oddaljenih od dane točke. To točko O imenujemo središče kroga, dano razdaljo R pa njegov polmer (slika 64).

V vrtcu se otroci seznanijo tudi z ovalom (»figura, ki je podobna krogu, ker nima vogalov in stranic, vendar se od kroga razlikuje po svoji raztegnjenosti«). V geometriji se tak izraz ne upošteva, preučuje pa se elipsa. Zaradi zapletenosti konstrukcije ga ni priporočljivo ponujati otrokom. Ker se besede "oval", "predmet ovalne oblike" pogosto uporabljajo v vsakdanjem življenju, je znanje o ovalu potrebno za otroke kot element senzorične vzgoje in razvoja govora.

Poligoni

Poligon- del ravnine, ki ga omejuje preprosta zaprta lomljena črta. Vezi mnogokotnika se imenujejo stranice mnogokotnika, oglišča pa imenujemo oglišča mnogokotnika. Meja mnogokotnika (preprosta sklenjena poličrta) se imenuje tudi poligon.

Pri delu s predšolskimi otroki se običajno upoštevajo modeli figur iz kartona, plastike ali lesa, ponujajo se naloge za risanje mnogokotnikov s šablonami in obrisi ter slikanje figur. V procesu te dejavnosti se otroci seznanijo z imeni figur, njihovo strukturo in nekaterimi lastnostmi, uporabljajo izraze, kot so: rob figure, notranja regija figure itd.

Konveksni mnogokotnik leži v eni polravnini glede na poljubno premico, ki vsebuje njegovo stranico (slika 65).

domov » Šola » Osnovni geometrijski liki na ravnini. Njihove lastnosti