Osrednji kot- je kot, ki ga tvorita dva polmera krog. Primer središčnega kota je kot AOB, BOC, COE itd.

O osrednji kot in lok sklenjenih med njenimi strankami naj bi bili dopisovati drug drugemu.

1. če središčni koti loki so enaki.

2. če središčni koti niso enaki, potem večji od njih ustreza večjemu lok.

Naj bosta AOB in COD dva osrednji koti, enako ali neenako. Zasukajmo sektor AOB okoli središča v smeri puščice, tako da polmer OA sovpada z OC. Potem, če sta središčna kota enaka, bo polmer OA sovpadal z OD in lok AB z lokom CD. .

To pomeni, da bodo ti loki enaki.

če središčni koti niso enaki, potem polmer OB ne bo šel vzdolž OD, ampak v neko drugo smer, na primer vzdolž OE ali OF. V obeh primerih večji kot očitno ustreza večjemu loku.

Izrek, ki smo ga dokazali za en krog, ostaja resničen enake kroge, saj se takšni krogi med seboj ne razlikujejo v ničemer, razen v položaju.

Povratne ponudbe bo tudi res . V enem krogu ali v enakih krogih:

1. če loki enaki, potem njuni ustrezni središčni koti so enaki.

2. če loki niso enaki, potem večji od njih ustreza večjemu središčni kot.

V enem krogu ali v enakih krogih so središčni koti povezani kot ustrezni loki. Ali če parafraziramo, dobimo osrednji kot sorazmerno lok, ki mu ustreza.

Najprej razumejmo razliko med krogom in krogom. Da bi videli to razliko, je dovolj razmisliti, kaj sta obe številki. To je neskončno število točk na ravnini, ki se nahajajo na enaki razdalji od ene same središčne točke. Če pa je krog sestavljen tudi iz notranjega prostora, potem ne pripada krogu. Izkaže se, da je krog tako krog, ki ga omejuje (krog(r)), kot nešteto število točk, ki so znotraj kroga.

Za vsako točko L, ki leži na krožnici, velja enakost OL=R. (Dolžina odseka OL je enaka polmeru kroga).

Odsek, ki povezuje dve točki na krožnici, je njen akord.

Tetiva, ki poteka neposredno skozi središče kroga, je premer ta krog (D). Premer lahko izračunate po formuli: D=2R

Obseg izračunano po formuli: C=2\pi R

Območje kroga: S=\pi R^(2)

Krožni lok se imenuje tisti njen del, ki se nahaja med njenima dvema točkama. Ti dve točki določata dva loka kroga. Tetiva CD zajema dva loka: CMD in CLD. Enake tetive segajo v enake loke.

Osrednji kot Imenuje se kot, ki leži med dvema polmeroma.

Dolžina loka lahko najdete s formulo:

1. Uporaba stopinjske mere: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Uporaba radianske mere: CD = \alpha R

Premer, ki je pravokoten na tetivo, deli tetivo in z njo skrčene loke na pol.

Če se tetivi AB in CD kroga sekata v točki N, so produkti odsekov tetiv, ki jih ločuje točka N, med seboj enaki.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Tangenta na krožnico

Tangenta na krožnico Običajno imenujemo ravno črto, ki ima eno skupno točko s krogom.

Če ima premica dve skupni točki, se imenuje sekant.

Če polmer narišete na tangento, bo ta pravokoten na tangento kroga.

Iz te točke na našo krožnico potegnemo dve tangenti. Izkazalo se je, da bodo tangentni segmenti enaki drug drugemu, središče kroga pa bo na simetrali kota z vrhom na tej točki.

AC = CB

Zdaj pa iz naše točke narišimo tangento in sekanto na krožnico. Dobimo, da bo kvadrat dolžine tangentnega segmenta enak zmnožku celotnega segmenta sekante in njegovega zunanjega dela.

AC^(2) = CD \cdot BC

Lahko sklepamo: zmnožek celotnega odseka prvega sekanta in njegovega zunanjega dela je enak zmnožku celotnega odseka drugega sekanta in njegovega zunanjega dela.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Koti v krogu

Stopinjski meri središčnega kota in loka, na katerem leži, sta enaki.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Včrtani kot je kot, katerega vrh je na krožnici in njegove stranice vsebujejo tetive.

Izračunate ga lahko, če poznate velikost loka, saj je enaka polovici tega loka.

\kot AOB = 2 \kot ADB

Na podlagi premera, včrtanega kota, pravega kota.

\kot CBD = \kot CED = \kot CAD = 90^ (\circ)

Včrtani koti, ki segajo v isti lok, so enaki.

Včrtana kota, ki ležita na eni tetivi, sta enaka ali pa je njuna vsota enaka 180^ (\circ) .

\kot ADB + \kot AKB = 180^ (\circ)

\kot ADB = \kot AEB = \kot AFB

Na istem krogu so oglišča trikotnikov z enakimi koti in dano osnovo.

Kot z ogliščem znotraj kroga, ki se nahaja med dvema tetivama, je enak polovici vsote kotnih vrednosti lokov kroga, ki so v danem in navpičnem kotu.

\kot DMC = \kot ADM + \kot DAM = \frac(1)(2) \levo (\skodelica DmC + \skodelica AlB \desno)

Kot z vrhom zunaj kroga in se nahaja med dvema sekantima je enak polovici razlike v kotnih vrednostih lokov kroga, ki so v kotu.

\kot M = \kot CBD - \kot ACB = \frac(1)(2) \levo (\skodelica DmC - \skodelica AlB \desno)

Včrtana krožnica

Včrtana krožnica je krog, ki se dotika stranic mnogokotnika.

V točki, kjer se sekata simetrala vogalov mnogokotnika, je njegovo središče.

Krog ne sme biti včrtan v vsak mnogokotnik.

Območje mnogokotnika z včrtanim krogom najdemo po formuli:

S = pr,

p je polobod mnogokotnika,

r je polmer včrtane krožnice.

Iz tega sledi, da je polmer včrtanega kroga enak:

r = \frac(S)(p)

Vsoti dolžin nasprotnih stranic bosta enaki, če je krog vpisan v konveksni štirikotnik. In obratno: krog se prilega konveksnemu štirikotniku, če sta vsoti dolžin nasprotnih stranic enaki.

AB + DC = AD + BC

V katerikoli trikotnik je možno vpisati krog. Samo enega samega. V točki, kjer se sekata simetrali notranjih kotov lika, bo središče tega včrtanega kroga.

Polmer včrtanega kroga izračunamo po formuli:

r = \frac(S)(p),

kjer je p = \frac(a + b + c)(2)

Circumcircle

Če krog poteka skozi vsako oglišče mnogokotnika, potem se tak krog običajno imenuje opisano o mnogokotniku.

Na presečišču pravokotnih simetral stranic tega lika bo središče opisanega kroga.

Polmer lahko najdete tako, da ga izračunate kot polmer kroga, ki je opisan okoli trikotnika, ki ga določajo katera koli 3 oglišča mnogokotnika.

Obstaja naslednji pogoj: okoli štirikotnika lahko opišemo krog le, če je vsota njegovih nasprotnih kotov enaka 180^( \circ) .

\kot A + \kot C = \kot B + \kot D = 180^ (\circ)

Okrog katerega koli trikotnika lahko opišete krog in samo enega. Središče takšnega kroga bo na točki, kjer se sekajo pravokotne simetrale stranic trikotnika.

Polmer opisanega kroga lahko izračunamo po formulah:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

a, b, c so dolžine stranic trikotnika,

S je območje trikotnika.

Ptolomejev izrek

Nazadnje razmislite o Ptolemejevem izreku.

Ptolemejev izrek pravi, da je zmnožek diagonal enak vsoti zmnožkov nasprotnih strani cikličnega štirikotnika.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Kot ABC je včrtan kot. Leži na loku AC, zaprtem med njegovimi stranicami (slika 330).

Izrek. Včrtani kot se meri s polovico loka, na katero sega.

To je treba razumeti takole: včrtani kot vsebuje toliko kotnih stopinj, minut in sekund, kolikor ločnih stopinj, minut in sekund vsebuje polovica loka, na kateri sloni.

Pri dokazovanju tega izreka je treba upoštevati tri primere.

Prvi primer. Središče kroga leži na strani včrtanega kota (slika 331).

Naj bo ∠ABC včrtan kot in središče krožnice O leži na strani BC. Potrebno je dokazati, da se meri s pol loka AC.

Povežite točko A s središčem kroga. Dobimo enakokraki \(\Delta\)AOB, v katerem je AO = OB, kot polmere istega kroga. Zato je ∠A = ∠B.

∠AOC je zunaj trikotnika AOB, zato je ∠AOC = ∠A + ∠B, in ker sta kota A in B enaka, je ∠B 1/2 ∠AOC.

Toda ∠AOC se meri z lokom AC, zato se ∠B meri s polovico loka AC.

Na primer, če \(\breve(AC)\) vsebuje 60°18', potem ∠B vsebuje 30°9'.

Drugi primer. Središče kroga leži med stranicama včrtanega kota (slika 332).

Naj bo ∠ABD včrtan kot. Središče kroga O leži med stranicama. Dokazati moramo, da se ∠ABD meri s polovico loka AD.

Da bi to dokazali, narišimo premer BC. Kot ABD je razdeljen na dva kota: ∠1 in ∠2.

∠1 se meri s polovico loka AC, ∠2 pa s polovico loka CD, zato se celoten ∠ABD meri z 1 / 2 \(\breve(AC)\) + 1 / 2 \(\breve (CD)\), tj. pol loka AD.

Na primer, če \(\breve(AD)\) vsebuje 124°, potem ∠B vsebuje 62°.

Tretji primer. Središče kroga leži zunaj včrtanega kota (slika 333).

Naj bo ∠MAD včrtan kot. Središče kroga O je zunaj vogala. Dokazati moramo, da se ∠MAD meri s polovico loka MD.

Da bi to dokazali, narišimo premer AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Toda ∠MAB meri 1 / 2 \(\breve(MB)\), ∠DAB pa meri 1 / 2 \(\breve(DB)\).

Zato ∠MAD meri 1/2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\, tj. 1/2 \(\breve(MD)\).

Na primer, če \(\breve(MD)\) vsebuje 48° 38", potem ∠MAD vsebuje 24° 19' 8".

Posledice
1. Vsi včrtani koti, ki segajo v isti lok, so med seboj enaki, saj se merijo s polovico istega loka. (Slika 334, a).

2. Včrtan kot, ki ga sestavlja premer, je pravi kot, saj se nahaja na polovici kroga. Pol kroga vsebuje 180 ločnih stopinj, kar pomeni, da kot, ki temelji na premeru, vsebuje 90 ločnih stopinj (slika 334, b).

Srednja stopnja

Krožnica in včrtan kot. Vizualni vodnik (2019)

Osnovni pojmi.

Kako dobro se spomnite vseh imen, povezanih s krogom? Za vsak slučaj naj vas spomnimo – poglejte slike – osvežite znanje.

No, najprej - Središče kroga je točka, od katere so razdalje od vseh točk kroga enake.

Drugič - polmer - daljica, ki povezuje središče in točko na krogu.

Polmerov je veliko (kolikor je točk na krožnici), vendar Vsi polmeri imajo enako dolžino.

Včasih na kratko polmer točno temu pravijo dolžina segmenta"središče je točka na krogu," in ne segment sam.

In tukaj se zgodi če povežete dve točki na krožnici? Tudi segment?

Torej, ta segment se imenuje "akord".

Tako kot v primeru polmera je premer pogosto dolžina segmenta, ki povezuje dve točki na krogu in poteka skozi središče. Mimogrede, kako sta povezana premer in polmer? Pazljivo poglejte. seveda polmer je enak polovici premera.

Poleg akordov še sekante.

Se spomnite najpreprostejše stvari?

Središčni kot je kot med dvema polmeroma.

In zdaj - včrtani kot

Včrtani kot - kot med dvema tetivama, ki se sekata v točki na krožnici.

V tem primeru pravijo, da včrtani kot leži na loku (ali na tetivi).

Poglej sliko:

Meritve lokov in kotov.

Obseg. Loki in koti se merijo v stopinjah in radianih. Najprej o stopinjah. Za kote ni težav - naučiti se morate meriti lok v stopinjah.

Stopinjska mera (velikost loka) je vrednost (v stopinjah) ustreznega središčnega kota

Kaj tukaj pomeni beseda "primerno"? Pazljivo poglejmo:

Ali vidite dva loka in dva osrednja kota? No, večji lok ustreza večjemu kotu (in prav je, da je večji), manjši lok pa manjšemu kotu.

Torej smo se strinjali: lok vsebuje enako število stopinj kot pripadajoči središčni kot.

In zdaj o strašnem - o radianih!

Kakšna zver je ta "radian"?

Predstavljajte si: Radiani so način merjenja kotov... v radijih!

Radianski kot je središčni kot, katerega ločna dolžina je enaka polmeru kroga.

Potem se pojavi vprašanje - koliko radianov je v ravnem kotu?

Z drugimi besedami: koliko radijev se "prilega" v pol kroga? Ali drugače: kolikokrat je dolžina polovice kroga večja od polmera?

Znanstveniki so to vprašanje postavili že v stari Grčiji.

In tako so po dolgem iskanju ugotovili, da se razmerje med obsegom in polmerom noče izraziti v “človeških” številkah, kot je itd.

In tega odnosa sploh ni mogoče izraziti skozi korenine. Se pravi, izkaže se, da je nemogoče reči, da je polovica kroga krat ali krat večja od polmera! Si lahko predstavljate, kako presenetljivo je bilo za ljudi, da so to odkrili prvič?! Za razmerje med dolžino polkroga in polmerom "normalne" številke niso bile dovolj. Moral sem vnesti črko.

Torej, - to je število, ki izraža razmerje med dolžino polkroga in polmerom.

Zdaj lahko odgovorimo na vprašanje: koliko radianov je v ravnem kotu? Vsebuje radiane. Prav zato, ker je polovica kroga krat večja od polmera.

Starodavni (in manj starodavni) ljudje skozi stoletja (!) poskušal natančneje izračunati to skrivnostno število, ga bolje izraziti (vsaj približno) skozi »navadna« števila. In zdaj smo neverjetno leni - dva znaka po napornem dnevu sta nam dovolj, navajeni smo

Pomislite, to na primer pomeni, da je dolžina kroga s polmerom ena približno enaka, toda to natančno dolžino preprosto ni mogoče zapisati s "človeško" številko - potrebujete črko. In potem bo ta obseg enak. In seveda, obseg polmera je enak.

Vrnimo se k radianom.

Ugotovili smo že, da ravni kot vsebuje radiane.

Kaj imamo:

To pomeni, da sem vesel, se pravi, vesel sem. Na enak način dobimo ploščo z najbolj priljubljenimi koti.

Razmerje med vrednostmi vpisanih in središčnih kotov.

Obstaja neverjetno dejstvo:

Včrtani kot je polovica velikosti ustreznega središčnega kota.

Poglejte, kako je ta izjava videti na sliki. »Ustrezen« središčni kot je tisti, katerega konci sovpadajo s koncema včrtanega kota, oglišče pa je v središču. In hkrati mora "ustrezni" osrednji kot "gledati" na isto tetivo () kot včrtani kot.

Zakaj je temu tako? Poglejmo si najprej preprost primer. Naj ena od tetiv poteka skozi sredino. Včasih se zgodi tako, kajne?

Kaj se zgodi tukaj? Razmislimo. Je enakokrak - navsezadnje in - polmeri. Torej (jih je označil).

Zdaj pa poglejmo. To je zunanji kotiček za! Spomnimo se, da je zunanji kot enak vsoti dveh notranjih kotov, ki mu ne mejita, in zapišemo:

To je! Nepričakovan učinek. Obstaja pa tudi središčni kot za vpisano.

To pomeni, da so za ta primer dokazali, da je središčni kot dvakrat večji od včrtanega kota. Toda to je boleče poseben primer: ali ni res, da tetiva ne gre vedno naravnost skozi središče? Ampak nič hudega, zdaj nam bo ta konkreten primer zelo pomagal. Poglejte: drugi primer: središče naj leži znotraj.

Naredimo tole: narišite premer. In potem ... vidimo dve sliki, ki sta bili analizirani že v prvem primeru. Torej to že imamo

To pomeni (na risbi a)

No, ostane še zadnji primer: središče je zunaj vogala.

Naredimo isto stvar: narišemo premer skozi točko. Vse je enako, a namesto vsote je razlika.

To je to!

Iz trditve, da je včrtani kot polovica središčnega kota, oblikujmo zdaj dve glavni in zelo pomembni posledici.

Posledica 1

Vsi včrtani koti, ki temeljijo na enem loku, so med seboj enaki.

Ponazarjamo:

Obstaja nešteto včrtanih kotov, ki temeljijo na istem loku (imamo ta lok), morda so videti popolnoma drugače, vendar imajo vsi enak središčni kot (), kar pomeni, da so vsi ti včrtani koti med seboj enaki.

Posledica 2

Kot, ki ga zajema premer, je pravi kot.

Poglejte: kateri kot je v središču?

Vsekakor,. Ampak on je enak! No, torej (kot tudi veliko več včrtanih kotov, ki počivajo na) in je enako.

Kot med dvema tetivama in sekante

Kaj pa, če kot, ki nas zanima, NI včrtan in NI osrednji, ampak na primer tak:

ali takole?

Ali je to mogoče nekako izraziti skozi neke sredinske kote? Izkazalo se je, da je to mogoče. Poglejte: zanima nas.

a) (kot zunanji vogal za). Toda - vpisan, počiva na loku -. - vpisana, počiva na loku - .

Za lepoto pravijo:

Kot med tetivama je enak polovici vsote kotnih vrednosti lokov, zaprtih v tem kotu.

To pišejo zaradi kratkosti, seveda pa morate pri uporabi te formule upoštevati središčne kote

b) In zdaj - "zunaj"! Kako je to mogoče? Da, skoraj enako! Šele zdaj (spet uporabimo lastnost zunanjega kota za). To je zdaj.

In to pomeni... Vnesite lepoto in jedrnatost v opombe in besedilo:

Kot med sekanti je enak polovici razlike v kotnih vrednostih lokov, zaprtih v tem kotu.

No, zdaj ste oboroženi z vsem osnovnim znanjem o kotih, povezanih s krogom. Pojdi naprej, sprejmi izzive!

KROG IN VKROBLJENI KOT. SREDNJA NIVO

Tudi petletni otrok ve, kaj je krog, kajne? Matematiki imajo, kot vedno, nejasno definicijo o tej zadevi, vendar je ne bomo podali (glej), ampak se spomnimo, kako se imenujejo točke, črte in koti, povezani s krogom.

Pomembni pogoji

No, najprej:

Drugič:

Obstaja še en sprejet izraz: "tetiva skrči lok." Tukaj na sliki, na primer, tetiva pokriva lok. In če tetiva nenadoma prehaja skozi središče, potem ima posebno ime: "premer".

Mimogrede, kako sta povezana premer in polmer? Pazljivo poglejte. seveda

In zdaj - imena za vogale.

Naravno, kajne? Stranice kota segajo iz središča - kar pomeni, da je kot središčen.

Tu se včasih pojavijo težave. Bodite pozorni - NOBEN kot znotraj kroga ni vpisan, ampak samo tisti, katerega vrh "sedi" na samem krogu.

Poglejmo razliko na slikah:

Drugače pravijo:

Tukaj je ena težavna točka. Kaj je »ustrezen« ali »lasten« središčni kot? Samo kot z ogliščem v središču kroga in konci na koncih loka? res ne. Poglej risbo.

Eden od njih pa niti ne izgleda kot vogal - večji je. Toda trikotnik ne more imeti več kotov, krog pa lahko! Torej: manjši lok AB ustreza manjšemu kotu (oranžno), večji lok pa večjemu. Kar tako, kajne?

Razmerje med velikostmi včrtanega in središčnega kota

Zapomnite si to zelo pomembno izjavo:

V učbenikih to isto dejstvo radi zapišejo takole:

Ali ni res, da je formulacija enostavnejša s središčnim kotom?

A vseeno poiščimo ujemanje med obema formulacijama in se hkrati naučimo najti na risbah »ustrezen« osrednji kot in lok, na katerem »sloni« včrtani kot.

Poglejte: tukaj sta krog in včrtan kot:

Kje je njegov "ustrezni" središčni kot?

Poglejmo še enkrat:

Kakšno je pravilo?

Ampak! V tem primeru je pomembno, da vpisani in osrednji kot "gledata" na lok z ene strani. Tukaj, na primer:

Nenavadno, modra! Ker je lok dolg, daljši od polovice kroga! Zato se nikoli ne zmedite!

Kakšno posledico lahko razberemo iz »polovičnosti« včrtanega kota?

Toda na primer:

Kot s premerom

Ste že opazili, da matematiki radi govorijo o isti stvari z različnimi besedami? Zakaj jim je to treba? Vidite, jezik matematike, čeprav je formalen, je živ in zato, kot v običajnem jeziku, vsakič, ko ga želite povedati na način, ki je bolj udoben. No, videli smo že, kaj pomeni "kot počiva na loku". In predstavljajte si, ista slika se imenuje "kot počiva na tetivi." kateri? Ja, seveda, tistemu, ki ta lok zategne!

Kdaj je primerneje zanašati se na tetivo kot na lok?

No, še posebej, ko je ta tetiva premer.

Za takšno situacijo obstaja presenetljivo preprosta, lepa in uporabna izjava!

Poglejte: tukaj je krog, premer in kot, ki leži na njem.

KROG IN VKROBLJENI KOT. NA KRATKO O GLAVNEM

1. Osnovni pojmi.

3. Meritve lokov in kotov.

Radianski kot je središčni kot, katerega ločna dolžina je enaka polmeru kroga.

To je število, ki izraža razmerje med dolžino polkroga in njegovim polmerom.

Obseg polmera je enak.

4. Razmerje med vrednostmi vpisanih in osrednjih kotov.

To je kot, ki ga tvorita dva akordi, ki izvira iz ene točke na krogu. Včrtani kot se imenuje počiva na loku, zaprtem med njegovimi stranicami.

Včrtani kot enaka polovici loka, na katerem sloni.

Z drugimi besedami, vpisan kot vključuje toliko kotnih stopinj, minut in sekund ločnih stopinj, minute in sekunde so v polovici loka, na katerem leži. Da bi to utemeljili, analizirajmo tri primere:

Prvi primer:

Središče O se nahaja ob strani vpisan kot ABC. Če narišemo polmer AO, dobimo ΔABO, v njem pa OA = OB (kot polmeri) in v skladu s tem ∠ABO = ∠BAO. V zvezi s tem trikotnik, kot AOC - zunanji. In to pomeni, da je enak vsoti kotov ABO in BAO ali enak dvojnemu kotu ABO. Torej je ∠ABO enako polovici središčni kot AOC. Toda ta kot se meri z lokom AC. To pomeni, da se včrtani kot ABC meri s polovico loka AC.

Drugi primer:

Središče O se nahaja med stranicama vpisan kot Ko narišemo premer BD, razdelimo kot ABC na dva kota, od katerih je v prvem primeru eden merjen na polovico. loki AD, druga polovica loka pa CD. In v skladu s tem se izmeri kot ABC (AD+DC) /2, tj. 1/2 AC.

Tretji primer:

Center O se nahaja zunaj vpisan kot ABC. Če narišemo premer BD, bomo imeli:∠ABC = ∠ABD - ∠CBD . Toda kota ABD in CBD sta izmerjena na podlagi predhodno poravnane polovice lok AD in CD. In ker se ∠ABC meri z (AD-CD)/2, to je polovica loka AC.

Posledica 1. Vsi, ki temeljijo na istem loku, so enaki, to je enaki drug drugemu. Ker se vsak od njih meri s polovico enakega loki .

Posledica 2. Včrtani kot, glede na premer - pravi kot. Ker se vsak tak kot meri s polovico polkroga in zato vsebuje 90 °.

domov » Urgenca, BP in drugi podobni » Kako najti včrtan kot. Središčni in včrtani koti