Razdalja od točke do premice je pravilo. Najenostavnejši problemi s premico na ravnini
Za izračun razdalje od dane točke M do ravne črte L lahko uporabite različne metode. Na primer, če vzamemo poljubno točko M 0 na premici L, potem lahko določimo pravokotna projekcija vektorja M 0 M na smer vektorja normale premice. Ta projekcija, do znaka, je zahtevana razdalja.
Drug način za izračun razdalje od točke do črte temelji na uporabi normalna enačba premice. Naj bo premica L podana z normalno enačbo (4.23). Če točka M(x; y) ne leži na premici L, potem je pravokotna projekcija pr n OM radijski vektor točki M na smer enotske normale n premice L enaka skalarnemu produktu vektorjev OM in n, tj. x cosφ + y sinφ. Ista projekcija je enaka vsoti razdalje p od izhodišča do premice in določene vrednosti δ (slika 4.10). Absolutna vrednost δ je enaka razdalji od točke M do premice. Poleg tega je δ > 0, če se točki M in O nahajata na nasprotnih straneh premice, δ pa je odstopanje točke M od premice.
Odklon δ za točko M(x; y) od premice L se izračuna kot razlika med projekcijo pr n OM in razdaljo p od izhodišča do premice (glej sliko 4.10), tj. δ = x cosφ + y sinφ - p.
S to formulo lahko dobite tudi razdaljo p(M, L) od točke M(x; y) do premice L, podano z normalno enačbo: p(M, L) = |δ | = |x cosφ + y sinφ - p|.
2 Seštevek dveh sosednjih kotov znaša 180°
Ob upoštevanju zgornjega postopka pretvorbe splošna enačba premice v njeno normalno enačbo dobimo formulo za razdaljo od točke M(x; y) do premice L, ki jo poda njena splošna enačba:
Primer 4.8. Poiščimo splošne enačbe za višino AH, mediano AM in simetralo AD trikotnika ABC, ki izhajajo iz oglišča A. Koordinate oglišč trikotnika A(-1;- 3), B(7; 3), C (1;7) so znani.
Najprej pojasnimo pogoj primera: z navedenimi enačbami razumemo enačbe premic L AH, L AM in L AD, na katerih ležijo višina AH, mediana AM in simetrala AD navedenega trikotnika. , oziroma (slika 4.11).
Za iskanje enačbe premice L AM uporabimo dejstvo, da mediana deli nasprotno stranico trikotnika na pol. Ko najdemo koordinate (x 1 ; y 1) sredine stranice BC x 1 = (7 + 1)/2 = 4, y 1 = (3 + 7)/2 = 5, zapišemo enačbo za L AM v obliki enačbe premice, ki poteka skozi dve točki,(x + 1)/(4 + 1) = (y + 3)/(5 + 3). Po transformacijah dobimo splošno enačbo mediane 8x - 5y - 7 = 0./p>
Za iskanje enačbe za višino L AH uporabimo dejstvo, da je višina pravokotna na nasprotno stranico trikotnika. Zato je vektor BC pravokoten na višino AH in ga lahko izberemo kot normalni vektor premice L AH. Enačbo te premice dobimo iz (4.15), pri čemer nadomestimo koordinate točke A in normalni vektor premice L AH:
(-6)(x + 1) + 4(y + 3) = 0.
Po transformacijah dobimo splošno višinsko enačbo 3x - 2y - 3 = 0.
Za iskanje enačbe simetrale L AD uporabimo dejstvo, da simetrala AD pripada množici tistih točk N(x; y), ki so enako oddaljene od premic L AB in L AC. Enačba te množice ima obliko
P(N, L AB) = P(N, L AC), (4.28)
in določa dve premici, ki potekata skozi točko A in delita kota med premicama L AB in L AC na pol. Z enačbo premice, ki poteka skozi dve točki, najdemo splošni enačbi premic L AB in L AC:
L AB: (x + 1)/(7 + 1) = (y + 3)/(3 + 3), L AC: (x + 1)/(1 + 1) = (y + 3)/(7 + 3)
Po transformacijah dobimo L AB: 3x - 4y - 9 = 0, L AC: 5x - y + 2 = 0. Enačbo (4.28) zapišemo s formulo (4.27), da izračunamo razdaljo od točke do premice v obliki
Preoblikujemo ga z razširitvijo modulov:
Kot rezultat dobimo splošne enačbe dveh premic
(3 ± 25/√26)x + (-4 ± 5/√26)y + (-9 ± 10/√26) = 0
Da bi iz njih izbrali simetralno enačbo, upoštevamo, da se oglišči B in C trikotnika nahajata na nasprotnih straneh želene premice, zato bi morala zamenjava njunih koordinat v levo stran splošne enačbe premice L AD dajte vrednosti z različnimi predznaki. Izberemo enačbo, ki ustreza zgornjemu predznaku, tj.
(3 - 25/√26)x + (-4 + 5/√26)y + (-9 - 10/√26) = 0
Zamenjava koordinat točke B na levo stran te enačbe daje negativno vrednost, saj
(3 - 25/√26)7 + (-4 + 5/√26)3 + (-9 - 10/√26) = 21 - 12 - 9 + (-175 + 15 - 10)/√26 = -170/√26
in enak znak dobimo za koordinate točke C, saj
(3 - 25/√26)1 + (-4 + 5/√26)7 + (-9 - 10/√26) = 3 - 28 - 9 + (-25 + 35 - 10)/√26 = -34
Posledično se oglišči B in C nahajata na isti strani premice z izbrano enačbo, zato je enačba simetrale
(3 + 25/√26)x + (-4 - 5/√26)y + (-9 + 10/√26) = 0.
Formula za izračun razdalje od točke do premice na ravnini
Če je podana enačba premice Ax + By + C = 0, je razdaljo od točke M(M x , M y) do premice mogoče najti z naslednjo formulo
Primeri nalog za računanje razdalje od točke do premice na ravnini
Primer 1.
Poiščite razdaljo med premico 3x + 4y - 6 = 0 in točko M(-1, 3).
rešitev. V formulo nadomestimo koeficiente premice in koordinate točke
odgovor: razdalja od točke do premice je 0,6.
enačba ravnine, ki poteka skozi točke, pravokotne na vektor Splošna enačba ravnine
Imenuje se neničelni vektor, pravokoten na dano ravnino normalni vektor (ali na kratko, normalno ) za to letalo.
Naj bo v koordinatnem prostoru (v pravokotnem koordinatnem sistemu) podano naslednje:
a) točka 
;
b) neničelni vektor (slika 4.8, a).
Ustvariti morate enačbo za ravnino, ki poteka skozi točko 
pravokotno na vektor Konec dokaza.
Oglejmo si zdaj različne vrste enačb premice na ravnini.
1) Splošna enačba ravninep .
Iz izpeljave enačbe sledi, da hkrati A, B in C niso enaki 0 (pojasnite zakaj).
Točka pripada ravnini p le, če njene koordinate zadoščajo enačbi ravnine. Odvisno od kvot A, B, C in D letalo p zaseda eno ali drugo mesto:
- ravnina poteka skozi izhodišče koordinatnega sistema, - ravnina ne poteka skozi izhodišče koordinatnega sistema,
- ravnina, vzporedna z osjo X,
X,
- ravnina, vzporedna z osjo Y,
- ravnina ni vzporedna z osjo Y,
- ravnina, vzporedna z osjo Z,
- ravnina ni vzporedna z osjo Z.
Dokažite te trditve sami.
Enačbo (6) zlahka izpeljemo iz enačbe (5). Res, naj leži točka na ravnini p. Nato njegove koordinate zadoščajo enačbi. Če od enačbe (5) odštejemo enačbo (7) in združimo člene, dobimo enačbo (6). Oglejmo si zdaj dva vektorja s koordinatami. Iz formule (6) sledi, da je njihov skalarni produkt enak nič. Zato je vektor pravokoten na vektor v točkah, ki pripadajo ravnini p. Zato je vektor pravokoten na ravnino p. Razdalja od točke do ravnine p, katere splošna enačba 
določeno s formulo 
Dokaz te formule je popolnoma podoben dokazu formule za razdaljo med točko in premico (glej sliko 2). 
riž. 2. Izpeljati formulo za razdaljo med ravnino in premico.
Res, razdalja d med premico in ravnino enaka
kje na ravnini leži točka. Od tod, kot v predavanju št. 11, dobimo zgornjo formulo. Dve ravnini sta vzporedni, če sta njuna normalna vektorja vzporedna. Od tu dobimo pogoj za vzporednost dveh ravnin 
- koeficienti splošnih enačb ravnin. Dve ravnini sta pravokotni, če sta njuni normalni vektorji pravokotni, zato dobimo pogoj za pravokotnost dveh ravnin, če so znane njune splošne enačbe
Kotiček f med dvema ravninama je enak kotu med njunima normalnima vektorjema (glej sliko 3) in se zato lahko izračuna z uporabo formule 
Določanje kota med ravninama.
(11)
Razdalja od točke do ravnine in metode za njeno iskanje
Razdalja od točke do 
letalo– dolžina navpičnice, spuščene iz točke na to ravnino. Obstajata vsaj dva načina za iskanje razdalje od točke do ravnine: geometrijski in algebrski.
Z geometrijsko metodo Najprej morate razumeti, kako se nahaja pravokotnica iz točke na ravnino: morda leži v kakšni priročni ravnini, je višina v kakšnem priročnem (ali ne tako priročnem) trikotniku ali pa je morda ta pravokotnica na splošno višina v neki piramidi.
Po tej prvi in najkompleksnejši stopnji se problem razdeli na več specifičnih planimetričnih nalog (morda v različnih ravninah).
Z algebraično metodo da bi našli razdaljo od točke do ravnine, morate vnesti koordinatni sistem, poiskati koordinate točke in enačbo ravnine ter nato uporabiti formulo za razdaljo od točke do ravnine.
Razdalja od točke do premice je dolžina navpičnice, narisane iz točke na premico. V opisni geometriji se določi grafično z uporabo spodaj podanega algoritma.
Algoritem
- Premica se premakne v položaj, v katerem bo vzporedna s katero koli projekcijsko ravnino. V ta namen se uporabljajo metode preoblikovanja ortogonalnih projekcij.
- Iz točke je potegnjena navpičnica na premico. Ta konstrukcija temelji na izreku o projekciji pravega kota.
- Dolžino navpičnice določimo s transformacijo njenih projekcij ali z uporabo metode pravokotnega trikotnika.
Naslednja slika prikazuje kompleksno risbo točke M in premice b, ki ju določa odsek CD. Morate najti razdaljo med njimi.
Po našem algoritmu je treba najprej premakniti premico v položaj, ki je vzporeden s projekcijsko ravnino. Pomembno je razumeti, da se po opravljenih transformacijah dejanska razdalja med točko in črto ne sme spremeniti. Zato je tukaj priročno uporabiti metodo zamenjave ravnine, ki ne vključuje premikanja figur v prostoru.
Rezultati prve faze gradnje so prikazani spodaj. Slika prikazuje, kako se uvede dodatna čelna ravnina P 4 vzporedno z b. V novem sistemu (P 1, P 4) so točke C"" 1, D"" 1, M"" 1 na enaki razdalji od osi X 1 kot C"", D"", M"" od os X.
Pri izvajanju drugega dela algoritma iz M"" 1 spustimo navpičnico M"" 1 N"" 1 na ravno črto b"" 1, saj je pravi kot MND med b in MN projiciran na ravnino P 4 v polni velikosti. S komunikacijsko linijo določimo položaj točke N" in izvedemo projekcijo M"N" segmenta MN.
Na zadnji stopnji morate določiti velikost segmenta MN iz njegovih projekcij M"N" in M"" 1 N"" 1. Da bi to naredili, sestavimo pravokotni trikotnik M"" 1 N"" 1 N 0, katerega krak N"" 1 N 0 je enak razliki (Y M 1 – Y N 1) razdalje točk M" in N" od osi X 1. Dolžina hipotenuze M"" 1 N 0 trikotnika M"" 1 N"" 1 N 0 ustreza želeni razdalji od M do b.
Druga rešitev
- Vzporedno s CD uvajamo novo čelno ravnino P 4. Seka P 1 vzdolž osi X 1 in X 1 ∥C"D". V skladu z načinom zamenjave ravnin določimo projekcije točk C"" 1, D"" 1 in M"" 1, kot je prikazano na sliki.
- Pravokotno na C"" 1 D"" 1 zgradimo dodatno vodoravno ravnino P 5, na katero premico b projiciramo v točko C" 2 = b" 2.
- Razdalja med točko M in črto b je določena z dolžino segmenta M" 2 C" 2, ki je označen z rdečo.
Podobne naloge:
155*. Določite naravno velikost segmenta AB ravne črte v splošnem položaju (slika 153, a).
rešitev. Kot je znano, je projekcija ravne črte na katero koli ravnino enaka samemu segmentu (ob upoštevanju merila risbe), če je vzporedna s to ravnino.
(Slika 153, b). Iz tega sledi, da je treba s preoblikovanjem risbe doseči vzporednost tega segmentnega kvadrata. V ali kvadrat H ali dopolni sistem V, H z drugo ravnino, pravokotno na kvadrat. V ali na pl. H in hkrati vzporedno s tem segmentom.
Na sl. 153, c prikazuje uvedbo dodatne ravnine S, pravokotne na kvadrat. H in vzporedna z danim segmentom AB.
Projekcija a s b s je enaka naravni vrednosti odseka AB.
Na sl. 153, d prikazuje drugo tehniko: segment AB se vrti okoli ravne črte, ki poteka skozi točko B in je pravokotna na kvadrat. H, v vzporedni položaj
pl. V. V tem primeru točka B ostane na svojem mestu, točka A pa zavzame nov položaj A 1. Obzorje je v novem položaju. projekcija a 1 b || x os Projekcija a" 1 b" je enaka naravni velikosti odseka AB.
156. Podana je piramida SABCD (slika 154). Določite dejansko velikost robov piramide AS in CS z metodo spreminjanja projekcijskih ravnin ter robov BS in DS z metodo vrtenja in vzemite os vrtenja pravokotno na kvadrat. H.
157*. Določite razdaljo od točke A do ravne črte BC (slika 155, a).
rešitev. Razdalja od točke do premice se meri s pravokotnim odsekom, narisanim od točke do premice.
Če je ravna črta pravokotna na katero koli ravnino (sl. 155.6), se razdalja od točke do ravne črte meri z razdaljo med projekcijo točke in točko projekcije ravne črte na to ravnino. Če ravna črta zavzema splošen položaj v sistemu V, H, potem je za določitev razdalje od točke do ravne črte s spreminjanjem projekcijskih ravnin potrebno v sistem V, H uvesti dve dodatni ravnini.
Najprej (slika 155, c) vnesemo kvadrat. S, vzporedna z odsekom BC (nova os S/H je vzporedna s projekcijo bc), in sestavimo projekciji b s c s in a s. Nato (slika 155, d) uvedemo še en kvadrat. T, pravokotna na premico BC (nova os T/S je pravokotna na b s s s). Konstruiramo projekciji premice in točke - s t (b t) in t. Razdalja med točkama a t in c t (b t) je enaka razdalji l od točke A do premice BC.
Na sl. 155, d, se ista naloga izvaja z metodo vrtenja v njeni obliki, ki se imenuje metoda vzporednega gibanja. Najprej premico BC in točko A, pri čemer ohranita njun relativni položaj nespremenjen, zasukamo okoli neke (na risbi ni prikazane) premice, pravokotne na kvadrat. H, tako da je premica BC vzporedna s kvadratom. V. To je enakovredno premikanju točk A, B, C v ravninah, vzporednih s kvadratom. H. Hkrati pa horizont. projekcija danega sistema (BC + A) se ne spremeni niti v velikosti niti v konfiguraciji, spremeni se le njegov položaj glede na os x. Postavimo obzorje. projekcijo premice BC vzporedno z osjo x (položaj b 1 c 1) in določite projekcijo a 1, pri čemer odložite c 1 1 1 = c-1 in a 1 1 1 = a-1 ter a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Če narišemo ravne črte b"b" 1 , a"a" 1 , c"c" 1 vzporedno z osjo x, na njih najdemo sprednjo stran. projekcije b" 1, a" 1, c" 1. Nato premaknemo točke B 1, C 1 in A 1 v ravninah, vzporednih z območjem V (tudi brez spreminjanja njunih relativnih položajev), tako da dobimo B 2 C 2 ⊥ kvadrat H. V tem primeru bo sprednja projekcija ravne črte nameščena pravokotno na os x,b 2 c" 2 = b" 1 c" 1 in za izdelavo projekcije a" 2 moramo vzeti b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1, narišite 2"a" 2 ⊥ b" 2 c" 2 in odložite a" 2 2" 2 = a" 1 2" 1 Zdaj pa risanje iz 1 z 2 in 1 a 2 x 1 dobimo projekciji b 2 c 2 in a 2 ter zahtevano razdaljo l od točke A do premice BC. Razdaljo od A do BC lahko določimo z vrtenjem ravnine, ki jo določata točka A in premica BC horizontalo te ravnine v položaj T ||, e).
V ravnini, določeni s točko A in premico BC, narišite vodoravno črto A-1 (slika 155, g) in zavrtite točko B okoli nje. R (določeno na risbi poleg R h), pravokotno na A-1; v točki O je središče vrtenja točke B. Sedaj določimo naravno vrednost polmera vrtenja VO (slika 155, c). V zahtevanem položaju, tj. ko pl. T, določen s točko A in premico BC, bo postal || pl. H, bo točka B na R h na razdalji Ob 1 od točke O (lahko je še en položaj na isti sledi R h, vendar na drugi strani O). Točka b 1 je obzorje. projekcija točke B po njenem premiku na položaj B 1 v prostoru, ko je ravnina, določena s točko A in premico BC, zavzela položaj T.
Če narišemo (sl. 155, i) ravno črto b 1 1, dobimo obzorje. projekcija premice BC, ki se že nahaja || pl. H je v isti ravnini kot A. V tem položaju je razdalja od a do b 1 1 enaka želeni razdalji l. Ravnino P, v kateri ležijo dani elementi, lahko kombiniramo s kvadratom. H (slika 155, j), obračalni kvadrat. R okoli nje je obzorje. sled. Če preidemo od določanja ravnine s točko A in premico BC do določanja ravnih črt BC in A-1 (slika 155, l), najdemo sledi teh ravnih črt in skozi njih narišemo sledi P ϑ in P h. Gradimo (slika 155, m) v kombinaciji s kvadratom. H položaj spredaj. sled - P ϑ0 .
Skozi točko a narišemo obzorje. čelna projekcija; kombinirana fronta poteka skozi točko 2 na sledu P h vzporedno s P ϑ0. Točka A 0 - v kombinaciji s kvadratom. H položaj točke A. Podobno najdemo točko B 0. Neposredno sonce v kombinaciji s kvadratom. Položaj H poteka skozi točko B 0 in točko m (vodoravna sled premice).
Razdalja od točke A 0 do premice B 0 C 0 je enaka želeni razdalji l.
Navedeno konstrukcijo lahko izvedete tako, da najdete samo eno sled P h (sl. 155, n in o). Celotna konstrukcija je podobna rotaciji okoli vodoravnice (glej sliko 155, g, c, i): sled P h je ena od vodoravnic pl. R.
Od metod za preoblikovanje risbe, danih za reševanje tega problema, je prednostna metoda rotacija okoli vodoravne ali čelne strani.
158. Podana je SABC piramida (slika 156). Določite razdalje:
a) z vrha B baze na njeno stran AC z metodo vzporednega gibanja;
b) od vrha S piramide do stranic BC in AB osnove z vrtenjem okoli vodoravnice;
c) z vrha S na stran AC osnove s spreminjanjem projekcijskih ravnin.
159. Podana je prizma (slika 157). Določite razdalje:
a) med rebri AD in CF s spreminjanjem projekcijskih ravnin;
b) med rebri BE in CF z rotacijo okoli čela;
c) med robovoma AD in BE z vzporednim premikanjem.
160. Določite dejansko velikost štirikotnika ABCD (slika 158) tako, da ga poravnate s kvadratom. N. Uporabite samo vodoravno sled ravnine.
161*. Določite razdaljo med križiščema ravnih črt AB in CD (slika 159, a) in zgradite projekcije skupne pravokotnice nanje.
rešitev. Razdalja med prečnimi črtami se meri z odsekom (MN), ki je pravokoten na obe črti (slika 159, b). Očitno, če je ena od ravnih črt postavljena pravokotno na kateri koli kvadrat. T, torej
odsek MN, pravokoten na obe premici, bo vzporeden s kvadratom. Njegova projekcija na to ravnino bo prikazala zahtevano razdaljo. Projekcija pravega kota menade MN n AB na kvadrat. Prav tako se izkaže, da je T pravi kot med m t n t in a t b t , saj je ena od stranic pravega kota AMN, in sicer MN. vzporedno s kvadratom T.
Na sl. 159, c in d, je zahtevana razdalja l določena z metodo spreminjanja projekcijskih ravnin. Najprej uvedemo dodaten kvadrat. projekciji S, pravokotni na kvadrat. H in vzporedno z ravno črto CD (slika 159, c). Nato uvedemo še en dodatni kvadrat. T, pravokotno na kvadrat. S in pravokotno na isto ravno črto CD (slika 159, d). Zdaj lahko sestavite projekcijo splošne navpičnice tako, da narišete m t n t iz točke c t (d t) pravokotno na projekcijo a t b t. Točki m t in n t sta projekciji presečišč te navpičnice s premicama AB in CD. S pomočjo točke m t (slika 159, e) najdemo m s na a s b s: projekcija m s n s mora biti vzporedna z osjo T/S. Nato iz m s in n s najdemo m in n na ab in cd, iz njiju pa m" in n" na a"b" in c"d".
Na sl. 159, c prikazuje rešitev tega problema z uporabo metode vzporednih gibov. Najprej postavimo premico CD vzporedno s kvadratom. V: projekcija c 1 d 1 || X. Nato premici CD in AB premaknemo iz položajev C 1 D 1 in A 1 B 1 v položaje C 2 B 2 in A 2 B 2 tako, da je C 2 D 2 pravokotna na H: projekcija c" 2 d" 2 ⊥ x. Odsek zahtevane navpičnice se nahaja || pl. H, zato m 2 n 2 izraža želeno razdaljo l med AB in CD. Poiščemo položaj projekcij m" 2 in n" 2 na a" 2 b" 2 in c" 2 d" 2, nato projekcije m 1 in m" 1, n 1 in n" 1, končno, projekcije m" in n", m in n.
162. Podana je SABC piramida (slika 160). Določi razdaljo med robom SB in stranico AC baze piramide in sestavi projekciji skupne navpičnice na SB in AC z metodo spreminjanja projekcijskih ravnin.
163. Podana je SABC piramida (slika 161). Določite razdaljo med robom SH in stranico BC baze piramide ter z metodo vzporednega zamika sestavite projekciji skupne navpičnice na SX in BC.
164*. Določite razdaljo od točke A do ravnine v primerih, ko je ravnina določena z: a) trikotnikom BCD (slika 162, a); b) sledi (slika 162, b).
rešitev. Kot veste, se razdalja od točke do ravnine meri z vrednostjo navpičnice, narisane iz točke na ravnino. Ta razdalja je projicirana na poljubno območje. projekcije v polni velikosti, če je ta ravnina pravokotna na kvadrat. projekcije (slika 162, c). To stanje je mogoče doseči s preoblikovanjem risbe, na primer s spreminjanjem območja. projekcije. Predstavimo pl. S (sl. 16c, d), pravokotno na kvadrat. trikotnik BCD. Da bi to naredili, preživimo na trgu. trikotnik vodoravno B-1 in postavite projekcijsko os S pravokotno na projekcijo b-1 vodoravno. Konstruiramo projekciji točke in ravnine - a s in odseka c s d s. Razdalja od a s do c s d s je enaka želeni razdalji l točke do ravnine.
V Rio. 162, d se uporablja metoda vzporednega gibanja. Celoten sistem premikamo, dokler vodoravna ravnina B-1 ne postane pravokotna na ravnino V: projekcija b 1 1 1 mora biti pravokotna na os x. V tem položaju bo ravnina trikotnika postala čelno štrleča, razdalja l od točke A do nje pa bo pl. V brez popačenja.
Na sl. 162, b je ravnina določena s sledmi. Uvedemo (slika 162, e) dodaten kvadrat. S, pravokotna na kvadrat. P: os S/H je pravokotna na P h. Ostalo je jasno iz risbe. Na sl. 162, g problem je bil rešen z enim gibanjem: pl. P preide v položaj P 1, to pomeni, da štrli naprej. Track. P 1h je pravokoten na os x. V tem položaju letala gradimo sprednji del. horizontalna sled je točka n" 1,n 1. Sled P 1ϑ bo potekala skozi P 1x in n 1. Razdalja od a" 1 do P 1ϑ je enaka zahtevani razdalji l.
165. Podana je piramida SABC (glej sliko 160). Z metodo vzporednega gibanja določite razdaljo od točke A do roba piramide SBC.
166. Podana je SABC piramida (glej sliko 161). Določite višino piramide z metodo vzporednega premika.
167*. Določite razdaljo med križiščema AB in CD (glej sliko 159,a) kot razdaljo med vzporednima ravninama, narisanima skozi te premice.
rešitev. Na sl. 163, ravnini P in Q pa sta med seboj vzporedni, od tega pl. Q je narisan skozi CD vzporedno z AB in pl. P - skozi AB vzporedno s kvadratom. Q. Razdalja med takšnima ravninama se šteje za razdaljo med križiščema ravnin AB in CD. Lahko pa se omejite na izdelavo samo ene ravnine, na primer Q, vzporedne z AB, in nato določite razdaljo vsaj od točke A do te ravnine.
Na sl. 163, c prikazuje ravnino Q, narisano skozi CD vzporedno z AB; v projekcijah, izvedenih z "e" || a"b" in ce || ab. Z uporabo metode spreminjanja pl. projekcije (slika 163, c), uvedemo dodaten kvadrat. S, pravokotna na kvadrat. V in hkrati
pravokotno na kvadrat Q. Če želite narisati os S/V, vzemite čelni D-1 v tej ravnini. Zdaj narišemo S/V pravokotno na d"1" (slika 163, c). pl. Q bo upodobljen na kvadratu. S kot ravna črta s s d s. Ostalo je jasno iz risbe.
168. Podana je piramida SABC (glej sliko 160). Določite razdaljo med rebri SC in AB Uporabite: 1) način spreminjanja ploskve. projekcije, 2) metoda vzporednega gibanja.
169*. Določite razdaljo med vzporednima ravninama, od katerih je ena določena z ravnima črtama AB in AC, druga pa z ravnima črtama DE in DF (slika 164, a). Izvedite tudi konstrukcijo za primer, ko so ravnine definirane s sledmi (slika 164, b).
rešitev. Razdaljo (sl. 164, c) med vzporednimi ravninami lahko določimo tako, da narišemo pravokotno iz katere koli točke ene ravnine na drugo ravnino. Na sl. 164, g je bil uveden dodaten kvadrat. S pravokotno na kvadrat. H in na obe dani ravnini. S.H os je pravokotna na vodoravno. vodoravna projekcija, narisana v eni od ravnin. Konstruiramo projekcijo te ravnine in točko v drugi ravnini na kvadrat. 5. Razdalja točke d s do premice l s a s je enaka zahtevani razdalji med vzporednima ravninama.
Na sl. 164, d je podana druga konstrukcija (po metodi vzporednega gibanja). Da bi bila ravnina, izražena s sečiščema AB in AC, pravokotna na kvadrat. V, obzorje. Vodoravno projekcijo te ravnine postavimo pravokotno na os x: 1 1 2 1 ⊥ x. Razdalja med spredaj. projekcija d" 1 točke D in premica a" 1 2" 1 (prednja projekcija ravnine) je enaka zahtevani razdalji med ravninama.
Na sl. 164, e prikazuje uvedbo dodatnega kvadrata. S, pravokotno na ploščino H in na podani ravnini P in Q (os S/H je pravokotna na sledi P h in Q h). Gradimo sledi P s in Q s. Razdalja med njima (glej sliko 164, c) je enaka želeni razdalji l med ravninama P in Q.
Na sl. 164, g prikazuje gibanje ravnin P 1 n Q 1, do položaja P 1 in Q 1, ko je obzorje. se izkaže, da so sledi pravokotne na os x. Razdalja med novimi frontami. sledi P 1ϑ in Q 1ϑ enake želeni razdalji l.
170. Podan je paralelepiped ABCDEFGH (slika 165). Določite razdalje: a) med osnovami paralelopipeda - l 1; b) med ploskvama ABFE in DCGH - l 2; c) med ploskvama ADHE in BCGF-l 3.
Oh-oh-oh-oh-oh ... no, težko je, kot da bi sam sebi bral stavek =) Vendar bo sprostitev kasneje pomagala, sploh ker sem danes kupila ustrezne dodatke. Zato pojdimo na prvi del, upam, da bom do konca članka ohranil veselo razpoloženje.
Relativni položaj dveh ravnih črt
To je v primeru, ko občinstvo zapoje v zboru. Dve ravni črti lahko:
1) ujemanje;
2) biti vzporedna: ;
3) ali sekajo v eni točki: .
Pomoč za telebane : Zapomnite si matematični znak križišča, pojavljal se bo zelo pogosto. Zapis pomeni, da se premica seka s premico v točki .
Kako določiti relativni položaj dveh črt?
Začnimo s prvim primerom:
Dve premici sovpadata, če in samo če sta njuna ustrezna koeficienta sorazmerna, to pomeni, da obstaja število "lambda", tako da so enakosti izpolnjene
Oglejmo si premice in iz ustreznih koeficientov sestavimo tri enačbe: . Iz vsake enačbe sledi, da torej te premice sovpadajo.
Dejansko, če so vsi koeficienti enačbe 
pomnožite z –1 (spremenite predznake) in vse koeficiente enačbe 
zmanjšano za 2, dobite isto enačbo: .
Drugi primer, ko sta črti vzporedni:
Dve premici sta vzporedni, če in samo če sta njuna koeficienta spremenljivk sorazmerna: 
, Ampak.
Kot primer razmislite o dveh ravnih črtah. Preverimo sorazmernost ustreznih koeficientov za spremenljivke: 
Vendar pa je povsem očitno, da.
In tretji primer, ko se črte sekajo:
Dve premici se sekata, če in samo če njuni koeficienti spremenljivk NISO sorazmerni, to pomeni, da NI take vrednosti "lambda", da so enakosti izpolnjene 
Torej, za ravne črte bomo ustvarili sistem: 
Iz prve enačbe sledi , iz druge enačbe pa: , kar pomeni sistem je nedosleden(brez rešitev). Tako koeficienti spremenljivk niso sorazmerni.
Zaključek: črte se sekajo
Pri praktičnih problemih lahko uporabite shemo rešitev, o kateri smo pravkar razpravljali. Mimogrede, zelo spominja na algoritem za preverjanje kolinearnosti vektorjev, ki smo si ga ogledali v razredu Koncept linearne (ne)odvisnosti vektorjev. Osnova vektorjev. Vendar obstaja bolj civilizirana embalaža:
Primer 1
Ugotovite relativni položaj črt: 
rešitev na podlagi preučevanja usmerjevalnih vektorjev ravnih črt:
a) Iz enačb poiščemo smerne vektorje premic: 
.
, kar pomeni, da vektorji niso kolinearni in se premice sekajo.
Za vsak slučaj bom na razpotju postavil kamen z znaki:
Ostali skočijo čez kamen in sledijo naprej, naravnost do Kaščeja Nesmrtnega =)
b) Poiščite smerne vektorje premic: 
Premici imata enak smerni vektor, kar pomeni, da sta vzporedni ali sovpadajoči. Tukaj ni treba šteti determinante.
Očitno je, da so koeficienti neznank sorazmerni in .
Ugotovimo, ali enakost velja: 
torej
c) Poiščite smerne vektorje premic: 
Izračunajmo determinanto, sestavljeno iz koordinat teh vektorjev: 
, zato so smerni vektorji kolinearni. Črte so vzporedne ali pa sovpadajo.
Proporcionalni koeficient "lambda" je enostavno videti neposredno iz razmerja vektorjev kolinearne smeri. Lahko pa ga najdemo tudi preko koeficientov samih enačb: 
.
Zdaj pa ugotovimo, ali enakost drži. Oba prosta izraza sta nič, torej:
Dobljena vrednost ustreza tej enačbi (na splošno jo izpolnjuje katera koli številka).
Tako črte sovpadajo.
Odgovori:
Kmalu se boste naučili (ali ste se že naučili) rešiti problem, o katerem govorite ustno, dobesedno v nekaj sekundah. V zvezi s tem ne vidim smisla ponujati ničesar za neodvisno rešitev, bolje je postaviti še eno pomembno opeko v geometrijski temelj:
Kako zgraditi premico, ki je vzporedna z dano?
Zaradi nepoznavanja te najpreprostejše naloge Slavec Ropar strogo kaznuje.
Primer 2
Ravna črta je podana z enačbo. Napišite enačbo za vzporedno premico, ki poteka skozi točko.
rešitev: Neznano vrstico označimo s črko . Kaj stanje pove o njej? Premica poteka skozi točko. In če sta črti vzporedni, potem je očitno, da je smerni vektor ravne črte "tse" primeren tudi za konstrukcijo ravne črte "de".
Iz enačbe vzamemo smerni vektor:
Odgovori:
Primer geometrije je videti preprost: 
Analitično testiranje je sestavljeno iz naslednjih korakov:
1) Preverimo, ali imata premici enak smerni vektor (če enačba premice ni pravilno poenostavljena, bosta vektorja kolinearna).
2) Preverite, ali točka ustreza nastali enačbi.
V večini primerov je analitično testiranje enostavno opraviti ustno. Poglejte obe enačbi in mnogi boste hitro ugotovili vzporednost premic brez risbe.
Primeri za samostojne rešitve danes bodo ustvarjalni. Ker boste še vedno morali tekmovati z Babo Yago, in ona, veste, je ljubiteljica vseh vrst ugank.
Primer 3
Napišite enačbo za premico, ki poteka skozi točko, ki je vzporedna s premico
Obstaja racionalen in manj racionalen način za rešitev. Najkrajša pot je na koncu lekcije.
Malo smo delali z vzporednimi črtami in se bomo k njim vrnili kasneje. Primer sovpadajočih črt ni zanimiv, zato razmislimo o problemu, ki vam je dobro znan iz šolskega kurikuluma:
Kako najti presečišče dveh črt?
Če naravnost 
sekata v točki , potem so njegove koordinate rešitev sistemi linearnih enačb 
Kako najti presečišče črt? Reši sistem.
Izvolite geometrijski pomen sistema dveh linearnih enačb z dvema neznankama- to sta dve sekajoči se (najpogosteje) premici na ravnini.
Primer 4
Poiščite presečišče črt
rešitev: Obstajata dva načina reševanja - grafični in analitični.
Grafična metoda je, da preprosto narišete dane črte in ugotovite presečišče neposredno iz risbe: 
Tukaj je naša poanta: . Če želite preveriti, morate njene koordinate nadomestiti z vsako enačbo premice; Z drugimi besedami, koordinate točke so rešitev sistema. V bistvu smo si ogledali grafično rešitev sistemi linearnih enačb z dvema enačbama, dvema neznankama.
Grafična metoda seveda ni slaba, vendar so opazne slabosti. Ne, ne gre za to, da se sedmošolci tako odločijo, gre za to, da bo za izdelavo pravilne in NATANČNE risbe potreben čas. Poleg tega nekaterih ravnih črt ni tako enostavno zgraditi, sama presečišča pa se lahko nahajajo nekje v tridesetem kraljestvu zunaj lista zvezka.
Zato je presečišče smotrneje iskati z analitično metodo. Rešimo sistem: 
Za rešitev sistema je bila uporabljena metoda seštevanja enačb po členih. Če želite razviti ustrezne veščine, vzemite lekcijo Kako rešiti sistem enačb?
Odgovori:
Preverjanje je trivialno - koordinate presečišča morajo zadostiti vsaki enačbi sistema.
Primer 5
Poiščite presečišče premic, če se sekajo.
To je primer, ki ga morate rešiti sami. Nalogo je priročno razdeliti na več stopenj. Analiza stanja kaže, da je potrebno:
1) Zapišite enačbo premice.
2) Zapišite enačbo premice.
3) Ugotovite relativni položaj črt.
4) Če se črti sekata, poiščite točko presečišča.
Razvoj akcijskega algoritma je značilen za številne geometrijske probleme in na to se bom večkrat osredotočil.
Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije:
Niti par čevljev ni bil obrabljen, preden smo prišli do drugega dela lekcije:
Pravokotne črte. Razdalja od točke do črte.
Kot med ravnimi črtami
Začnimo s tipično in zelo pomembno nalogo. V prvem delu smo se naučili zgraditi ravno črto, vzporedno s to, zdaj pa se bo koča na piščančjih nogah obrnila za 90 stopinj:
Kako zgraditi premico, pravokotno na dano?
Primer 6
Ravna črta je podana z enačbo. Napiši enačbo pravokotno na premico, ki poteka skozi točko.
rešitev: Po pogoju je znano, da . Lepo bi bilo najti usmerjevalni vektor premice. Ker so črte pravokotne, je trik preprost:
Iz enačbe »odstranimo« normalni vektor: , ki bo usmerjevalni vektor premice.
Sestavimo enačbo ravne črte z uporabo točke in smernega vektorja:
Odgovori: 
Razširimo geometrijsko skico:
Hmmm ... Oranžno nebo, oranžno morje, oranžna kamela.
Analitično preverjanje rešitve:
1) Iz enačb izvzamemo smerne vektorje 
in s pomočjo skalarni produkt vektorjev pridemo do zaključka, da so premice res pravokotne: .
Mimogrede, lahko uporabite običajne vektorje, še lažje je.
2) Preverite, ali točka ustreza nastali enačbi 
.
Test je spet enostavno izvesti ustno.
Primer 7
Poiščite presečišče pravokotnih črt, če je enačba znana 
in pika.
To je primer, ki ga morate rešiti sami. V problemu je več dejanj, zato je priročno oblikovati rešitev po točkah.
Naše razburljivo potovanje se nadaljuje:
Razdalja od točke do črte
Pred nami je raven rečni pas in naša naloga je, da pridemo do njega po najkrajši poti. Ni ovir, najbolj optimalna pot pa bo premikanje po pravokotnici. To pomeni, da je razdalja od točke do črte dolžina pravokotnega segmenta.
Razdalja v geometriji se tradicionalno označuje z grško črko "rho", na primer: – razdalja od točke "em" do premice "de".
Razdalja od točke do črte 
izraženo s formulo
Primer 8
Poiščite razdaljo od točke do črte 
rešitev: vse, kar morate storiti, je, da natančno nadomestite številke v formulo in izvedete izračune:
Odgovori: 
Naredimo risbo: 
Najdena razdalja od točke do črte je natanko dolžina rdečega segmenta. Če na karirasti papir narišete risbo v merilu 1 enote. = 1 cm (2 celici), potem lahko razdaljo izmerimo z navadnim ravnilom.
Oglejmo si še eno nalogo, ki temelji na isti risbi:
Naloga je najti koordinate točke, ki je simetrična točki glede na premico 
. Predlagam, da korake izvedete sami, vendar bom orisal algoritem rešitve z vmesnimi rezultati:
1) Poišči premico, ki je pravokotna na premico.
2) Poiščite presečišče črt: 
.
Oba dejanja sta podrobno obravnavana v tej lekciji.
3) Točka je razpolovna točka odseka. Poznamo koordinate sredine in enega od koncev. Avtor: formule za koordinate razpolovišča odseka najdemo.
Dobro bi bilo preveriti, ali je tudi razdalja 2,2 enote.
Tu lahko nastanejo težave pri izračunih, vendar je v stolpu v veliko pomoč mikrokalkulator, ki omogoča računanje navadnih ulomkov. Večkrat sem vam svetoval in vam bom še enkrat.
Kako najti razdaljo med dvema vzporednima črtama?
Primer 9
Poišči razdaljo med dvema vzporednima premicama
To je še en primer, za katerega se lahko odločite sami. Malo vam bom namignil: obstaja neskončno veliko načinov, kako to rešiti. Povzetek na koncu lekcije, vendar je bolje, da poskusite uganiti sami, mislim, da je bila vaša iznajdljivost dobro razvita.
Kot med dvema ravnima črtama
Vsak kotiček je zastoj: 
Kot med dvema premicama se v geometriji šteje za MANJŠI kot, iz česar samodejno sledi, da ne more biti top. Na sliki se kot, označen z rdečim lokom, ne šteje za kot med sekajočima se črtama. In njegov “zeleni” sosed oz nasprotno usmerjeni"malin" kotiček.
Če sta premici pravokotni, lahko za kot med njima vzamemo katerega koli od 4 kotov.
Kako se koti razlikujejo? Orientacija. Prvič, bistveno je pomembna smer, v kateri se kot "pomika". Drugič, negativno usmerjen kot je zapisan z znakom minus, na primer, če .
Zakaj sem ti to povedal? Zdi se, da se lahko znajdemo z običajnim konceptom kota. Dejstvo je, da lahko formule, s katerimi bomo iskali kote, zlahka privedejo do negativnega rezultata, kar vas ne bi smelo presenetiti. Kot z znakom minus ni nič slabši in ima zelo specifičen geometrijski pomen. Na risbi pri negativnem kotu s puščico (v smeri urinega kazalca) označite njegovo usmerjenost.
Kako najti kot med dvema ravnima črtama? Obstajata dve delovni formuli:
Primer 10
Poiščite kot med črtami
rešitev in Prva metoda
Oglejmo si dve ravni črti, definirani z enačbami v splošni obliki: 
Če naravnost ne pravokotno, To usmerjeno Kot med njima lahko izračunamo po formuli: 
Bodimo pozorni na imenovalec - točno to je pikasti izdelek usmerjevalni vektorji ravnih črt:
Če , potem imenovalec formule postane nič, vektorji pa bodo pravokotni in premice pravokotne. Zato je bil pridržek glede nepravokotnosti ravnih črt v formulaciji.
Na podlagi zgoraj navedenega je priročno formalizirati rešitev v dveh korakih:
1) Izračunajmo skalarni produkt smernih vektorjev premic:
, kar pomeni, da črte niso pravokotne.
2) Poiščite kot med ravnimi črtami po formuli:
Z inverzno funkcijo je enostavno najti sam kot. V tem primeru uporabimo neparnost arktangensa (glej. Grafi in lastnosti elementarnih funkcij):
Odgovori: 
V odgovoru navedemo točno vrednost, pa tudi približno vrednost (po možnosti v stopinjah in radianih), izračunano s kalkulatorjem.
No, minus, minus, nič hudega. Tukaj je geometrijska ilustracija: 
Ni presenetljivo, da se je izkazalo, da je kot negativno usmerjen, saj je v izjavi problema prva številka ravna črta in "odvijanje" kota se je začelo prav z njo.
Če res želite dobiti pozitiven kot, morate premice zamenjati, to je vzeti koeficiente iz druge enačbe 
, in vzemite koeficiente iz prve enačbe. Skratka, začeti morate z neposrednim 
.
