Določitev stacionarne točke. Kritične točke na grafu funkcije
V prejšnjih razpravah sploh nismo uporabljali tehničnih metod diferencialnega računa.
Težko je ne priznati, da so naše osnovne metode enostavnejše in bolj neposredne od metod analize. Na splošno je pri obravnavi določenega znanstvenega problema bolje izhajati iz njegovih posameznih značilnosti, kot pa se zanašati samo na splošne metode, čeprav je po drugi strani splošno načelo, ki pojasnjuje pomen uporabljenih posebnih postopkov, seveda , mora imeti vedno vodilno vlogo. Ravno v tem je pomen metod diferencialnega računa pri obravnavi ekstremnih problemov. Želja po splošnosti, ki jo opažamo v sodobni znanosti, predstavlja le eno plat zadeve, saj tisto, kar je v matematiki resnično življenjsko, brez dvoma določajo posamezne značilnosti obravnavanih problemov in uporabljenih metod.
V svojem zgodovinskem razvoju so na diferencialni račun v zelo veliki meri vplivali posamezni problemi, povezani z iskanjem največjih in najmanjših vrednosti količin. Povezavo med ekstremnimi problemi in diferencialnim računom lahko razumemo na naslednji način. V VIII. poglavju bomo podrobno preučili odvod f"(x) funkcije f(x) in njen geometrijski pomen. Tam bomo videli, da je na kratko odvod f"(x) naklon tangenta na krivuljo y = f(x) v točki (x, y). Geometrično je očitno, da na največjih ali najmanjših točkah gladke krivulje y = f(x) tangenta na krivuljo mora biti vsekakor vodoravna, to pomeni, da mora biti naklon enak nič. Tako dobimo pogoj za ekstremne točke f"(x) = 0.
Da bi jasno razumeli, kaj pomeni izničenje odvoda f"(x), si oglejte krivuljo, prikazano na sliki 191. Tu vidimo pet točk A, B, C, D, ?, v katerih je tangenta na krivuljo vodoravna ; označimo ustrezne vrednosti f(x) na teh točkah z a, b, c, d, e. Največjo vrednost f(x) (znotraj območja prikazanega na risbi) doseže v točki D, najmanjšo v točki A. V točki B je maksimum - v smislu, da v vseh točkah neka soseska točke B je vrednost f(x) manjša od b, čeprav je v točkah blizu D vrednost f(x) še vedno večja od b. Zaradi tega je običajno reči, da je v točki B relativni maksimum funkcije f(x), medtem ko je v točki D - absolutni maksimum. Na enak način je v točki C relativni minimum, in na točki A - absolutni minimum. Končno, kar zadeva točko E, v njej ni niti maksimuma niti minimuma, čeprav je v njej enakost še vedno uresničena f"(x) = Q, Iz tega sledi, da je izničenje odvoda f"(x). potrebno, ampak sploh ne dovolj pogoj za pojav ekstrema gladke funkcije f(x); z drugimi besedami, na kateri koli točki, kjer obstaja ekstrem (absolutni ali relativni), se enakost zagotovo zgodi f"(x) = 0, vendar ne na vseh točkah f"(x) = 0, mora biti ekstrem. Tiste točke, v katerih odvod f"(x) izgine, ne glede na to, ali je v njih ekstrem, imenujemo stacionarni. Nadaljnja analiza vodi do bolj ali manj kompleksnih pogojev, ki zadevajo višje odvode funkcije f(x) in popolnoma karakterizirajo maksimume, minimume in druge stacionarne točke.
Stacionarne točke funkcije.
Nujen pogoj za lokalni ekstrem funkcije
Prvi zadostni pogoj za lokalni ekstrem
Drugi in tretji zadostni pogoj za lokalni ekstrem
Najmanjša in največja vrednost funkcije na segmentu
Konveksne funkcije in prevojne točke
1. Stacionarne točke funkcije. Nujen pogoj za lokalni ekstrem funkcije
Definicija 1 
. 
Naj bo funkcija definirana na 
. Pika 
imenujemo stacionarna točka funkcije 
, Če 
.
diferenciran v točki
in 
Izrek 1 (nujen pogoj za lokalni ekstrem funkcije) 
. Naj funkcija 
določeno na
in ima v bistvu
lokalni ekstrem. Potem je izpolnjen eden od pogojev:
Za iskanje točk, ki so sumljive za ekstrem, je torej potrebno najti stacionarne točke funkcije in točke, v katerih odvod funkcije ne obstaja, vendar spadajo v domeno definicije funkcije. 
Primer 
. Naj
. Poiščite točke zanj, ki so sumljive za ekstrem. Za rešitev problema najprej poiščemo domeno definicije funkcije: 
. Poiščimo zdaj odvod funkcije:
Točke, kjer izpeljanka ne obstaja: 
. Stacionarne funkcijske točke: 
Ker in
2. Prvi zadostni pogoj za lokalni ekstrem
Izrek 1 (prvi zadostni pogoj za lokalni ekstrem)
in 
Izrek 1 (nujen pogoj za lokalni ekstrem funkcije) 
in diferenciran na tem intervalu povsod, razen morda na točki 
, ampak na tej točki 
funkcijo 
je neprekinjen. Če obstajata takšni desna in leva polsoseska točke 
, v katerih vsaka 
obdrži določen predznak, torej
1) funkcija 
ima v točki lokalni ekstrem 
. Pika 
prevzame vrednosti različnih znakov v ustreznih polsoseskah;
2) funkcija 
nima lokalnega ekstrema v točki 
, če je desno in levo od točke 
ima isti znak.
Dokaz
. 1) Recimo, da v polsoseski 
izpeljanka 
, in v 
.
Tako na točki 
funkcijo 
ima lokalni ekstrem, in sicer lokalni maksimum, kar je bilo treba dokazati.
2) Recimo, da levo in desno od točke 
izpeljanka ohrani predznak, npr. 
. Potem naprej 
, Če 
funkcijo 
narašča strogo monotono, to je:
Tako je ekstrem v točki 
funkcijo 
nima, kar je bilo treba dokazati.
Opomba 1
. Če izpeljanka 
pri prehodu skozi točko 
spremeni predznak iz “+” v “-”, nato na piko 
funkcijo 
ima lokalni maksimum, in če se predznak spremeni iz "-" v "+", potem ima lokalni minimum.
Opomba 2
. Pomemben pogoj je kontinuiteta funkcije 
na točki 
. Če ta pogoj ni izpolnjen, potem izrek 1 morda ne drži.
lokalni ekstrem. Potem je izpolnjen eden od pogojev: . Upoštevana je funkcija (slika 1):
Ta funkcija je definirana na 
in je zvezna povsod razen v točki 
, kjer ima odstranljivo vrzel. Pri prehodu skozi točko 
spremeni predznak iz “-” v “+”, vendar funkcija na tej točki nima lokalnega minimuma, ima pa lokalni maksimum po definiciji. Pravzaprav, blizu bistva 
mogoče je sestaviti sosesko tako, da bodo za vse argumente iz te soseske vrednosti funkcije manjše od vrednosti 
. Izrek 1 ni deloval, ker v točki 
funkcija je imela vrzel.
Opomba 3
. Prvega zadostnega pogoja za lokalni ekstrem ni mogoče uporabiti, ko je odvod funkcije 
spremeni predznak v vsaki levi in vsaki desni polsoseski točke 
.
lokalni ekstrem. Potem je izpolnjen eden od pogojev: . Upoštevana funkcija je:
Ker 
, To 
, in zato 
, Ampak 
. Tako:
,
tiste. na točki 
funkcijo 
ima po definiciji lokalni minimum. Poglejmo, ali tukaj deluje prvi zadostni pogoj za lokalni ekstrem.
Za 
:
Za prvi člen na desni strani dobljene formule imamo:
,
in torej v majhni okolici točke 
predznak izpeljanke je določen s predznakom drugega člena, to je:
,
kar pomeni, da v katerikoli okolici točke 
bo imel tako pozitivne kot negativne vrednosti. Dejansko razmislite o poljubni soseščini točke 
:
. kdaj
,
to 
(slika 2) in 
tu neskončno večkrat spremeni predznak. Tako prvega zadostnega pogoja za lokalni ekstrem ne moremo uporabiti v danem primeru.
Definicije:
Ekstremum klic največje ali najmanjše vrednosti funkcije na dani množici.
Ekstremna točka je točka, na kateri je dosežena največja ali najmanjša vrednost funkcije.
Najvišja točka je točka, v kateri je dosežena največja vrednost funkcije.
Najmanjša točka je točka, na kateri je dosežena najmanjša vrednost funkcije.
Razlaga.
Na sliki v bližini točke x = 3 funkcija doseže največjo vrednost (to pomeni, da v bližini te določene točke ni višje točke). V okolici x = 8 ima spet največjo vrednost (ponovno pojasnimo: v tej okolici ni točke višje). Na teh točkah se povečanje umakne zmanjšanju. To so največje število točk:
x max = 3, x max = 8.
V bližini točke x = 5 je dosežena minimalna vrednost funkcije (to pomeni, da v bližini x = 5 ni točke spodaj). Na tej točki se zmanjšanje spremeni v povečanje. To je najmanjša točka:
Največje in najmanjše točke so ekstremne točke funkcije, in vrednosti funkcije na teh točkah so njene skrajnosti.
Kritične in stacionarne točke funkcije:
Nujen pogoj za ekstrem:
Zadosten pogoj za ekstrem:
Na segmentu funkcija l = f(x) lahko doseže najmanjšo ali največjo vrednost na kritičnih točkah ali na koncih segmenta .
Algoritem za študij zvezne funkcijel = f(x) za monotonost in ekstreme:
Razmislite o naslednji sliki.
Prikazuje graf funkcije y = x^3 – 3*x^2. Oglejmo si nek interval, ki vsebuje točko x = 0, na primer od -1 do 1. Takšen interval imenujemo tudi okolica točke x = 0. Kot je razvidno iz grafa, je v tej okolici funkcija y = x ^3 – 3*x^2 ima največjo vrednost ravno v točki x = 0.
Maksimalne in minimalne funkcije
V tem primeru se točka x = 0 imenuje največja točka funkcije. Po analogiji s tem se točka x = 2 imenuje točka minimuma funkcije y = x^3 – 3*x^2. Ker obstaja soseska te točke, v kateri bo vrednost na tej točki minimalna med vsemi drugimi vrednostmi iz te soseske.
Pika maksimum funkcija f(x) se imenuje točka x0, pod pogojem, da obstaja soseska točke x0, tako da za vse x, ki niso enaki x0 iz te soseščine, velja neenakost f(x)< f(x0).
Pika najmanj funkcija f(x) se imenuje točka x0, pod pogojem, da obstaja soseska točke x0, tako da za vse x, ki niso enaki x0 iz te soseščine, velja neenakost f(x) > f(x0).
V točkah maksimuma in minimuma funkcij je vrednost odvoda funkcije enaka nič. Vendar to ni zadosten pogoj za obstoj funkcije v maksimalni ali minimalni točki.
Na primer, funkcija y = x^3 v točki x = 0 ima odvod enak nič. Toda točka x = 0 ni najmanjša ali največja točka funkcije. Kot veste, funkcija y = x^3 narašča vzdolž celotne numerične osi.
Tako bosta najmanjša in največja točka vedno med koreninami enačbe f’(x) = 0. Vendar ne bodo vse korenine te enačbe največje ali najmanjše točke.
Stacionarne in kritične točke
Točke, v katerih je vrednost odvoda funkcije enaka nič, imenujemo stacionarne točke. Obstajajo lahko tudi točke maksimuma ali minimuma v točkah, kjer odvod funkcije sploh ne obstaja. Na primer, y = |x| v točki x = 0 ima minimum, vendar odvod na tej točki ne obstaja. Ta točka bo kritična točka funkcije.
Kritične točke funkcije so točke, v katerih je odvod enak nič ali pa odvod na tej točki ne obstaja, to pomeni, da je funkcija v tej točki nediferenciabilna. Da bi našli maksimum ali minimum funkcije, mora biti izpolnjen zadosten pogoj.
Naj bo f(x) neka diferenciabilna funkcija na intervalu (a;b). Točka x0 pripada temu intervalu in f’(x0) = 0. Potem:
1. če pri prehodu skozi stacionarno točko x0 funkcija f(x) in njen odvod spremenita predznak iz “plus” v “minus”, potem je točka x0 največja točka funkcije.
2. če pri prehodu skozi stacionarno točko x0 funkcija f(x) in njen odvod spremenita predznak iz “minus” v “plus”, potem je točka x0 točka minimuma funkcije.
