Če za vsako naravno število n ujemati z realnim številom a n , potem pravijo, da se da številčno zaporedje :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Torej je številsko zaporedje funkcija naravnega argumenta.

številka a 1 klical prvi člen zaporedja , številka a 2 — drugi člen zaporedja , številka a 3 — tretji in tako dalje. številka a n klical n-ti člen zaporedja , in naravno število n — njegova številka .

Iz dveh sosednjih členov a n in a n +1 člen zaporedja a n +1 klical naknadno (glede na a n ), A a n — prejšnji (glede na a n +1 ).

Če želite definirati zaporedje, morate podati metodo, ki omogoča iskanje člana zaporedja s poljubno številko.

Pogosto je zaporedje določeno z uporabo formule n-tega člena , to je formula, ki vam omogoča, da določite člana zaporedja po njegovi številki.

na primer

zaporedje pozitivnih lihih števil lahko podamo s formulo

a n= 2n- 1,

in zaporedje menjavanja 1 in -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Zaporedje je mogoče določiti ponavljajoča se formula, to je formula, ki izraža kateri koli člen zaporedja, začenši z nekaterimi, prek prejšnjih (enega ali več) členov.

na primer

če a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

če a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , potem je prvih sedem členov številskega zaporedja določenih na naslednji način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Zaporedja so lahko dokončno in neskončno .

Zaporedje se imenuje končni , če ima končno število članov. Zaporedje se imenuje neskončno , če ima neskončno veliko članov.

na primer

zaporedje dvomestnih naravnih števil:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

dokončno.

Zaporedje praštevil:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

neskončno. ◄

Zaporedje se imenuje povečevanje , če je vsak njen član, začenši z drugim, večji od prejšnjega.

Zaporedje se imenuje zmanjševanje , če je vsak njen član, začenši z drugim, manjši od prejšnjega.

na primer

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — naraščajoče zaporedje;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — padajoče zaporedje. ◄

Imenuje se zaporedje, katerega elementi se z naraščanjem števila ne zmanjšujejo ali, nasprotno, ne povečujejo monotono zaporedje .

Monotona zaporedja so zlasti naraščajoča zaporedja in padajoča zaporedja.

Aritmetična progresija

Aritmetična progresija je zaporedje, v katerem je vsak člen, začenši z drugim, enak prejšnjemu, ki mu je dodano enako število.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetična progresija, če je za katero koli naravno število n pogoj je izpolnjen:

a n +1 = a n + d,

kje d - določeno število.

Tako je razlika med naslednjim in prejšnjim členom dane aritmetične progresije vedno konstantna:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

številka d klical razlika aritmetične progresije.

Za določitev aritmetične progresije je dovolj, da navedete njen prvi člen in razliko.

na primer

če a 1 = 3, d = 4 , potem najdemo prvih pet členov zaporedja, kot sledi:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetično napredovanje s prvim členom a 1 in razlika d njo n

a n = a 1 + (n- 1)d.

na primer

poiščite trideseti člen aritmetične progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

potem očitno

Vsak člen aritmetične progresije, začenši od drugega, je enak aritmetični sredini predhodnega in naslednjih členov.

števila a, b in c so zaporedni členi neke aritmetične progresije, če in samo če je eden od njih enak aritmetični sredini drugih dveh.

na primer

a n = 2n- 7 , je aritmetična progresija.

Uporabimo zgornjo izjavo. Imamo:

a n = 2n- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

torej

◄

Upoštevajte to n Člen aritmetičnega napredovanja je mogoče najti ne samo skozi a 1 , temveč tudi vse prejšnje a k

a n = a k + (n- k)d.

na primer

Za a 5 se da zapisati

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

potem očitno

kateri koli člen aritmetičnega napredovanja, začenši od drugega, je enak polovici vsote enako razmaknjenih členov tega aritmetičnega napredovanja.

Poleg tega za vsako aritmetično progresijo velja naslednja enakost:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

na primer

v aritmetični progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, ker

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

prvi n členov aritmetičnega napredovanja je enako zmnožku polovice vsote skrajnih členov in števila členov:

Od tod zlasti sledi, da če morate sešteti izraze

a k, a k +1 , . . . , a n,

potem prejšnja formula ohrani svojo strukturo:

na primer

v aritmetični progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Če je podana aritmetična progresija, potem količine a 1 , a n, d, n inS n povezana z dvema formulama:

Torej, če so podane vrednosti treh od teh količin, potem so ustrezne vrednosti drugih dveh količin določene iz teh formul, združenih v sistem dveh enačb z dvema neznankama.

Aritmetična progresija je monotono zaporedje. V tem primeru:

• če d > 0 , potem se povečuje;
• če d < 0 , potem se zmanjšuje;
• če d = 0 , potem bo zaporedje stacionarno.

Geometrijsko napredovanje

Geometrijsko napredovanje je zaporedje, v katerem je vsak člen, začenši z drugim, enak prejšnjemu, pomnoženemu z istim številom.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijsko napredovanje, če je za vsako naravno število n pogoj je izpolnjen:

b n +1 = b n · q,

kje q ≠ 0 - določeno število.

Tako je razmerje med naslednjim členom dane geometrijske progresije in prejšnjim konstantno število:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

številka q klical imenovalec geometrijske progresije.

Za določitev geometrijske progresije je dovolj, da navedemo njen prvi člen in imenovalec.

na primer

če b 1 = 1, q = -3 , potem najdemo prvih pet členov zaporedja, kot sledi:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 in imenovalec q njo n Ti izraz je mogoče najti s formulo:

b n = b 1 · qn -1 .

na primer

poiščite sedmi člen geometrijskega napredovanja 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

potem očitno

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

vsak člen geometrijske progresije, začenši z drugim, je enak geometrični sredini (proporcionalni) predhodnega in naslednjih členov.

Ker velja tudi obratno, velja naslednja trditev:

števila a, b in c so zaporedni členi neke geometrijske progresije, če in samo če je kvadrat enega od njih enak zmnožku drugih dveh, to pomeni, da je eno od števil geometrična sredina drugih dveh.

na primer

Dokažimo, da zaporedje, podano s formulo b n= -3 2 n , je geometrijsko napredovanje. Uporabimo zgornjo izjavo. Imamo:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

torej

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

ki dokazuje želeno trditev. ◄

Upoštevajte to n Th člen geometrijskega napredovanja je mogoče najti ne samo skozi b 1 , ampak tudi kateri koli prejšnji član b k , za kar je dovolj, da uporabite formulo

b n = b k · qn - k.

na primer

Za b 5 se da zapisati

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

potem očitno

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat katerega koli člena geometrijske progresije, začenši od drugega, je enak zmnožku enako razmaknjenih členov te progresije.

Poleg tega za vsako geometrijsko progresijo velja enakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

na primer

v geometrijski progresiji

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , ker

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvi n členi geometrijskega napredovanja z imenovalcem q ≠ 0 izračunano po formuli:

In kdaj q = 1 - po formuli

S n= opomba 1

Upoštevajte, da če morate izraze sešteti

b k, b k +1 , . . . , b n,

potem se uporabi formula:

na primer

v geometrijski progresiji 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Če je podana geometrijska progresija, potem količine b 1 , b n, q, n in S n povezana z dvema formulama:

Torej, če so podane vrednosti katerih koli treh od teh količin, potem so ustrezne vrednosti drugih dveh količin določene iz teh formul, združenih v sistem dveh enačb z dvema neznankama.

Za geometrijsko napredovanje s prvim členom b 1 in imenovalec q se zgodi naslednje lastnosti monotonosti :

• napredovanje se povečuje, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

b 1 > 0 in q> 1;

b 1 < 0 in 0 < q< 1;

• Napredovanje se zmanjša, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

b 1 > 0 in 0 < q< 1;

b 1 < 0 in q> 1.

če q< 0 , potem je geometrijsko napredovanje izmenično: njegovi členi z lihimi števili imajo enak predznak kot prvi člen, členi s sodimi števili pa nasprotni predznak. Jasno je, da izmenična geometrijska progresija ni monotona.

Izdelek prvega n člene geometrijske progresije lahko izračunamo po formuli:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

na primer

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Neskončno padajoča geometrijska progresija

Neskončno padajoča geometrijska progresija imenujemo neskončna geometrijska progresija, katere modul imenovalca je manjši 1 , to je

|q| < 1 .

Upoštevajte, da neskončno padajoča geometrijska progresija morda ni padajoče zaporedje. Primerno je za priložnost

1 < q< 0 .

Pri takem imenovalcu je zaporedje izmenično. na primer

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Vsota neskončno padajoče geometrijske progresije poimenuj število, ki se mu vsota prvih neomejeno približuje n člani progresije z neomejenim povečevanjem števila n . To število je vedno končno in je izraženo s formulo

na primer

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Razmerje med aritmetično in geometrijsko progresijo

Aritmetična in geometrijska progresija sta tesno povezani. Poglejmo samo dva primera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , To

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

na primer

1, 3, 5, . . . - aritmetična progresija z razliko 2 in

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrijsko napredovanje z imenovalcem 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrijsko napredovanje z imenovalcem q , To

dnevnik a b 1, dnevnik a b 2, dnevnik a b 3, . . . - aritmetična progresija z razliko dnevnik aq .

na primer

2, 12, 72, . . . - geometrijsko napredovanje z imenovalcem 6 in

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetična progresija z razliko lg 6 . ◄

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Aritmetična progresija je niz števil, v katerem je vsako število večje (ali manjše) od prejšnjega za enako količino.

Ta tema se pogosto zdi zapletena in nerazumljiva. Indeksi črk, n-ti člen napredovanja, razlika napredovanja - vse to je nekako zmedeno, ja ... Ugotovimo pomen aritmetičnega napredovanja in vse bo takoj bolje.)

Koncept aritmetične progresije.

Aritmetična progresija je zelo preprost in jasen koncept. Imate kakšne dvome? Zaman.) Prepričajte se sami.

Napisal bom nedokončano vrsto številk:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Lahko podaljšate to serijo? Katere številke bodo naslednje, za petico? Vsi... uf..., skratka vsi bodo spoznali, da bodo na vrsto prišle številke 6, 7, 8, 9 itd.

Zakomplicirajmo nalogo. Dajem vam nedokončano serijo številk:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Lahko boste ujeli vzorec, razširili serijo in poimenovali sedmičštevilka vrstice?

Če ste ugotovili, da je ta številka 20, čestitamo! Ne samo, da ste čutili ključne točke aritmetične progresije, pa tudi uspešno uporabili v poslu! Če še niste ugotovili, berite dalje.

Zdaj pa prevedimo ključne točke iz občutkov v matematiko.)

Prva ključna točka.

Aritmetična progresija obravnava serije števil. To je na začetku zmedeno. Navajeni smo reševati enačbe, risati grafe in vse to ... Tukaj pa vrsto razširimo, poiščemo številko serije ...

V redu je. Samo napredovanje je prvo spoznavanje nove veje matematike. Razdelek se imenuje "Serije" in deluje posebej z nizi števil in izrazov. Navadi se.)

Druga ključna točka.

V aritmetični progresiji je katero koli število drugačno od prejšnjega za enak znesek.

V prvem primeru je ta razlika ena. Katero koli številko vzamete, je ena večja od prejšnje. V drugem - tri. Vsako število je tri večje od prejšnjega. Pravzaprav nam ta trenutek daje priložnost, da dojamemo vzorec in izračunamo naslednje številke.

Tretja ključna točka.

Ta trenutek ni vpadljiv, ja ... Je pa zelo, zelo pomemben. Tukaj je: Vsaka številka napredovanja je na svojem mestu. Obstaja prva številka, obstaja sedma, obstaja petinštirideseta itd. Če jih naključno pomešate, bo vzorec izginil. Izginila bo tudi aritmetična progresija. Kar ostane, je le niz številk.

To je bistvo.

Seveda se novi izrazi in poimenovanja pojavijo v novi temi. Morate jih poznati. V nasprotnem primeru naloge ne boste razumeli. Na primer, odločiti se boste morali nekaj takega:

Zapišite prvih šest členov aritmetične progresije (a n), če je a 2 = 5, d = -2,5.

Navdihujoče?) Črke, nekaj indeksov ... In naloga, mimogrede, ne bi mogla biti preprostejša. Samo razumeti morate pomen izrazov in oznak. Zdaj bomo to zadevo obvladali in se vrnili k nalogi.

Izrazi in poimenovanja.

Aritmetična progresija je niz števil, v katerem je vsako število drugačno od prejšnjega za enak znesek.

Ta količina se imenuje . Oglejmo si ta koncept podrobneje.

Razlika aritmetične progresije.

Razlika aritmetične progresije je znesek, za katerega katero koli število napredovanja več prejšnji.

Ena pomembna točka. Prosimo, bodite pozorni na besedo "več". Matematično to pomeni, da je vsako število napredovanja z dodajanjem razlika aritmetične progresije glede na prejšnje število.

Za izračun, recimo drugoštevilke serije, morate prvištevilo dodati prav ta razlika aritmetične progresije. Za izračun peti- razlika je nujna dodati Za četrti, no itd.

Razlika aritmetične progresije Mogoče pozitivno, potem se bo vsako število v nizu izkazalo za resnično več kot prejšnji. To napredovanje se imenuje povečevanje. Na primer:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Tu se dobi vsaka številka z dodajanjem pozitivno število, +5 k prejšnjemu.

Razlika je lahko negativno, potem bo vsaka številka v seriji manj kot prejšnji. To napredovanje se imenuje (ne boste verjeli!) zmanjševanje.

Na primer:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Tukaj se tudi dobi vsaka številka z dodajanjem prejšnjemu, vendar že negativno število, -5.

Mimogrede, pri delu z napredovanjem je zelo koristno takoj določiti njegovo naravo - ali se povečuje ali zmanjšuje. To zelo pomaga pri navigaciji pri odločitvi, opazite svoje napake in jih popravite, preden bo prepozno.

Razlika aritmetične progresije običajno označen s črko d.

Kako najti d? Zelo preprosto. Od katere koli številke v nizu je treba odšteti prejšnjištevilo. Odštej. Mimogrede, rezultat odštevanja se imenuje "razlika".)

Določimo npr. d za povečanje aritmetične progresije:

2, 5, 8, 11, 14, ...

V nizu vzamemo poljubno število, ki ga želimo, na primer 11. Od tega odštejemo prejšnja številka tiste. 8:

To je pravilen odgovor. Za to aritmetično napredovanje je razlika tri.

Lahko ga vzameš katero koli število napredovanja, ker za določeno napredovanje d-vedno isto. Vsaj nekje na začetku vrste, vsaj v sredini, vsaj kjerkoli. Ne morete vzeti samo prve številke. Preprosto zato, ker je prva številka nobena prejšnja.)

Mimogrede, vem, da d=3, je iskanje sedme številke tega napredovanja zelo preprosto. Petemu številu dodamo 3 – dobimo šesto, to bo 17. Šesti številki dodamo tri, dobimo sedmo številko – dvajset.

Določimo d za padajočo aritmetično progresijo:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Opozarjam vas, da ne glede na znake določite d potrebujete s katere koli številke odvzeti prejšnjega. Izberite poljubno število napredovanja, na primer -7. Njegovo prejšnje število je -2. Nato:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Razlika aritmetične progresije je lahko poljubno število: celo število, ulomek, iracionalno, poljubno število.

Drugi izrazi in poimenovanja.

Vsaka številka v nizu je poklicana člen aritmetične progresije.

Vsak član napredovanja ima svojo številko.Številke so strogo urejene, brez trikov. Prvi, drugi, tretji, četrti itd. Na primer, v napredovanju 2, 5, 8, 11, 14, ... dve je prvi člen, pet je drugi, enajst je četrti, no, razumete ...) Prosim, jasno razumejte - same številke je lahko absolutno karkoli, celota, ulomek, negativ, karkoli, ampak številčenje številk- strogo v redu!

Kako napisati napredovanje v splošni obliki? Brez vprašanja! Vsaka številka v seriji je zapisana kot črka. Za označevanje aritmetične progresije se običajno uporablja črka a. Številka člana je označena z indeksom desno spodaj. Pojme pišemo ločene z vejicami (ali podpičji), takole:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- to je prva številka, a 3- tretji itd. Nič posebnega. To serijo lahko na kratko zapišemo takole: (a n).

Napredovanja se dogajajo končno in neskončno.

Ultimativno napredovanje ima omejeno število članov. Pet, osemintrideset, karkoli. Ampak to je končno število.

Neskončno napredovanje - ima neskončno število članov, kot morda ugibate.)

Končno napredovanje skozi serijo lahko zapišete takole, vse izraze in piko na koncu:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

Ali takole, če je članov veliko:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

V kratkem vnosu boste morali dodatno navesti število članov. Na primer (za dvajset članov), takole:

(a n), n = 20

Neskončno napredovanje je mogoče prepoznati po elipsi na koncu vrstice, kot v primerih v tej lekciji.

Zdaj lahko rešite naloge. Naloge so preproste, zgolj za razumevanje pomena aritmetičnega napredovanja.

Primeri nalog o aritmetičnem napredovanju.

Oglejmo si podrobneje zgoraj navedeno nalogo:

1. Izpišite prvih šest členov aritmetične progresije (a n), če je a 2 = 5, d = -2,5.

Nalogo prevedemo v razumljiv jezik. Podana je neskončna aritmetična progresija. Druga številka tega napredovanja je znana: a 2 = 5. Razlika v napredovanju je znana: d = -2,5. Najti moramo prvi, tretji, četrti, peti in šesti člen tega napredovanja.

Zaradi jasnosti bom zapisal vrsto glede na pogoje problema. Prvih šest členov, kjer je drugi člen pet:

1, 5, 3, 4, 5, 6, ....

a 3 = a 2 + d

Zamenjaj v izraz a 2 = 5 in d = -2,5. Ne pozabite na minus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Tretji mandat se je izkazal za manjšega od drugega. Vse je logično. Če je število večje od prejšnjega negativno vrednost, kar pomeni, da bo samo število manjše od prejšnjega. Napredovanje se zmanjšuje. V redu, upoštevajmo to.) Štejemo četrti člen naše serije:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Torej so bili izračunani izrazi od tretjega do šestega. Rezultat je naslednja serija:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Še vedno je treba najti prvi izraz a 1 po znanem drugem. To je korak v drugo smer, v levo.) Torej razlika aritmetične progresije d ne bi smeli dodati a 2, A odnesti:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

To je vse. Odgovor na nalogo:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Mimogrede bi rad opozoril, da smo to nalogo rešili ponavljajoče se način. Ta strašna beseda pomeni samo iskanje člana napredovanja glede na prejšnjo (sosednjo) številko. Spodaj si bomo ogledali druge načine dela z napredovanjem.

Iz te preproste naloge lahko potegnemo pomemben sklep.

Ne pozabite:

Če poznamo vsaj en člen in razliko aritmetične progresije, lahko najdemo katerikoli člen te progresije.

se spomniš Ta preprost zaključek vam omogoča, da rešite večino težav šolskega tečaja na to temo. Vse naloge se vrtijo okoli treh glavnih parametrov: člen aritmetične progresije, razlika progresije, število člena progresije. Vse.

Seveda vsa prejšnja algebra ni preklicana.) Neenakosti, enačbe in druge stvari so povezane z napredovanjem. Ampak glede na samo napredovanje- vse se vrti okoli treh parametrov.

Kot primer si poglejmo nekaj priljubljenih nalog na to temo.

2. Končno aritmetično progresijo zapišite kot niz, če je n=5, d = 0,4 in a 1 = 3,6.

Tukaj je vse preprosto. Vse je že dano. Zapomniti si morate, kako se štejejo členi aritmetičnega napredovanja, jih prešteti in zapisati. Priporočljivo je, da v pogojih nalog ne zamudite besed: "končno" in " n=5". Da ne šteješ, dokler ne boš popolnoma moder.) V tem napredovanju je samo 5 (pet) članov:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Ostaja še zapisati odgovor:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Druga naloga:

3. Ugotovite, ali bo število 7 član aritmetične progresije (a n), če a 1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm... Kdo ve? Kako nekaj določiti?

Kako-kako ... Zapiši napredovanje v obliki serije in poglej, ali bo tam sedmica ali ne! Štejemo:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Zdaj je jasno razvidno, da nas je šele sedem zdrsnil skozi med 6,5 in 7,7! Sedem ni sodilo v naš niz števil in zato sedem ne bo član danega napredovanja.

Odgovor: ne.

In tukaj je problem, ki temelji na resnični različici GIA:

4. Izpisanih je več zaporednih členov aritmetičnega napredovanja:

...; 15; X; 9; 6; ...

Tukaj je serija, napisana brez konca in začetka. Brez številk članov, brez razlike d. V redu je. Za rešitev problema je dovolj, da razumemo pomen aritmetičnega napredovanja. Poglejmo in poglejmo, kaj je mogoče vedeti iz te serije? Kateri so trije glavni parametri?

Članske številke? Tukaj ni niti ene številke.

Ampak tam so tri številke in - pozor! - beseda "dosleden" v stanju. To pomeni, da so številke strogo urejene, brez vrzeli. Ali sta v tej vrsti dva? sosednji znane številke? Ja, imam! To sta 9 in 6. Torej lahko izračunamo razliko aritmetične progresije! Odštej od šest prejšnjištevilo, tj. devet:

Ostale so le malenkosti. Katero število bo prejšnje za X? Petnajst. To pomeni, da lahko X zlahka najdemo s preprostim seštevanjem. Razliko aritmetične progresije dodajte 15:

To je vse. odgovor: x=12

Naslednje probleme rešujemo sami. Opomba: te težave ne temeljijo na formulah. Čisto zato, da razumemo pomen aritmetičnega napredovanja.) Samo zapišemo niz številk in črk, pogledamo in ugotovimo.

5. Poiščite prvi pozitivni člen aritmetične progresije, če je a 5 = -3; d = 1,1.

6. Znano je, da je število 5,5 člen aritmetične progresije (a n), kjer je a 1 = 1,6; d = 1,3. Določite število n tega člena.

7. Znano je, da je v aritmetični progresiji a 2 = 4; a 5 = 15,1. Poiščite 3.

8. Izpisanih je več zaporednih členov aritmetičnega napredovanja:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Poiščite člen napredovanja, označen s črko x.

9. Vlak se je začel premikati s postaje in enakomerno povečeval hitrost za 30 metrov na minuto. Kolikšna bo hitrost vlaka čez pet minut? Odgovorite v km/h.

10. Znano je, da je v aritmetični progresiji a 2 = 5; a 6 = -5. Poiščite 1.

Odgovori (v razsulu): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.

Je vse uspelo? neverjetno! V naslednjih lekcijah lahko obvladate aritmetično napredovanje na višji ravni.

Se ni vse izšlo? Brez težav. V posebnem oddelku 555 so vse te težave razvrščene po delih.) In seveda je opisana preprosta praktična tehnika, ki takoj osvetli rešitev takšnih nalog jasno, jasno, na prvi pogled!

Mimogrede, v uganki vlaka sta dve težavi, ob kateri se ljudje pogosto spotaknejo. Ena je zgolj v smislu napredovanja, druga pa je splošna za morebitne probleme v matematiki in tudi fiziki. To je prevod dimenzij iz ene v drugo. Prikazuje, kako je treba te probleme reševati.

V tej lekciji smo si ogledali osnovni pomen aritmetične progresije in njene glavne parametre. To je dovolj za rešitev skoraj vseh težav na to temo. Dodaj d k številkam, napiši vrsto, vse se bo rešilo.

Rešitev s prsti dobro deluje za zelo kratke dele vrste, kot v primerih v tej vadnici. Če je serija daljša, postanejo izračuni bolj zapleteni. Na primer, če v nalogi 9 v vprašanju zamenjamo "pet minut" na "petintrideset minut" težava se bo znatno poslabšala.)

In obstajajo tudi naloge, ki so v bistvu preproste, vendar absurdne v smislu izračunov, na primer:

Podana je aritmetična progresija (a n). Poiščite 121, če je a 1 =3 in d=1/6.

Pa kaj, ali bomo dodajali 1/6 veliko, velikokrat?! Se lahko ubiješ!?

Lahko.) Če ne poznate preproste formule, s katero lahko takšne naloge rešite v minuti. Ta formula bo v naslednji lekciji. In ta problem je tam rešen. Čez minuto.)

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Vrsta lekcije: učenje nove snovi.

Cilji lekcije:

• širjenje in poglabljanje učenčevega razumevanja problemov, rešenih z aritmetično progresijo; organiziranje iskalnih dejavnosti učencev pri izpeljavi formule za vsoto prvih n členov aritmetične progresije;
• razvijanje zmožnosti samostojnega pridobivanja novega znanja in uporabe že pridobljenega znanja za dosego zadane naloge;
• razvijanje želje in potrebe po posploševanju pridobljenih dejstev, razvijanje samostojnosti.

Naloge:

• povzeti in sistematizirati obstoječe znanje o temi "Aritmetična progresija";
• izpeljati formule za izračun vsote prvih n členov aritmetične progresije;
• naučiti uporabe pridobljenih formul pri reševanju različnih problemov;
• učence opozoriti na postopek iskanja vrednosti številskega izraza.

Oprema:

• kartice z nalogami za delo v skupinah in parih;
• rezultatski list;
• predstavitev"Aritmetična progresija."

I. Posodobitev temeljnega znanja.

1. Samostojno delo v parih.

1. možnost:

Določite aritmetično progresijo. Zapišite ponavljajočo se formulo, ki definira aritmetično progresijo. Navedite primer aritmetične progresije in navedite njeno razliko.

2. možnost:

Zapišite formulo za n-ti člen aritmetičnega napredovanja. Poiščite 100. člen aritmetične progresije ( a n}: 2, 5, 8 …
V tem času dva učenca na zadnji strani table pripravljata odgovore na ista vprašanja.
Učenci ocenijo partnerjevo delo tako, da ga preverijo na tabli. (Oddajo se listi z odgovori.)

2. Igralni trenutek.

Naloga 1.

učiteljica. Pomislil sem na aritmetično progresijo. Zastavite mi le dve vprašanji, da boste po odgovorih lahko hitro imenovali 7. člen tega napredovanja. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ...)

Vprašanja študentov.

1. Kaj je šesti člen napredovanja in kakšna je razlika?
2. Kaj je osmi člen napredovanja in kakšna je razlika?

Če ni več vprašanj, jih lahko učitelj stimulira - "prepoved" na d (razlika), torej ni dovoljeno vprašati, čemu je enaka razlika. Postavljate lahko vprašanja: čemu je enak 6. člen progresije in čemu 8. člen progresije?

Naloga 2.

Na tabli je napisanih 20 številk: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Učitelj stoji s hrbtom obrnjen proti tabli. Učenci pokličejo številko, učitelj pa jo takoj pokliče. Pojasnite, kako lahko to storim?

Učitelj si zapomni formulo za n-ti člen a n = 3n – 2 in z zamenjavo podanih vrednosti n najde ustrezne vrednosti a n.

II. Postavitev učne naloge.

Predlagam rešitev starodavnega problema iz 2. tisočletja pred našim štetjem, najdenega v egipčanskih papirusih.

Naloga:"Naj vam rečejo: razdelite 10 mer ječmena med 10 ljudi, razlika med vsakim in njegovim sosedom je 1/8 mere."

• Kako je ta problem povezan z aritmetično progresijo teme? (Vsaka naslednja oseba prejme 1/8 mere več, kar pomeni, da je razlika d=1/8, 10 oseb, kar pomeni n=10.)
• Kaj mislite, kaj pomeni število 10 ukrepov? (Vsota vseh pogojev napredovanja.)
• Kaj še morate vedeti, da boste lahko in preprosto razdelili ječmen glede na pogoje problema? (Prvi rok napredovanja.)

Cilj lekcije– pridobitev odvisnosti vsote členov progresije od njihovega števila, prvega člena in razlike ter preverjanje, ali je bil problem v starih časih pravilno rešen.

Preden izpeljemo formulo, poglejmo, kako so problem rešili stari Egipčani.

In rešili so ga takole:

1) 10 meritev: 10 = 1 meritev – povprečni delež;
2) 1 merica ∙ = 2 merici – podvojeno povprečje delež.
Podvojeno povprečje delež je vsota deležev 5. in 6. osebe.
3) 2 takta – 1/8 takta = 1 7/8 takta – dvojni delež pete osebe.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – del petine; in tako naprej, lahko najdete delež vsake prejšnje in naslednje osebe.

Dobimo zaporedje:

III. Reševanje problema.

1. Delo v skupinah

Skupina I: Poiščite vsoto 20 zaporednih naravnih števil: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Na splošno

II skupina: Poišči vsoto naravnih števil od 1 do 100 (Legenda o malem Gaussu).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Zaključek:

III skupina: Poišči vsoto naravnih števil od 1 do 21.

Rešitev: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Zaključek:

IV skupina: Poišči vsoto naravnih števil od 1 do 101.

Zaključek:

Ta metoda reševanja obravnavanih problemov se imenuje "Gaussova metoda".

2. Vsaka skupina na tablo predstavi rešitev problema.

3. Posplošitev predlaganih rešitev za poljubno aritmetično progresijo:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Poiščimo to vsoto s podobnim razmišljanjem:

4. Ali smo rešili težavo?(Da.)

IV. Primarno razumevanje in uporaba pridobljenih formul pri reševanju nalog.

1. Preverjanje rešitve starodavne težave s formulo.

2. Uporaba formule pri reševanju različnih problemov.

3. Vaje za razvijanje sposobnosti uporabe formul pri reševanju problemov.

A) Št. 613

Podano: ( a n) – aritmetična progresija;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Najdi: S 1500

rešitev: , a 1 = 1 in 1500 = 1500,

B) Glede na: ( a n) – aritmetična progresija;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Najdi: n
rešitev:

V. Samostojno delo z medsebojnim preverjanjem.

Denis je začel delati kot kurir. V prvem mesecu je njegova plača znašala 200 rubljev, v vsakem naslednjem mesecu pa se je povečala za 30 rubljev. Koliko je skupaj zaslužil v enem letu?

Podano: ( a n) – aritmetična progresija;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Najdi: S 12
rešitev:

Odgovor: Denis je za leto prejel 4380 rubljev.

VI. Navodila za domačo nalogo.

1. Razdelek 4.3 – naučite se izpeljave formule.
2. №№ 585, 623 .
3. Sestavite problem, ki ga je mogoče rešiti s formulo za vsoto prvih n členov aritmetičnega napredovanja.

VII. Povzetek lekcije.

1. Točkovni list

2. Nadaljuj povedi

• Danes sem se v razredu naučil...
• Naučene formule ...
• verjamem, da ...

3. Znaš najti vsoto števil od 1 do 500? Katero metodo boste uporabili za rešitev te težave?

Reference.

1. Algebra, 9. razred. Učbenik za splošne izobraževalne ustanove. Ed. G.V. Dorofejeva. M.: "Razsvetljenje", 2009.

Začetna raven

Aritmetična progresija. Podrobna teorija s primeri (2019)

Zaporedje številk

Torej, usedimo se in začnimo pisati nekaj številk. Na primer:
Napišete lahko poljubne številke in jih je lahko poljubno (v našem primeru jih je). Ne glede na to, koliko števil napišemo, vedno lahko ugotovimo, katera je prva, katera druga in tako naprej do zadnjega, torej jih lahko oštevilčimo. To je primer številskega zaporedja:

Zaporedje številk
Na primer za naše zaporedje:

Dodeljena številka je specifična samo za eno številko v zaporedju. Z drugimi besedami, v zaporedju ni treh drugih številk. Drugo število (tako kot th) je vedno enako.
Število s številom se imenuje th člen zaporedja.

Običajno imenujemo celotno zaporedje z neko črko (na primer,), vsak člen tega zaporedja pa je ista črka z indeksom, ki je enak številu tega člena: .

V našem primeru:

Recimo, da imamo številsko zaporedje, v katerem je razlika med sosednjimi števili enaka in enaka.
Na primer:

itd.
To številsko zaporedje imenujemo aritmetična progresija.
Izraz »progresija« je uvedel rimski avtor Boecij že v 6. stoletju in ga je razumel v širšem smislu kot neskončno številčno zaporedje. Ime "aritmetika" je bilo preneseno iz teorije zveznih razmerij, ki so jo preučevali stari Grki.

To je številsko zaporedje, katerega vsak člen je enak prejšnjemu, dodanemu istemu številu. To število imenujemo razlika aritmetične progresije in je označeno.

Poskusite ugotoviti, katera številska zaporedja so aritmetična progresija in katera ne:

a)
b)
c)
d)

razumeš Primerjajmo naše odgovore:
je aritmetična progresija - b, c.
ni aritmetična progresija - a, d.

Vrnimo se k dani progresiji () in poskusimo najti vrednost njenega th člena. obstaja dva način, kako ga najti.

1. Metoda

Število napredovanja lahko dodajamo prejšnji vrednosti, dokler ne dosežemo th člena napredovanja. Še dobro, da nimamo veliko za povzemati - samo tri vrednosti:

Torej je th člen opisane aritmetične progresije enak.

2. Metoda

Kaj pa, če bi morali najti vrednost th člena napredovanja? Seštevanje bi nam vzelo več kot eno uro in ni dejstvo, da se pri seštevanju številk ne bi zmotili.
Seveda so se matematiki domislili načina, da prejšnji vrednosti ni treba dodajati razlike aritmetične progresije. Pobližje si oglejte narisano sličico ... Zagotovo ste že opazili določen vzorec, in sicer:

Na primer, poglejmo, iz česa je sestavljena vrednost th člena te aritmetične progresije:


Z drugimi besedami:

Poskusite na ta način sami poiskati vrednost člana dane aritmetične progresije.

Ste izračunali? Primerjajte svoje zapiske z odgovorom:

Upoštevajte, da ste dobili popolnoma enako število kot v prejšnji metodi, ko smo prejšnji vrednosti zaporedno dodali člene aritmetičnega napredovanja.
Poskusimo "depersonalizirati" to formulo - postavimo jo v splošno obliko in dobimo:

Aritmetične progresije so lahko naraščajoče ali padajoče.

Povečanje- progresije, pri katerih je vsaka naslednja vrednost členov večja od prejšnje.
Na primer:

Sestopanje- napredovanja, pri katerih je vsaka naslednja vrednost členov manjša od prejšnje.
Na primer:

Izpeljana formula se uporablja pri izračunu členov v naraščajočih in padajočih členih aritmetične progresije.
Preverimo to v praksi.
Dobili smo aritmetično progresijo, sestavljeno iz naslednjih števil: Preverite, kakšno bo th število te aritmetične progresije, če za izračun uporabimo našo formulo:

Od takrat:

Tako smo prepričani, da formula deluje tako v padajoči kot v naraščajoči aritmetični progresiji.
Poskusite sami poiskati th in th člen te aritmetične progresije.

Primerjajmo rezultate:

Lastnost aritmetične progresije

Zakomplicirajmo problem - izpeljali bomo lastnost aritmetične progresije.
Recimo, da imamo naslednji pogoj:
- aritmetična progresija, poiščite vrednost.
Enostavno, rečete in začnete šteti po formuli, ki jo že poznate:

Naj, ah, potem pa:

Povsem res. Izkazalo se je, da najprej najdemo, nato dodamo prvi številki in dobimo, kar iščemo. Če je progresija predstavljena z majhnimi vrednostmi, potem ni nič zapletenega, kaj pa, če so nam v pogoju podane številke? Strinjam se, obstaja možnost napake pri izračunih.
Zdaj pomislite, ali je mogoče ta problem rešiti v enem koraku s katero koli formulo? Seveda da, in to je tisto, kar bomo zdaj poskušali razkriti.

Zahtevani člen aritmetične progresije označimo tako, da nam je formula za iskanje znana - to je ista formula, ki smo jo izpeljali na začetku:
, potem:

• prejšnji izraz napredovanja je:
• naslednji člen napredovanja je:

Povzemimo prejšnje in nadaljnje pogoje napredovanja:

Izkazalo se je, da je vsota prejšnjega in naslednjih členov napredovanja dvojna vrednost člena napredovanja, ki se nahaja med njima. Z drugimi besedami, da bi našli vrednost napredovalnega izraza z znanimi prejšnjimi in zaporednimi vrednostmi, jih morate sešteti in deliti z.

Tako je, dobili smo isto številko. Zavarujmo material. Sami izračunajte vrednost napredovanja, sploh ni težko.

Bravo! O napredovanju veš skoraj vse! Najti je treba samo eno formulo, ki jo je po legendi zlahka izvedel eden največjih matematikov vseh časov, "kralj matematikov" - Karl Gauss ...

Ko je bil Carl Gauss star 9 let, je učitelj, zaposlen s preverjanjem dela učencev v drugih razredih, v razredu zastavil naslednjo nalogo: "Izračunajte vsoto vseh naravnih števil od do (po drugih virih do) vključno." Predstavljajte si učiteljevo presenečenje, ko je eden od njegovih učencev (to je bil Karl Gauss) minuto pozneje dal pravilen odgovor na nalogo, medtem ko je večina pogumnih sošolcev po dolgih izračunih dobila napačen rezultat ...

Mladi Carl Gauss je opazil določen vzorec, ki ga zlahka opazite tudi vi.
Recimo, da imamo aritmetično progresijo, sestavljeno iz -th členov: Najti moramo vsoto teh členov aritmetične progresije. Seveda lahko ročno seštejemo vse vrednosti, a kaj, če naloga zahteva iskanje vsote njegovih členov, kot je iskal Gauss?

Upodabljajmo napredovanje, ki nam je dano. Pobližje si oglejte označena števila in poskusite z njimi izvesti različne matematične operacije.


Ste poskusili? Kaj ste opazili? prav! Njuni vsoti sta enaki

Zdaj pa mi povejte, koliko je takih parov skupaj v napredovanju, ki nam je dano? Seveda natanko polovica vseh številk, tj.
Na podlagi dejstva, da je vsota dveh členov aritmetične progresije enaka, podobni pari pa so enaki, dobimo, da je skupna vsota enaka:
.
Tako bo formula za vsoto prvih členov katerega koli aritmetičnega napredovanja:

Pri nekaterih težavah ne poznamo th-tega člena, poznamo pa razliko napredovanja. Poskusite zamenjati formulo th člena v formulo vsote.
Kaj si dobil?

Bravo! Zdaj pa se vrnimo k problemu, ki je bil zastavljen Carlu Gaussu: sami izračunajte, čemu je enaka vsota števil, ki se začnejo na -to, in vsota števil, ki se začnejo na -to.

Koliko si dobil?
Gauss je ugotovil, da je vsota členov enaka in vsota členov. Ste se tako odločili?

Pravzaprav je formulo za vsoto členov aritmetičnega napredovanja dokazal starogrški znanstvenik Diofant že v 3. stoletju in ves ta čas so duhoviti ljudje v celoti izkoristili lastnosti aritmetičnega napredovanja.
Predstavljajte si na primer Stari Egipt in največji gradbeni podvig tistega časa – gradnjo piramide... Slika prikazuje njeno eno stran.

Kje je tu napredek, pravite? Pozorno poglejte in poiščite vzorec v številu peščenih blokov v vsaki vrsti stene piramide.


Zakaj ne aritmetična progresija? Izračunajte, koliko blokov je potrebnih za gradnjo ene stene, če so bloki opeke postavljeni na dno. Upam, da ne boste šteli med premikanjem prsta po monitorju, se spomnite zadnje formule in vsega, kar smo povedali o aritmetični progresiji?

V tem primeru je napredovanje videti takole: .
Razlika aritmetične progresije.
Število členov aritmetične progresije.
Nadomestimo naše podatke v zadnje formule (izračunajte število blokov na 2 načina).

1. metoda.

Metoda 2.

In zdaj lahko izračunate na monitorju: primerjajte dobljene vrednosti s številom blokov, ki so v naši piramidi. razumeš Bravo, obvladali ste vsoto n-tih členov aritmetičnega napredovanja.
Seveda ne morete zgraditi piramide iz blokov na dnu, ampak iz? Poskusite izračunati, koliko peščenih opek je potrebnih za gradnjo stene s tem pogojem.
Vam je uspelo?
Pravilen odgovor je bloki:

Usposabljanje

Naloge:

1. Maša se pripravlja na poletje. Vsak dan poveča število počepov za. Kolikokrat bo Maša naredila počepe v enem tednu, če je počepe naredila na prvem treningu?
2. Kakšna je vsota vseh lihih števil v.
3. Drvarji pri skladiščenju polen zlagajo tako, da je v vsaki zgornji plasti en polen manj kot v prejšnji. Koliko brun je v enem zidu, če je temelj zidu bruna?

odgovori:

1. Določimo parametre aritmetične progresije. V tem primeru
   (tedni = dnevi).

   odgovor:Čez dva tedna naj bi Maša delala počepe enkrat na dan.

2. Prva liha številka, zadnja številka.
   Razlika aritmetične progresije.
   Število lihih števil je polovica, vendar preverimo to dejstvo s formulo za iskanje th člena aritmetičnega napredovanja:

   Številke vsebujejo liha števila.
   Zamenjajmo razpoložljive podatke v formulo:

   odgovor: Vsota vseh lihih števil v je enaka.

3. Spomnimo se problema o piramidah. Za naš primer je a , ker je vsaka zgornja plast zmanjšana za en dnevnik, potem je skupaj kup plasti, tj.
   Zamenjajmo podatke v formulo:

   odgovor: V zidu so hlodi.

Naj povzamemo

1. - številsko zaporedje, v katerem je razlika med sosednjimi števili enaka in enaka. Lahko se povečuje ali zmanjšuje.
2. Iskanje formule Ti člen aritmetičnega napredovanja je zapisan s formulo - , kjer je število števil v napredovanju.
3. Lastnost članov aritmetične progresije- - kjer je število števil v napredovanju.
4. Vsota členov aritmetične progresije lahko najdete na dva načina:
   
   , kjer je število vrednosti.

ARITMETIČNA PROGRESIJA. SREDNJA NIVO

Zaporedje številk

Usedimo se in začnimo pisati nekaj številk. Na primer:

Napišete lahko poljubne številke in lahko jih je poljubno veliko. Vedno pa lahko povemo, katera je prva, katera druga in tako naprej, se pravi, da jih lahko oštevilčimo. To je primer številskega zaporedja.

Zaporedje številk je niz številk, od katerih je vsakemu mogoče dodeliti edinstveno številko.

Z drugimi besedami, vsako število je mogoče povezati z določenim naravnim številom in edinstvenim. In te številke ne bomo dodelili nobeni drugi številki iz tega niza.

Število s številko imenujemo th člen zaporedja.

Običajno imenujemo celotno zaporedje z neko črko (na primer,), vsak člen tega zaporedja pa je ista črka z indeksom, ki je enak številu tega člena: .

Zelo priročno je, če lahko th člen zaporedja podamo z neko formulo. Na primer, formula

nastavi zaporedje:

In formula je naslednje zaporedje:

Na primer, aritmetična progresija je zaporedje (prvi člen je enak, razlika pa je). Ali (, razlika).

n-ti člen formula

Formulo imenujemo ponavljajoča se, v kateri morate, da bi ugotovili th člen, poznati prejšnjega ali več prejšnjih:

Da bi našli na primer th člen napredovanja s to formulo, bomo morali izračunati prejšnjih devet. Na primer, pustite. Nato:

No, je zdaj jasno, kakšna je formula?

V vsaki vrstici dodamo, pomnožimo z določeno številko. kateri? Zelo preprosto: to je številka trenutnega člana minus:

Zdaj je veliko bolj priročno, kajne? Preverjamo:

Odločite se sami:

V aritmetični progresiji poiščite formulo za n-ti člen in poiščite stoti člen.

rešitev:

Prvi člen je enak. Kakšna je razlika? Evo kaj:

(Zato se imenuje razlika, ker je enaka razliki zaporednih členov napredovanja).

Torej, formula:

Potem je stoti člen enak:

Kolikšna je vsota vseh naravnih števil od do?

Po legendi je veliki matematik Carl Gauss kot 9-letni deček v nekaj minutah izračunal to količino. Opazil je, da sta vsota prvega in zadnjega števila enaka, vsota drugega in predzadnjega je enaka, vsota tretjega in 3. od konca je enaka itd. Koliko je teh parov skupaj? Tako je, točno polovica števila vseh števil, torej. Torej,

Splošna formula za vsoto prvih členov katerega koli aritmetičnega napredovanja bo:

primer:
Poiščite vsoto vseh dvomestnih večkratnikov.

rešitev:

Prva taka številka je ta. Vsako naslednje število dobimo s seštevanjem prejšnjega števila. Tako števila, ki nas zanimajo, tvorijo aritmetično progresijo s prvim členom in razliko.

Formula th člena za to napredovanje:

Koliko členov je v napredovanju, če morajo biti vsi dvomestni?

Zelo enostavno:.

Zadnji člen napredovanja bo enak. Nato vsota:

Odgovor: .

Zdaj se odločite sami:

1. Vsak dan športnik preteče več metrov kot prejšnji dan. Koliko skupno kilometrov bo pretekel v enem tednu, če je prvi dan pretekel km m?
2. Kolesar vsak dan prevozi več kilometrov kot prejšnji dan. Prvi dan je prevozil km. Koliko dni mora potovati, da premaga kilometer? Koliko kilometrov bo prevozil v zadnjem dnevu svojega potovanja?
3. Vsako leto se za toliko zniža cena hladilnika v trgovini. Ugotovite, za koliko se je vsako leto znižala cena hladilnika, če je bil dan v prodajo za rublje šest let kasneje prodan za rublje.

odgovori:

1. Pri tem je najpomembnejše prepoznati aritmetično progresijo in določiti njene parametre. V tem primeru (tedni = dnevi). Določiti morate vsoto prvih členov tega napredovanja:
   .
   odgovor:
2. Tukaj je podano: , je treba najti.
   Očitno morate uporabiti isto formulo vsote kot v prejšnjem problemu:
   .
   Zamenjajte vrednosti:

   Koren očitno ne ustreza, zato je odgovor.
   Izračunajmo pot, prevoženo v zadnjem dnevu, z uporabo formule th člena:
   (km).
   odgovor:

3. Podano: . Najdi: .
   Ne more biti bolj preprosto:
   (drgniti).
   odgovor:

ARITMETIČNA PROGRESIJA. NA KRATKO O GLAVNEM

To je številsko zaporedje, v katerem je razlika med sosednjimi številkami enaka in enaka.

Aritmetična progresija je lahko naraščajoča () in padajoča ().

Na primer:

Formula za iskanje n-tega člena aritmetične progresije

se zapiše s formulo, kjer je število števil v progresiji.

Lastnost članov aritmetične progresije

Omogoča vam enostavno iskanje člena progresije, če so njegovi sosednji členi znani - kje je število števil v progresiji.

Vsota členov aritmetične progresije

Znesek lahko najdete na dva načina:

Kje je število vrednosti.

Kje je število vrednosti.

domov » Vrtec » Poiščite n formulo aritmetične progresije. Algebrsko napredovanje