Da bi razumeli to temo, razmislimo o funkciji, prikazani na grafu // Pokažimo, kako graf funkcije omogoča določanje njenih lastnosti.

Oglejmo si lastnosti funkcije na primeru

Domena definicije funkcije je razpon [ 3,5; 5.5].

Območje vrednosti funkcije je razpon [ 1; 3].

1. Pri x = -3, x = - 1, x = 1,5, x = 4,5 je vrednost funkcije enaka nič.

Vrednost argumenta, pri kateri je vrednost funkcije nič, se imenuje funkcija nič.

// tiste. za to funkcijo so števila -3;-1;1,5; 4,5 so ničle.

2. V intervalih [ 4,5; 3) in (1; 1.5) ter (4.5; 5.5] se graf funkcije f nahaja nad abscisno osjo, v intervalih (-3; -1) in (1.5; 4.5) pod abscisno osjo pa ta je razloženo takole: na intervalih [ 4.5; 3) in (1; 1.5) in (4.5; 5.5) ima funkcija pozitivne vrednosti, na intervalih (-3; -1) in ( 1.5; 4.5) pa negativne.

Vsak od navedenih intervalov (kjer funkcija zavzema vrednosti istega predznaka) se imenuje interval konstantnega predznaka funkcije f.//tj. če na primer vzamemo interval (0; 3), potem to ni interval konstantnega predznaka za to funkcijo.

V matematiki je pri iskanju intervalov konstantnega predznaka funkcije običajno navesti intervale največje dolžine. //Tiste. interval (2; 3) je interval konstantnosti predznaka funkcija f, vendar mora odgovor vsebovati interval [ 4.5; 3), ki vsebuje interval (2; 3).

3. Če se premaknete vzdolž osi x od 4,5 do 2, boste opazili, da gre graf funkcije navzdol, to je, da se vrednosti funkcije zmanjšajo. //V matematiki je običajno reči, da na intervalu [ 4.5; 2] funkcija pada.

Ko x narašča od 2 do 0, gre graf funkcije navzgor, tj. vrednosti funkcije se povečajo. //V matematiki je običajno reči, da na intervalu [ 2; 0] funkcija narašča.

Funkcija f je poklicana, če za kateri koli dve vrednosti argumenta x1 in x2 iz tega intervala, tako da je x2 > x1, velja neenakost f (x2) > f (x1). // ali je funkcija poklicana narašča v določenem intervalu, če za katero koli vrednost argumenta iz tega intervala večja vrednost argumenta ustreza večji vrednosti funkcije.//tj. več kot je x, več je y.

Pokliče se funkcija f zmanjševanje v določenem intervalu, če je za katerikoli dve vrednosti argumenta x1 in x2 iz tega intervala, tako da je x2 > x1, neenakost f(x2) padajoča na nekem intervalu, če je za katero koli vrednost argumenta iz tega intervala večja vrednost argumenta ustreza manjši vrednosti funkcije. // tiste. več kot je x, manj je y.

Če funkcija narašča po celotnem definiranem področju, se jo pokliče povečevanje.

Če funkcija pada v celotni definicijski domeni, jo pokličemo zmanjševanje.

Primer 1. graf naraščajočih oziroma padajočih funkcij.

Primer 2.

Opredelite pojav. Ali linearna funkcija f(x) = 3x + 5 narašča ali pada?

Dokaz. Uporabimo definicije. Naj sta x1 in x2 poljubni vrednosti argumenta in x1< x2., например х1=1, х2=7

Funkcijske ničle
Nič funkcije je vrednost X, pri kateri se funkcija spremeni v 0, to je f(x)=0.

Ničle so točke presečišča grafa funkcije z osjo Oh.

Pariteta funkcije
Funkcija je poklicana tudi, če za katero koli X iz domene definicije velja enakost f(-x) = f(x).

Soda funkcija je simetrična glede na os Oh

Funkcija lihe paritete
Funkcijo imenujemo liho, če za katero koli X iz področja definicije velja enakost f(-x) = -f(x).

Liha funkcija je simetrična glede na izvor.
Funkcijo, ki ni niti soda niti liha, imenujemo splošna funkcija.

Povečanje funkcije
Za funkcijo f(x) pravimo, da narašča, če večja vrednost argumenta ustreza večji vrednosti funkcije, tj.

Padajoča funkcija
Funkcijo f(x) imenujemo padajoča, če večja vrednost argumenta ustreza manjši vrednosti funkcije, tj.

Imenujemo intervale, v katerih funkcija samo pada ali samo narašča intervali monotonosti. Funkcija f(x) ima 3 intervale monotonosti:

Poiščite intervale monotonosti s storitvijo Intervali naraščajoče in padajoče funkcije

Lokalni maksimum
Pika x 0 se imenuje lokalna največja točka, če za katero koli X iz bližine točke x 0 neenakost velja: f(x 0) > f(x)

Lokalni minimum
Pika x 0 se imenuje lokalna minimalna točka, če obstaja X iz bližine točke x 0 neenakost velja: f(x 0)< f(x).

Lokalne maksimalne točke in lokalne minimalne točke imenujemo lokalne ekstremne točke.

lokalne ekstremne točke.

Funkcijska frekvenca
Funkcijo f(x) imenujemo periodična s periodo T, če sploh X velja enakost f(x+T) = f(x).

Intervali predznaka
Intervali, na katerih je funkcija samo pozitivna ali samo negativna, se imenujejo intervali s konstantnim predznakom.

Kontinuiteta delovanja
Funkcija f(x) se imenuje zvezna v točki x 0, če je limita funkcije pri x → x 0 enaka vrednosti funkcije v tej točki, tj. .

Prelomne točke
Točke, kjer je pogoj kontinuitete kršen, se imenujejo prelomne točke.

x 0- prelomna točka.

Splošna shema za risanje funkcij

1. Poišči domeno definicije funkcije D(y).

2. Poiščite točke presečišča grafa funkcij s koordinatnimi osemi.

3. Preglejte funkcijo za sodo ali liho.

4. Preverite periodičnost funkcije.

5. Poiščite intervale monotonosti in ekstremne točke funkcije.

6. Poiščite intervale konveksnosti in prevojne točke funkcije.

7. Poiščite asimptote funkcije.

8. Na podlagi rezultatov raziskave sestavite graf.

primer: Raziščite funkcijo in jo narišite: y = x 3 – 3x

1) Funkcija je definirana na celotni numerični osi, tj. njena definicijska domena je D(y) = (-∞; +∞).

2) Poiščite presečišča s koordinatnimi osemi:

z osjo OX: reši enačbo x 3 – 3x = 0

z osjo OY: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

3) Ugotovite, ali je funkcija soda ali liha:

y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x)

Iz tega sledi, da je funkcija liha.

4) Funkcija je neperiodična.

5) Poiščimo intervale monotonosti in ekstremne točke funkcije: y’ = 3x 2 - 3.

Kritične točke: 3x 2 – 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.

y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2

y(1) = 1 3 – 3*1 = -2

6) Poiščite intervale konveksnosti in prevojne točke funkcije: y'' = 6x

Kritične točke: 6x = 0, x = 0.

y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

7) Funkcija je zvezna, nima asimptot.

8) Na podlagi rezultatov študije bomo zgradili graf funkcije.

Funkcije in njihove lastnosti

Funkcija je eden najpomembnejših matematičnih konceptov.funkcija Imenujejo tako odvisnost spremenljivke y od spremenljivke x, pri kateri vsaki vrednosti spremenljivke x ustreza ena sama vrednost spremenljivke y.

Spremenljivka X klical neodvisna spremenljivka oz argument. Spremenljivka pri klical odvisna spremenljivka. To tudi pravijospremenljivka y je funkcija spremenljivke x. Vrednosti odvisne spremenljivke se imenujejofunkcijske vrednosti.

Če je odvisnost spremenljivkepri iz spremenljivkeX je funkcija, potem jo lahko na kratko zapišemo takole:l= f( x ). (Preberite:pri enakof odX .) Simbolf( x) označujejo vrednost funkcije, ki ustreza vrednosti argumenta, ki je enakX .

Vse vrednosti neodvisne spremenljivke tvorijodomena funkcije . Vse vrednosti, ki jih ima odvisna spremenljivkaobseg delovanja .

Če je funkcija določena s formulo in njena definicijska domena ni določena, se šteje, da je definicijska domena funkcije sestavljena iz vseh vrednosti argumenta, za katere je formula smiselna.

Metode za določanje funkcije:

1.analitična metoda (funkcija je določena z matematično formulo);

2.tabelarna metoda (funkcija je podana s tabelo)

3.deskriptivna metoda (funkcija je določena z besednim opisom)

4. grafična metoda (funkcija je podana z grafom).

Funkcijski graf imenujemo množico vseh točk koordinatne ravnine, katerih abscise so enake vrednostim argumenta, in ordinate - ustrezne vrednosti funkcij.

OSNOVNE LASTNOSTI FUNKCIJ

1. Funkcijske ničle

Nič funkcije je vrednost argumenta, pri kateri je vrednost funkcije enaka nič.

2. Intervali konstantnega predznaka funkcije

Intervali konstantnega znaka funkcije so nizi vrednosti argumentov, na katerih so vrednosti funkcije samo pozitivne ali samo negativne.

3. Naraščajoča (padajoča) funkcija.

Povečanje v določenem intervalu je funkcija tista funkcija, pri kateri večja vrednost argumenta iz tega intervala ustreza večji vrednosti funkcije.

funkcija y = f ( x ) klical povečevanje na intervalu (A; b ), če za kakšno x 1 in x 2 iz tega intervala tako, dax 1 < x 2 , neenakost je resf ( x 1 )< f ( x 2 ).

Sestopanje v določenem intervalu je funkcija tista funkcija, pri kateri večja vrednost argumenta iz tega intervala ustreza manjši vrednosti funkcije.

funkcija pri = f ( x ) klical zmanjševanje na intervalu (A; b ) , če sploh x 1 in x 2 iz tega intervala tako, da x 1 < x 2 , neenakost je resf ( x 1 )> f ( x 2 ).

4. Soda (liha) funkcija

Celotna funkcija - funkcija, katere domena definicije je simetrična glede na izvor in za katero koliX s področja definicije enakostf (- x ) = f ( x ) . Graf sode funkcije je simetričen glede na ordinato.

Na primer, y = x 2 - enakomerna funkcija.

Čudna funkcija- funkcija, katere domena definicije je simetrična glede na izvor in za katero koli X s področja definicije velja enakost f (- x ) = - f (x ). Graf lihe funkcije je simetričen glede na izvor.

Na primer: y = x 3 - čudna funkcija .

Funkcija splošne oblike ni soda ali liha (y = x 2 +x ).

Lastnosti nekaterih funkcij in njihove grafike

1. Linearna funkcija imenujemo funkcija oblike , kje k in b – številke.

Definicijsko področje linearne funkcije je množicaR realna števila.

Graf linearne funkcijepri = kx + b ( k ≠ 0) je premica, ki poteka skozi točko (0;b ) in vzporedno s premicopri = kx .

Ravna, ne vzporedna z osjoOh, je graf linearne funkcije.

Lastnosti linearne funkcije.

1. Kdaj k > 0 funkcija pri = kx + b

2. Kdaj k < 0 funkcija y = kx + b zmanjševanje v domeni definicije.

l = kx + b ( k ≠ 0 ) je celotna številska premica, tj. velikoR realna števila.

pri k = 0 niz funkcijskih vrednostiy = kx + b je sestavljen iz ene številkeb .

3. Kdaj b = 0 in k = 0 funkcija ni niti soda niti liha.

pri k = 0 linearna funkcija ima oblikoy = b in pri b ≠ 0 enako je.

pri k = 0 in b = 0 linearna funkcija ima oblikoy = 0 in je hkrati sodo in liho.

Graf linearne funkcijey = b je premica, ki poteka skozi točko (0; b ) in vzporedno z osjoOh. Upoštevajte, da ko b = 0 funkcijski grafy = b sovpadajo z osjo Oh .

5. Kdaj k > 0 to imamo pri> 0, če in pri< 0 če. pri k < 0 imamo, da je y > 0 če in pri< 0, если .

2. Funkcija l = x 2

Rrealna števila.

Podajanje spremenljivkeX več vrednosti iz domene funkcije in izračun ustreznih vrednostipri po formuli l = x 2 , prikažemo graf funkcije.

Graf funkcije l = x 2 klical parabola.

Lastnosti funkcije y = x 2 .

1. Če X= 0, torej y = 0, tj. Parabola ima skupno točko s koordinatnimi osemi (0; 0) - izhodišče koordinat.

2. Če x ≠ 0 , to pri > 0, tj. vse točke parabole, razen izhodišča, ležijo nad osjo x.

3. Množica funkcijskih vrednostipri = X 2 je funkcija razponapri = X 2 zmanjša.

X

3. Funkcija

Domena te funkcije je funkcija razponal = | x | zmanjša.

7. Funkcija dobi najmanjšo vrednost v točkiX, to je enako 0. Največje vrednosti ni.

6. funkcija

Obseg definicije funkcije: .

Obseg funkcij: .

Graf je hiperbola.

1. Funkcijske ničle.

y ≠ 0, brez ničel.

2. Intervali konstantnosti znakov,

če k > 0, torej pri> 0 pri X > 0; pri < 0 при X < О.

če k < 0, то pri < 0 при X > 0; pri> 0 pri X < 0.

3. Intervali povečanja in zmanjšanja.

če k > 0, potem funkcija pada kot .

če k < 0, то функция возрастает при .

4. Soda (liha) funkcija.

Funkcija je čudna.

Kvadratni trinom

Enačba oblike sekira 2 + bx + c = 0, kjer je a , b in z - nekaj številk ina≠ 0, klicano kvadrat.

V kvadratni enačbisekira 2 + bx + c = 0 koeficient A klical prvi koeficient b - drugi koeficienti, z - brezplačen član.

Formula za korenine kvadratne enačbe je:

.

Izraz se imenuje diskriminator kvadratna enačba in je označena zD .

če D = 0, potem enačba izpolnjuje samo eno število sekira 2 + bx + c = 0. Vendar smo se dogovorili, da ima kvadratna enačba v tem primeru dva enaka realna korena in število samo klical dvojni koren.

če D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

če D > 0, potem ima kvadratna enačba dva različna realna korena.

Naj bo podana kvadratna enačbasekira 2 + bx + c = 0. Ker a≠ 0, nato delimo obe strani te enačbe zA, dobimo enačbo . Verjeti in , pridemo do enačbe , pri kateri je prvi koeficient enak 1. Takšna enačba se imenujedano.

Formula za korenine zgornje kvadratne enačbe je:

.

Enačbe oblike

A x 2 + bx = 0, sekira 2 + s = 0, A x 2 = 0

se imenujejo nepopolne kvadratne enačbe. Nepopolne kvadratne enačbe se rešujejo z faktorizacijo leve strani enačbe.

Vietov izrek .

Vsota korenin kvadratne enačbe je enaka razmerju med drugim koeficientom in prvim, vzetim z nasprotnim predznakom, produkt korenin pa je razmerje med prostim členom in prvim koeficientom, tj.

Konverzni izrek.

Če je vsota katerih koli dveh številX 1 in X 2 enako , njun produkt pa je enak, potem so te številke korenine kvadratne enačbeOh 2 + b x + c = 0.

Funkcija obrazca Oh 2 + b x + c klical kvadratni trinom. Koreni te funkcije so koreni ustrezne kvadratne enačbeOh 2 + b x + c = 0.

Če je diskriminant kvadratnega trinoma večji od nič, potem lahko ta trinom predstavimo kot:

Oh 2 + b x + c = a(x-x 1 )(x-x 2 )

kje X 1 in X 2 - korenine trinoma

Če je diskriminant kvadratnega trinoma enak nič, potem lahko ta trinom predstavimo kot:

Oh 2 + b x + c = a(x-x 1 ) 2

kje X 1 - koren trinoma.

na primer 3x 2 - 12x + 12 = 3(x - 2) 2 .

Enačba oblike Oh 4 + b X 2 + s= 0 se kliče bikvadraten. Uporaba zamenjave spremenljivke s formuloX 2 = l reducira se na kvadratno enačboA l 2 + avtor + c = 0.

Kvadratna funkcija

Kvadratna funkcija je funkcija, ki jo lahko zapišemo s formulo oblikel = sekira 2 + bx + c , Kje x – neodvisna spremenljivka,a , b in c – nekaj številk ina ≠ 0.

Lastnosti funkcije in vrsta njenega grafa so določene predvsem z vrednostmi koeficientaa in diskriminator.

Lastnosti kvadratne funkcije

Področje uporabe:R;

Razpon vrednosti:

pri A > 0 [- D/(4 a); ∞)

pri A < 0 (-∞; - D/(4 a)];

Sodo, liho:

pri b = 0 soda funkcija

pri b ≠ Funkcija 0 ni niti soda niti liha

pri D> 0 dve ničli: ,

pri D= 0 ena ničla:

pri D < 0 нулей нет

Intervali konstantnosti predznaka:

če je a > 0, D> 0, torej

če je a > 0, D= 0, torej

eče je a > 0, D < 0, то

če a< 0, D> 0, torej

če a< 0, D= 0, torej

če a< 0, D < 0, то

- Intervali monotonije

za a > 0

pri a< 0

Graf kvadratne funkcije jeparabola – krivulja, ki je simetrična glede na ravno črto ki poteka skozi oglišče parabole (oglišče parabole je presečišče parabole s simetrijsko osjo).

Za graf kvadratne funkcije potrebujete:

1) poiščite koordinate vrha parabole in jo označite v koordinatni ravnini;

2) zgradite več točk, ki pripadajo paraboli;

3) povežite označene točke z gladko črto.

Koordinate vrha parabole so določene s formulami:

; .

Pretvarjanje grafov funkcij

1. Raztezanje grafikay = x 2 vzdolž osipri V|a| krat (ob|a| < 1 je stiskanje 1/|a| enkrat).

Če in< 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси X (veje parabole bodo usmerjene navzdol).

rezultat: graf funkcijey = ah 2 .

2. Vzporedni prenos funkcijska grafikay = ah 2 vzdolž osiX na| m | (na desno, ko

m > 0 in v levo koT< 0).

Rezultat: graf funkcijey = a(x - t) 2 .

3. Vzporedni prenos funkcijska grafika vzdolž osipri na| n | (gor obp> 0 in navzdol prin< 0).

Rezultat: graf funkcijey = a(x - t) 2 + str.

Kvadratne neenakosti

Neenakosti oblikeOh 2 + b x + c > 0 inOh 2 + bx + c< 0, kjeX - spremenljivka,a , b inz - nekaj številk ina≠ 0 imenujemo neenakosti druge stopnje z eno spremenljivko.

Reševanje neenakosti druge stopnje v eni spremenljivki si lahko predstavljamo kot iskanje intervalov, v katerih ima ustrezna kvadratna funkcija pozitivne ali negativne vrednosti.

Za reševanje neenačb oblikeOh 2 + bx + c > 0 inOh 2 + bx + c< 0 nadaljujte na naslednji način:

1) poiščite diskriminant kvadratnega trinoma in ugotovite, ali ima trinom korenine;

2) če ima trinom korenine, jih označite na osiX in skozi označene točke je shematsko narisana parabola, katere veje so usmerjene navzgorA > 0 ali navzdol, koA< 0; če trinom nima korenin, potem shematično upodabljajte parabolo, ki se nahaja v zgornji polravnini priA > 0 ali nižje priA < 0;

3) najdemo na osiX intervali, pri katerih se točke parabole nahajajo nad osjoX (če je neenakost rešenaOh 2 + bx + c > 0) ali pod osjoX (če je neenakost rešenaOh 2 + bx + c < 0).

primer:

Rešimo neenačbo .

Upoštevajte funkcijo

Njegov graf je parabola, katere veje so usmerjene navzdol (od ).

Ugotovimo, kako se graf nahaja glede na osX. Rešimo enačbo za to . To razumemox = 4. Enačba ima en sam koren. To pomeni, da se parabola dotika osiX.

S shematskim prikazom parabole ugotovimo, da ima funkcija negativne vrednosti za katero koliX, razen 4.

Odgovor lahko zapišemo takole:X - poljubno število, ki ni enako 4.

Reševanje neenačb z intervalno metodo

diagram rešitve

1. Poiščite ničle funkcijo na levi strani neenakosti.

2. Označi položaj ničel na številski osi in določi njihovo množino (Ček i je sodo, potem je nič sode mnogokratnosti, ček i liho je liho).

3. Poiščite znake funkcije v intervalih med njenimi ničlami, začenši od skrajno desnega intervala: v tem intervalu je funkcija na levi strani neenakosti vedno pozitivna za dano obliko neenačb. Pri prehodu od desne proti levi skozi ničlo funkcije iz enega intervala v sosednji je treba upoštevati:

če je nič liho večkratnost, predznak funkcije se spremeni,

če je nič soda večkratnosti, se predznak funkcije ohrani.

4. Zapiši odgovor.

primer:

(x + 6) (x + 1) (X - 4) < 0.

Najdene ničle funkcij. Enakopravni so:X 1 = -6; X 2 = -1; X 3 = 4.

Na koordinatni premici označimo ničle funkcijef ( x ) = (x + 6) (x + 1) (X - 4).

Poiščimo predznake te funkcije v vsakem od intervalov (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) in

Iz slike je razvidno, da je množica rešitev neenačbe unija intervalov (-∞; -6) in (-1; 4).

Odgovor: (-∞ ; -6) in (-1; 4).

Obravnavana metoda za reševanje neenačb se imenujeintervalna metoda.

Predstavljene so lastnosti in grafi funkcij moči za različne vrednosti eksponenta. Osnovne formule, področja definicije in množice vrednosti, pariteta, monotonost, naraščanje in padanje, ekstremi, konveksnost, prevoji, presečišča s koordinatnimi osemi, limiti, partikularne vrednosti.

Formule s potenčnimi funkcijami

Na področju definiranja potenčne funkcije y = x p veljajo naslednje formule:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Lastnosti potenčnih funkcij in njihovih grafov

Potenčna funkcija z eksponentom, enakim nič, p = 0

Če je eksponent potenčne funkcije y = x p enak nič, p = 0, potem je potenčna funkcija definirana za vse x ≠ 0 in je konstanta enaka ena:
y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Potenčna funkcija z naravnim lihim eksponentom, p = n = 1, 3, 5, ...

Razmislite o potenčni funkciji y = x p = x n z naravnim lihim eksponentom n = 1, 3, 5, ... .

Ta indikator lahko zapišemo tudi v obliki: n = 2k + 1, kjer je k = 0, 1, 2, 3, ... nenegativno celo število. Spodaj so lastnosti in grafi takih funkcij.

Področje uporabe: -∞ < x < ∞
Graf potenčne funkcije y = x n z naravnim lihim eksponentom za različne vrednosti eksponenta n = 1, 3, 5, .... -∞ < y < ∞
Več pomenov: Pariteta:
liho, y(-x) = - y(x) enobarvno:
monotono narašča Ekstremi:
št
Konveksno:< x < 0 выпукла вверх
pri -∞< x < ∞ выпукла вниз
ob 0 Prevojne točke:
Prevojne točke:
x = 0, y = 0
;
Omejitve:
Zasebne vrednosti:
pri x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
pri x = 0, y(0) = 0 n = 0
za x = 1 je y(1) = 1 n = 1
Povratna funkcija:
za n = 1 je funkcija inverzna: x = y

za n ≠ 1 je inverzna funkcija koren stopnje n:

Potenčna funkcija z naravnim sodim eksponentom, p = n = 2, 4, 6, ...

Razmislite o potenčni funkciji y = x p = x n z naravnim sodim eksponentom n = 2, 4, 6, ... .

Področje uporabe: -∞ < x < ∞
Graf potenčne funkcije y = x n z naravnim lihim eksponentom za različne vrednosti eksponenta n = 1, 3, 5, .... Ta indikator lahko zapišemo tudi v obliki: n = 2k, kjer je k = 1, 2, 3, ... - naravno. Lastnosti in grafi takih funkcij so podani spodaj.< ∞
Več pomenov: Graf potenčne funkcije y = x n z naravnim sodim eksponentom za različne vrednosti eksponenta n = 2, 4, 6, ....
liho, y(-x) = - y(x)
0 ≤ y
sodo, y(-x) = y(x)
monotono narašča za x ≤ 0 monotono pada
št za x ≥ 0 monotono narašča
ob 0 Ekstremi:
najmanj, x = 0, y = 0 Prevojne točke:
x = 0, y = 0
;
Omejitve:
konveksno navzdol Presečišča s koordinatnimi osemi:
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
pri x = 0, y(0) = 0 n = 0
za x = 1 je y(1) = 1 n = 1
pri x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1

za n = 2, kvadratni koren:

Razmislite o potenčni funkciji y = x p = x n s celim negativnim eksponentom n = -1, -2, -3, ... .

Če postavimo n = -k, kjer je k = 1, 2, 3, ... naravno število, potem ga lahko predstavimo kot:

Graf potenčne funkcije y = x n z negativnim celim eksponentom za različne vrednosti eksponenta n = -1, -2, -3, ... .

Lihi eksponent, n = -1, -3, -5, ...

Področje uporabe: Spodaj so lastnosti funkcije y = x n z lihim negativnim eksponentom n = -1, -3, -5, ....
Graf potenčne funkcije y = x n z naravnim lihim eksponentom za različne vrednosti eksponenta n = 1, 3, 5, .... x ≠ 0
Več pomenov: Pariteta:
liho, y(-x) = - y(x) y ≠ 0
monotono narašča Ekstremi:
št
monotono pada< 0 : выпукла вверх
pri x
ob 0 Ekstremi:
najmanj, x = 0, y = 0 Ekstremi:
za x > 0: konveksno navzdol
monotono pada< 0, y < 0
znak:
x = 0, y = 0
; ; ;
Omejitve:
pri x = 0, y(0) = 0 n = 0
za x = 1 je y(1) = 1 n = 1
za x > 0, y > 0
ko je n = -1,< -2 ,

pri n

Sodi eksponent, n = -2, -4, -6, ...

Področje uporabe: Spodaj so lastnosti funkcije y = x n z lihim negativnim eksponentom n = -1, -3, -5, ....
Graf potenčne funkcije y = x n z naravnim lihim eksponentom za različne vrednosti eksponenta n = 1, 3, 5, .... Spodaj so lastnosti funkcije y = x n s sodim negativnim eksponentom n = -2, -4, -6, ....
Več pomenov: Graf potenčne funkcije y = x n z naravnim sodim eksponentom za različne vrednosti eksponenta n = 2, 4, 6, ....
liho, y(-x) = - y(x)
monotono pada< 0 : монотонно возрастает
y > 0
monotono narašča Ekstremi:
št za x ≥ 0 monotono narašča
ob 0 Ekstremi:
najmanj, x = 0, y = 0 Ekstremi:
za x > 0: konveksno navzdol Spodaj so lastnosti funkcije y = x n s sodim negativnim eksponentom n = -2, -4, -6, ....
x = 0, y = 0
; ; ;
Omejitve:
pri x = 0, y(0) = 0 n = 0
za x = 1 je y(1) = 1 n = 1
za x > 0: monotono pada
ko je n = -1,< -2 ,

pri n = -2,

Potenčna funkcija z racionalnim (delnim) eksponentom

Razmislite o potenčni funkciji y = x p z racionalnim (ulomkom) eksponentom, kjer je n celo število, m > 1 pa naravno število. Poleg tega n, m nimata skupnih deliteljev.

Imenovalec ulomkov indikatorja je liho

Naj bo imenovalec ulomkovega eksponenta lih: m = 3, 5, 7, ... . V tem primeru je funkcija moči x p definirana za pozitivne in negativne vrednosti argumenta x.< 0

Oglejmo si lastnosti takih potenčnih funkcij, ko je eksponent p v določenih mejah.

P-vrednost je negativna, p

Naj bo racionalni eksponent (z lihim imenovalcem m = 3, 5, 7, ...) manjši od nič: .

Grafi funkcij moči z racionalnim negativnim eksponentom za različne vrednosti eksponenta, kjer je m = 3, 5, 7, ... - liho.

Področje uporabe: Spodaj so lastnosti funkcije y = x n z lihim negativnim eksponentom n = -1, -3, -5, ....
Graf potenčne funkcije y = x n z naravnim lihim eksponentom za različne vrednosti eksponenta n = 1, 3, 5, .... x ≠ 0
Več pomenov: Pariteta:
liho, y(-x) = - y(x) y ≠ 0
monotono narašča Ekstremi:
št
monotono pada< 0 : выпукла вверх
pri x
ob 0 Ekstremi:
najmanj, x = 0, y = 0 Ekstremi:
za x > 0: konveksno navzdol
monotono pada< 0, y < 0
znak:
x = 0, y = 0
; ; ;
Omejitve:
Lihi števec, n = -1, -3, -5, ...
pri x = 0, y(0) = 0 n = 0
za x = 1 je y(1) = 1 n = 1

Predstavimo lastnosti potenčne funkcije y = x p z racionalnim negativnim eksponentom, kjer je n = -1, -3, -5, ... liho negativno celo število, m = 3, 5, 7 ... je liho naravno celo število.

pri x = -1, y(-1) = (-1) n = -1

Področje uporabe: Spodaj so lastnosti funkcije y = x n z lihim negativnim eksponentom n = -1, -3, -5, ....
Graf potenčne funkcije y = x n z naravnim lihim eksponentom za različne vrednosti eksponenta n = 1, 3, 5, .... Spodaj so lastnosti funkcije y = x n s sodim negativnim eksponentom n = -2, -4, -6, ....
Več pomenov: Graf potenčne funkcije y = x n z naravnim sodim eksponentom za različne vrednosti eksponenta n = 2, 4, 6, ....
liho, y(-x) = - y(x)
monotono pada< 0 : монотонно возрастает
y > 0
monotono narašča Ekstremi:
št za x ≥ 0 monotono narašča
ob 0 Ekstremi:
najmanj, x = 0, y = 0 Ekstremi:
za x > 0: konveksno navzdol Spodaj so lastnosti funkcije y = x n s sodim negativnim eksponentom n = -2, -4, -6, ....
x = 0, y = 0
; ; ;
Omejitve:
Sodi števec, n = -2, -4, -6, ...
pri x = 0, y(0) = 0 n = 0
za x = 1 je y(1) = 1 n = 1

Lastnosti potenčne funkcije y = x p z racionalnim negativnim eksponentom, kjer je n = -2, -4, -6, ... sodo negativno celo število, m = 3, 5, 7 ... je liho naravno celo število .< p < 1

pri x = -1, y(-1) = (-1) n = 1< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

P-vrednost je pozitivna, manjša od ena, 0

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Področje uporabe: -∞ < x < +∞
Graf potenčne funkcije y = x n z naravnim lihim eksponentom za različne vrednosti eksponenta n = 1, 3, 5, .... -∞ < y < +∞
Več pomenov: Pariteta:
liho, y(-x) = - y(x) enobarvno:
monotono narašča Ekstremi:
št
monotono pada< 0 : выпукла вниз
Graf potenčne funkcije z racionalnim eksponentom (0
ob 0 Prevojne točke:
najmanj, x = 0, y = 0 Prevojne točke:
za x > 0: konveksno navzdol
monotono pada< 0, y < 0
znak:
x = 0, y = 0
;
Omejitve:
Lihi števec, n = 1, 3, 5, ...
za x > 0: konveksno navzgor
pri x = -1, y(-1) = -1
za x = 1 je y(1) = 1 n = 1

pri x = 0 je y(0) = 0

za x = 1, y(1) = 1< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Področje uporabe: -∞ < x < +∞
Graf potenčne funkcije y = x n z naravnim lihim eksponentom za različne vrednosti eksponenta n = 1, 3, 5, .... Ta indikator lahko zapišemo tudi v obliki: n = 2k, kjer je k = 1, 2, 3, ... - naravno. Lastnosti in grafi takih funkcij so podani spodaj.< +∞
Več pomenov: Graf potenčne funkcije y = x n z naravnim sodim eksponentom za različne vrednosti eksponenta n = 2, 4, 6, ....
liho, y(-x) = - y(x)
monotono pada< 0 : монотонно убывает
za x > 0: monotono narašča
monotono narašča najmanj pri x = 0, y = 0
št konveksno navzgor za x ≠ 0
ob 0 Ekstremi:
najmanj, x = 0, y = 0 Prevojne točke:
za x > 0: konveksno navzdol za x ≠ 0, y > 0
x = 0, y = 0
;
Omejitve:
pri x = -1, y(-1) = 1
za x > 0: konveksno navzgor
pri x = -1, y(-1) = -1
za x = 1 je y(1) = 1 n = 1

Indeks p je večji od ena, p > 1

Graf potenčne funkcije z racionalnim eksponentom (p> 1) za različne vrednosti eksponenta, kjer je m = 3, 5, 7, ... - liho.

Lihi števec, n = 5, 7, 9, ...

Lastnosti potenčne funkcije y = x p z racionalnim eksponentom, večjim od ena: .

Področje uporabe: -∞ < x < ∞
Graf potenčne funkcije y = x n z naravnim lihim eksponentom za različne vrednosti eksponenta n = 1, 3, 5, .... -∞ < y < ∞
Več pomenov: Pariteta:
liho, y(-x) = - y(x) enobarvno:
monotono narašča Ekstremi:
št
Konveksno:< x < 0 выпукла вверх
pri -∞< x < ∞ выпукла вниз
ob 0 Prevojne točke:
najmanj, x = 0, y = 0 Prevojne točke:
x = 0, y = 0
;
Omejitve:
Lihi števec, n = 1, 3, 5, ...
za x > 0: konveksno navzgor
pri x = -1, y(-1) = -1
za x = 1 je y(1) = 1 n = 1

Kjer je n = 5, 7, 9, ... - liho naravno, m = 3, 5, 7 ... - liho naravno.

Sodi števec, n = 4, 6, 8, ...

Področje uporabe: -∞ < x < ∞
Graf potenčne funkcije y = x n z naravnim lihim eksponentom za različne vrednosti eksponenta n = 1, 3, 5, .... Ta indikator lahko zapišemo tudi v obliki: n = 2k, kjer je k = 1, 2, 3, ... - naravno. Lastnosti in grafi takih funkcij so podani spodaj.< ∞
Več pomenov: Graf potenčne funkcije y = x n z naravnim sodim eksponentom za različne vrednosti eksponenta n = 2, 4, 6, ....
liho, y(-x) = - y(x)
monotono pada< 0 монотонно убывает
Lastnosti potenčne funkcije y = x p z racionalnim eksponentom, večjim od ena: .
monotono narašča najmanj pri x = 0, y = 0
št za x ≥ 0 monotono narašča
ob 0 Ekstremi:
najmanj, x = 0, y = 0 Prevojne točke:
x = 0, y = 0
;
Omejitve:
pri x = -1, y(-1) = 1
za x > 0: konveksno navzgor
pri x = -1, y(-1) = -1
za x = 1 je y(1) = 1 n = 1

Kjer je n = 4, 6, 8, ... - sodo naravno, m = 3, 5, 7 ... - liho naravno.

za x > 0 monotono narašča

Imenovalec ulomkov je sod

Imenovalec ulomkovega eksponenta naj bo sod: m = 2, 4, 6, ... . V tem primeru funkcija moči x p ni definirana za negativne vrednosti argumenta. Njegove lastnosti sovpadajo z lastnostmi potenčne funkcije z iracionalnim eksponentom (glej naslednji razdelek).

Potenčna funkcija z iracionalnim eksponentom

Razmislite o potenčni funkciji y = x p z iracionalnim eksponentom p.< 0

Področje uporabe: Lastnosti takšnih funkcij se od zgoraj obravnavanih razlikujejo po tem, da niso definirane za negativne vrednosti argumenta x.
Graf potenčne funkcije y = x n z naravnim lihim eksponentom za različne vrednosti eksponenta n = 1, 3, 5, .... Spodaj so lastnosti funkcije y = x n s sodim negativnim eksponentom n = -2, -4, -6, ....
liho, y(-x) = - y(x) y ≠ 0
št za x ≥ 0 monotono narašča
ob 0 Ekstremi:
najmanj, x = 0, y = 0 Ekstremi:
x = 0, y = 0 ;
Pri pozitivnih vrednostih argumenta so lastnosti odvisne le od vrednosti eksponenta p in niso odvisne od tega, ali je p celo število, racionalen ali iracionalen. y = x p za različne vrednosti eksponenta p.

Potenčna funkcija z negativnim eksponentom p

x > 0< p < 1

Področje uporabe: Zasebni pomen:
Graf potenčne funkcije y = x n z naravnim lihim eksponentom za različne vrednosti eksponenta n = 1, 3, 5, .... Za x = 1 je y(1) = 1 p = 1
liho, y(-x) = - y(x) enobarvno:
št Potenčna funkcija s pozitivnim eksponentom p > 0
ob 0 Ekstremi:
najmanj, x = 0, y = 0 Prevojne točke:
x = 0, y = 0
Omejitve: Indikator je manjši od ene 0
y = x p za različne vrednosti eksponenta p.

x ≥ 0

Področje uporabe: Zasebni pomen:
Graf potenčne funkcije y = x n z naravnim lihim eksponentom za različne vrednosti eksponenta n = 1, 3, 5, .... Za x = 1 je y(1) = 1 p = 1
liho, y(-x) = - y(x) enobarvno:
št za x ≥ 0 monotono narašča
ob 0 Ekstremi:
najmanj, x = 0, y = 0 Prevojne točke:
x = 0, y = 0
Omejitve: Indikator je manjši od ene 0
y = x p za različne vrednosti eksponenta p.

y ≥ 0
konveksno navzgor

domov » Urgenca, BP in drugi podobni » Kaj pomeni našteti lastnosti funkcije. Funkcija in njene lastnosti