Primer rešitve je število na minus potenco. Negativna potenca števila: pravila sestavljanja in primeri

V tem članku bomo ugotovili, kaj je to moč števila. Tukaj bomo podali definicije moči števila, medtem ko bomo podrobno obravnavali vse možne eksponente, začenši z naravnim eksponentom in konča z iracionalnim. V gradivu boste našli veliko primerov diplom, ki pokrivajo vse podrobnosti, ki se pojavijo.

Navigacija po straneh.

Potenca z naravnim eksponentom, kvadrat števila, kub števila

Začnimo z. Če pogledamo naprej, povejmo, da je za a podana definicija potence števila a z naravnim eksponentom n, ki jo bomo imenovali diplomska osnova, in n, ki ga bomo imenovali eksponent. Upoštevamo tudi, da je stopnja z naravnim eksponentom določena s produktom, zato morate za razumevanje spodnjega gradiva razumeti množenje števil.

Opredelitev.

Potenca števila z naravnim eksponentom n je izraz oblike a n, katerega vrednost je enaka produktu n faktorjev, od katerih je vsak enak a, to je .
Zlasti potenca števila a z eksponentom 1 je samo število a, to je a 1 =a.

Takoj je vredno omeniti pravila za branje diplom. Univerzalni način za branje zapisa a n je: "a na potenco n". V nekaterih primerih so sprejemljive tudi naslednje možnosti: "a na n-to potenco" in "n-ta potenca a". Na primer, vzemimo potenco 8 12, to je "osem na potenco dvanajst" ali "osem na dvanajsto potenco" ali "dvanajsta potenca osem".

Druga potenca števila, kot tudi tretja potenca števila, imata svoja imena. Druga potenca števila se imenuje kvadrat številke, na primer, 7 2 se bere kot "sedem na kvadrat" ali "kvadrat števila sedem." Tretja potenca števila se imenuje kubna števila, na primer, 5 3 lahko beremo kot "pet kock" ali lahko rečemo "kocka števila 5".

Čas je za prinesti primeri stopinj z naravnimi eksponenti. Začnimo s stopnjo 5 7, tukaj je 5 osnova stopnje, 7 pa eksponent. Navedimo še en primer: 4,32 je osnova, naravno število 9 pa eksponent (4,32) 9 .

Upoštevajte, da je v zadnjem primeru osnova potence 4,32 zapisana v oklepajih: v izogib neskladjem bomo v oklepaje zapisali vse osnove potence, ki se razlikujejo od naravnih števil. Kot primer navajamo naslednje stopnje z naravnimi eksponenti , njuni osnovi nista naravna števila, zato sta zapisani v oklepaju. No, zaradi popolne jasnosti bomo na tej točki prikazali razliko v zapisih v obliki (−2) 3 in −2 3. Izraz (−2) 3 je potenca števila −2 z naravnim eksponentom 3, izraz −2 3 (lahko ga zapišemo kot −(2 3) ) ustreza številu, vrednosti potence 2 3 .

Upoštevajte, da obstaja zapis za potenco števila a z eksponentom n v obliki a^n. Poleg tega, če je n večvredno naravno število, potem je eksponent vzet v oklepajih. Na primer, 4^9 je še en zapis za potenco 4 9 . Tukaj je še nekaj primerov pisanja stopinj z uporabo simbola “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . V nadaljevanju bomo uporabljali predvsem stopenjski zapis oblike a n .

Eden od problemov, inverznih k dvigovanju na potenco z naravnim eksponentom, je problem iskanja osnove potence iz znane vrednosti potence in znanega eksponenta. Ta naloga vodi do.

Znano je, da je množica racionalnih števil sestavljena iz celih števil in ulomkov, vsak ulomek pa lahko predstavimo kot pozitiven ali negativen navadni ulomek. V prejšnjem odstavku smo definirali stopnjo s celoštevilskim eksponentom, zato moramo, da dopolnimo definicijo stopnje z racionalnim eksponentom, pomen stopnje števila a z delnim eksponentom m/n, kjer m je celo število in n je naravno število. Naredimo to.

Oglejmo si stopnjo z delnim eksponentom oblike . Da lastnost moči na moč ostane veljavna, mora veljati enakost . Če upoštevamo nastalo enakost in kako smo jo določili , potem je logično, da jo sprejmemo pod pogojem, da je za dane m, n in a izraz smiseln.

Enostavno je preveriti, da veljajo vse lastnosti stopnje s celim eksponentom (to je bilo storjeno v razdelku Lastnosti stopnje z racionalnim eksponentom).

Zgornje razmišljanje nam omogoča naslednje sklep: če je podano z m, n in a je izraz smiseln, potem se potenca a z ulomljenim eksponentom m/n imenuje n-ti koren iz a na potenco m.

Ta izjava nas približa definiciji stopnje z delnim eksponentom. Vse kar ostane je, da opišemo, pri katerih m, n in a je izraz smiseln. Glede na omejitve, ki veljajo za m, n in a, obstajata dva glavna pristopa.

Najlažji način je naložiti omejitev na a tako, da vzamemo a≥0 za pozitivni m in a>0 za negativni m (ker za m≤0 stopnja 0 od m ni definirana). Nato dobimo naslednjo definicijo stopnje z delnim eksponentom.

Opredelitev.

Potenca pozitivnega števila a z ulomkom eksponenta m/n, kjer je m celo število in n naravno število, imenujemo n-ti koren števila a na potenco m, to je .

Določena je tudi delna moč ničle z edino opozorilo, da mora biti indikator pozitiven.

Opredelitev.

Potenca ničle z delnim pozitivnim eksponentom m/n, kjer je m pozitivno celo število in n naravno število, je definiran kot .
Kadar stopnja ni določena, torej stopnja števila nič z ulomljenim negativnim eksponentom ni smiselna.

Opozoriti je treba, da je pri tej definiciji stopnje z delnim eksponentom eno opozorilo: za nekatere negativne a in nekatere m in n je izraz smiseln, te primere pa smo zavrgli z uvedbo pogoja a≥0. Na primer, vnosi so smiselni ali , in definicija, podana zgoraj, nas sili, da rečemo, da potence z delnim eksponentom oblike nima smisla, saj osnova ne sme biti negativna.

Drug pristop k določanju stopnje z delnim eksponentom m/n je ločeno upoštevanje sodih in lihih eksponentov korena. Ta pristop zahteva dodaten pogoj: potenca števila a, katerega eksponent je , velja za potenco števila a, katerega eksponent je ustrezen nezmanjšani ulomek (pomembnost tega pogoja bomo pojasnili spodaj ). To pomeni, da če je m/n nezmanjšani ulomek, se za vsako naravno število k stopnja najprej nadomesti z .

Za sodo n in pozitivno m je izraz smiseln za kateri koli nenegativen a (sodi koren negativnega števila ni smiseln za negativno m, število a mora biti še vedno različno od nič (sicer bo prišlo do deljenja). z ničlo). Za liho n in pozitivno m je lahko število a poljubno (koren lihe stopnje je definiran za katero koli realno število), za negativno m pa mora biti število a različno od nič (tako da ni deljenja z nič).

Zgornje razmišljanje nas pripelje do te definicije stopnje z delnim eksponentom.

Opredelitev.

Naj bo m/n nezmanjšljiv ulomek, m celo število in n naravno število. Za vsak pomanjšani ulomek se stopnja nadomesti z . Potenca števila z nezmanjšanim ulomkom eksponentom m/n je za

Pojasnimo, zakaj stopnjo z zmanjšanim delnim eksponentom najprej zamenjamo s stopnjo z nezmanjšanim eksponentom. Če bi preprosto definirali stopnjo kot , in ne bi naredili pridržka glede nezmanjšanosti ulomka m/n, potem bi se soočili s podobnimi situacijami: ker je 6/10 = 3/5, mora enakost veljati , Ampak , A .

Začetna raven

Stopnja in njene lastnosti. Obsežen vodnik (2019)

Zakaj so potrebne diplome? Kje jih boste potrebovali? Zakaj bi si morali vzeti čas in jih preučiti?

Če želite izvedeti vse o diplomah, za kaj jih potrebujete in kako svoje znanje uporabiti v vsakdanjem življenju, preberite ta članek.

In, seveda, poznavanje diplom vas bo približalo uspešnemu opravljanju enotnega državnega izpita ali enotnega državnega izpita in vstopu na univerzo vaših sanj.

Gremo ... (Gremo!)

Pomembna opomba! Če namesto formul vidite gobbledygook, počistite predpomnilnik. Če želite to narediti, pritisnite CTRL+F5 (v sistemu Windows) ali Cmd+R (v sistemu Mac).

ZAČETNA STOPNJA

Potenciranje je matematična operacija tako kot seštevanje, odštevanje, množenje ali deljenje.

Zdaj bom vse razložil v človeškem jeziku z zelo preprostimi primeri. Bodite previdni. Primeri so osnovni, vendar pojasnjujejo pomembne stvari.

Začnimo z dodatkom.

Tukaj ni kaj razlagati. Saj že vse veš: osem nas je. Vsak ima dve steklenici kole. Koliko cole je tam? Tako je - 16 steklenic.

Zdaj pa množenje.

Isti primer s colo lahko zapišemo drugače: . Matematiki so zviti in leni ljudje. Najprej opazijo neke vzorce, nato pa ugotovijo, kako jih hitreje »prešteti«. V našem primeru so opazili, da ima vsak od osmih ljudi enako število steklenic kole, in prišli do tehnike, imenovane množenje. Strinjam se, da je lažje in hitreje kot.

Če želite šteti hitreje, lažje in brez napak, si morate le zapomniti tabela množenja. Seveda lahko vse naredite počasneje, težje in z napakami! ampak...

Tukaj je tabela množenja. ponovi

In še ena, lepša:

Katere druge pametne trike za štetje so si izmislili leni matematiki? desno - povišanje števila na potenco.

Dvig števila na potenco

Če morate število pomnožiti petkrat samo s seboj, potem matematiki pravijo, da morate to število dvigniti na peto potenco. Na primer,. Matematiki se spominjajo, da je dva na peto potenco ... In takšne probleme rešujejo v svojih glavah – hitreje, lažje in brez napak.

Vse kar morate storiti je spomnite se, kaj je v tabeli potenc števil označeno z barvo. Verjemite, to vam bo zelo olajšalo življenje.

Mimogrede, zakaj se imenuje druga stopnja? kvadratštevilke, in tretji - kocka? Kaj to pomeni? Zelo dobro vprašanje. Zdaj boste imeli kvadrate in kocke.

Primer iz resničnega življenja #1

Začnimo s kvadratom ali drugo potenco števila.

Predstavljajte si kvadratni bazen, ki meri en meter x en meter. Bazen je na vaši dachi. Vroče je in zelo si želim plavati. Ampak ... bazen nima dna! Dno bazena morate pokriti s ploščicami. Koliko ploščic potrebujete? Da bi to ugotovili, morate poznati površino dna bazena.

S prstom lahko enostavno izračunate, da je dno bazena sestavljeno iz meter za meter kock. Če imate ploščice meter krat meter, boste potrebovali kose. Enostavno... Kje ste pa že videli take ploščice? Ploščica bo najverjetneje cm za cm In potem vas bo mučilo "štetje s prstom". Potem morate pomnožiti. Tako bomo na eno stran dna bazena namestili ploščice (kose), na drugo pa tudi ploščice. Pomnožite z in dobite ploščice ().

Ste opazili, da smo za določitev površine dna bazena isto število pomnožili samo s seboj? Kaj to pomeni? Ker množimo isto število, lahko uporabimo tehniko "potenciranja". (Seveda, ko imaš samo dve števili, ju moraš še vedno pomnožiti ali dvigniti na potenco. Če pa jih imaš veliko, potem je dvig na potenco veliko lažji in tudi manj je napak pri izračunih Za enotni državni izpit je to zelo pomembno).
Torej, trideset na drugo potenco bo (). Lahko pa rečemo, da bo trideset na kvadrat. Z drugimi besedami, drugo potenco števila lahko vedno predstavimo kot kvadrat. In obratno, če vidite kvadrat, je to VEDNO druga potenca nekega števila. Kvadrat je podoba druge potence števila.

Primer iz resničnega življenja št. 2

Tukaj je naloga za vas: preštejte, koliko polj je na šahovnici s kvadratom števila ... Na eni in na drugi strani celic. Če želite izračunati njihovo število, morate osem pomnožiti z osem ali ... če opazite, da je šahovnica kvadrat s stranico, potem lahko kvadrat osem. Dobili boste celice. () Torej?

Primer iz resničnega življenja #3

Zdaj pa kocka ali tretja potenca števila. Isti bazen. Zdaj pa morate ugotoviti, koliko vode bo treba vliti v ta bazen. Izračunati morate prostornino. (Mimogrede, prostornine in tekočine se merijo v kubičnih metrih. Nepričakovano, kajne?) Narišite bazen: dno je veliko meter in globoko meter, in poskusite izračunati, koliko kock, ki merijo meter krat meter, bo prilega vašemu bazenu.

Samo pokažite s prstom in preštejte! Ena, dva, tri, štiri...dvaindvajset, triindvajset...Koliko si jih dobil? Ni izgubljen? Je težko šteti s prstom? To je to! Vzemite primer od matematikov. So leni, zato so opazili, da je treba za izračun prostornine bazena pomnožiti njegovo dolžino, širino in višino. V našem primeru bo prostornina bazena enaka kockam... Lažje, kajne?

Zdaj pa si predstavljajte, kako leni in zviti so matematiki, če so tudi to poenostavili. Vse smo skrčili na eno akcijo. Opazili so, da so dolžina, širina in višina enake in da se isto število pomnoži samo s seboj... Kaj to pomeni? To pomeni, da lahko izkoristite diplomo. Torej, kar ste nekoč šteli s prstom, storijo v enem dejanju: tri kubične je enako. Zapisano je takole:.

Vse kar ostane je zapomnite si tabelo stopinj. Razen seveda, če ste tako leni in zviti kot matematiki. Če radi trdo delate in delate napake, lahko še naprej štejete s prstom.

No, da vas dokončno prepričamo, da so si diplome izmislili odnehači in pretkani ljudje, da bi rešili svoje življenjske težave in ne, da bi vam delali težave, je tukaj še nekaj primerov iz življenja.

Primer iz resničnega življenja št. 4

Imate milijon rubljev. Na začetku vsakega leta za vsak milijon, ki ga zaslužite, zaslužite še en milijon. To pomeni, da se vsak vaš milijon podvoji na začetku vsakega leta. Koliko denarja boste imeli čez leta? Če zdaj sedite in »štejete s prstom«, potem ste zelo pridna oseba in ... neumna. Toda najverjetneje boste odgovorili v nekaj sekundah, ker ste pametni! Torej, v prvem letu - dva pomnoženo z dva ... v drugem letu - kaj se je zgodilo, še za dva, v tretjem letu ... Stop! Opazili ste, da je število pomnoženo samo s seboj. Dva na peto potenco je torej milijon! Zdaj pa si predstavljajte, da imate tekmovanje in tisti, ki zna najhitreje šteti, bo dobil te milijone ... Vredno se je spomniti na moč števil, se vam ne zdi?

Primer iz resničnega življenja #5

Imaš milijon. Na začetku vsakega leta za vsak milijon, ki ga zaslužite, zaslužite še dva. Super, kajne? Vsak milijon se potroji. Koliko denarja boste imeli čez eno leto? Preštejmo. Prvo leto - pomnoži s, nato rezultat z drugim ... To je že dolgočasno, saj si že vse razumel: tri se pomnoži s samim seboj. Torej je na četrto potenco enako milijonu. Zapomniti si morate le, da je tri na četrto potenco oz.

Zdaj veste, da si boste z dvigom števila na potenco zelo olajšali življenje. Oglejmo si še, kaj lahko storite z diplomami in kaj morate vedeti o njih.

Izrazi in pojmi... da ne bo zmede

Torej, najprej opredelimo pojme. Ali mislite kaj je eksponent? Zelo preprosto – število je tisto, ki je »na vrhu« potence števila. Ni znanstveno, ampak jasno in lahko zapomniti ...

No, hkrati pa kaj takšno diplomsko podlago? Še preprosteje - to je številka, ki se nahaja spodaj, na dnu.

Tukaj je risba za dobro mero.

No, na splošno, da posplošimo in si bolje zapomnimo ... Stopnja z osnovo “ ” in eksponentom “ ” se bere kot “do stopnje” in se zapiše takole:

Potenca števila z naravnim eksponentom

Verjetno ste že uganili: ker je eksponent naravno število. Ja, ampak kaj je naravno število? Osnovno! Naravna števila so tista števila, ki jih uporabljamo pri štetju pri naštevanju predmetov: ena, dva, tri ... Ko štejemo predmete, ne rečemo: »minus pet«, »minus šest«, »minus sedem«. Prav tako ne rečemo: »ena tretjina« ali »nič pika pet«. To niso naravna števila. Kaj mislite, katere številke so to?

Številke, kot so "minus pet", "minus šest", "minus sedem", se nanašajo na cela števila. Na splošno med cela števila spadajo vsa naravna števila, števila nasprotna naravnim številom (torej vzeta z znakom minus) in števila. Ničlo je enostavno razumeti - je, ko ni ničesar. Kaj pomenijo negativna ("minus") števila? Vendar so bili izumljeni predvsem za označevanje dolgov: če imate stanje na telefonu v rubljih, to pomeni, da operaterju dolgujete rublje.

Vsi ulomki so racionalna števila. Kaj mislite, kako so nastali? Zelo preprosto. Pred več tisoč leti so naši predniki ugotovili, da nimajo naravnih števil za merjenje dolžine, teže, površine itd. In so se domislili racionalna števila... Zanimivo, kajne?

Obstajajo tudi iracionalna števila. Kakšne so te številke? Skratka, to je neskončen decimalni ulomek. Na primer, če obseg kroga delite z njegovim premerom, dobite iracionalno število.

Nadaljevanje:

Opredelimo pojem stopnje, katere eksponent je naravno število (tj. celo in pozitivno).

Vsako število na prvo potenco je enako samemu sebi:
Kvadrat števila pomeni, da ga pomnožimo s samim seboj:
Kockati število pomeni, da ga trikrat pomnožimo s samim seboj:

Opredelitev. Povečanje števila na naravno potenco pomeni, da število pomnožimo s samim seboj krat:
.

Lastnosti stopinj

Od kod te lastnosti? Ti bom pokazal zdaj.

Poglejmo: kaj je in ?

Po definiciji:

Koliko množiteljev je skupaj?

Zelo preprosto: faktorjem smo dodali množitelje in rezultat so množitelji.

Toda po definiciji je to potenca števila z eksponentom, to je: , kar je bilo treba dokazati.

Primer: Poenostavite izraz.

rešitev:

primer: Poenostavite izraz.

rešitev: Pomembno je omeniti, da v našem pravilu Nujno razlogi morajo biti isti!
Zato moči združujemo z bazo, vendar ostaja ločen dejavnik:

samo za produkt moči!

Tega v nobenem primeru ne smeš napisati.

2. to je to potenco števila

Tako kot pri prejšnji lastnosti se obrnemo na definicijo stopnje:

Izkazalo se je, da se izraz pomnoži s samim seboj, to je po definiciji to potenca števila:

V bistvu lahko temu rečemo "jemanje indikatorja iz oklepajev." Vendar tega nikoli ne morete storiti v celoti:

Spomnimo se formul za skrajšano množenje: kolikokrat smo želeli napisati?

Ampak to navsezadnje ni res.

Moč z negativno bazo

Do te točke smo razpravljali samo o tem, kakšen naj bo eksponent.

Toda kaj bi morala biti osnova?

V pristojnosti naravni indikator osnova je lahko poljubno število. Dejansko lahko med seboj pomnožimo poljubna števila, pa naj bodo pozitivna, negativna ali soda.

Pomislimo, kateri znaki ("" ali "") bodo imeli stopnje pozitivnih in negativnih števil?

Na primer, ali je število pozitivno ali negativno? A? ? S prvim je vse jasno: ne glede na to, koliko pozitivnih števil med seboj pomnožimo, bo rezultat pozitiven.

Toda negativni so malo bolj zanimivi. Spomnimo se preprostega pravila iz 6. razreda: "minus za minus daje plus." To je oz. Če pa pomnožimo s, deluje.

Sami določite, kakšen predznak bodo imeli naslednji izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Vam je uspelo?

Tukaj so odgovori: Upam, da je v prvih štirih primerih vse jasno? Preprosto pogledamo osnovo in eksponent ter uporabimo ustrezno pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V primeru 5) tudi vse ni tako strašljivo, kot se zdi: navsezadnje ni pomembno, čemu je enaka osnova - stopnja je enakomerna, kar pomeni, da bo rezultat vedno pozitiven.

No, razen ko je osnova nič. Osnova ni enaka, kajne? Očitno ne, saj (ker).

Primer 6) ni več tako preprost!

6 primerov za vajo

Analiza rešitve 6 primerov

Če zanemarimo osmo potenco, kaj vidimo tukaj? Spomnimo se programa za 7. razred. Torej, se spomniš? To je formula za skrajšano množenje, in sicer razlika kvadratov! Dobimo:

Pazljivo poglejmo imenovalec. Izgleda zelo podobno kot eden od faktorjev števca, toda kaj je narobe? Vrstni red izrazov je napačen. Če bi bili obrnjeni, bi lahko veljalo pravilo.

Toda kako to narediti? Izkazalo se je, da je zelo enostavno: tu nam pomaga soda stopnja imenovalca.

Čudežno so se izrazi zamenjali. Ta »fenomen« se enakomerno nanaša na kateri koli izraz: znake v oklepaju lahko preprosto spremenimo.

Vendar si je pomembno zapomniti: vsi znaki se spremenijo hkrati!

Vrnimo se k primeru:

In spet formula:

cela imenujemo naravna števila, njihova nasprotja (torej vzeta z znakom " ") in število.

pozitivno celo število, in se ne razlikuje od naravnega, potem je vse videti tako kot v prejšnjem razdelku.

Zdaj pa poglejmo nove primere. Začnimo z indikatorjem, ki je enak.

Vsako število na ničelno potenco je enako ena:

Kot vedno se vprašajmo: zakaj je tako?

Vzemimo neko stopnjo z bazo. Vzemite na primer in pomnožite z:

Torej smo število pomnožili z in dobili smo isto stvar, kot je bila - . S katerim številom morate pomnožiti, da se nič ne spremeni? Tako je, naprej. Pomeni.

Enako lahko storimo s poljubnim številom:

Ponovimo pravilo:

Vsako število na ničelno potenco je enako ena.

Vendar obstajajo izjeme od številnih pravil. In tukaj je tudi tam - to je številka (kot osnova).

Po eni strani mora biti enaka kateri koli stopinji - ne glede na to, koliko nič pomnožite s samo seboj, boste še vedno dobili nič, to je jasno. Po drugi strani pa mora biti enako kot vsako število na ničelno potenco. Torej, koliko od tega je res? Matematiki so se odločili, da se ne bodo vpletali, in zavrnili dvig ničle na ničelno potenco. To pomeni, da zdaj ne moremo samo deliti z nič, ampak ga tudi dvigniti na ničelno moč.

Gremo dalje. Cela števila poleg naravnih števil in števil vključujejo tudi negativna števila. Da bi razumeli, kaj je negativna potenca, naredimo kot zadnjič: pomnožimo neko običajno število z istim številom na negativno potenco:

Od tu je enostavno izraziti, kaj iščete:

Zdaj pa razširimo nastalo pravilo na poljubno stopnjo:

Torej, oblikujmo pravilo:

Število z negativno potenco je recipročna vrednost istega števila s pozitivno potenco. Toda hkrati Osnova ne more biti ničelna:(ker ne morete deliti z).

Naj povzamemo:

I. Izraz v primeru ni definiran. Če, potem.

II. Vsako število na ničelno potenco je enako ena: .

III. Število, ki ni enako nič na negativno potenco, je obratna vrednost istega števila na pozitivno potenco: .

Naloge za samostojno reševanje:

No, kot običajno, primeri za neodvisne rešitve:

Analiza problemov za samostojno rešitev:

Vem, vem, številke so strašljive, toda na Enotnem državnem izpitu moraš biti pripravljen na vse! Reši te primere ali analiziraj njihove rešitve, če jih nisi mogel rešiti, in naučil se boš z njimi zlahka obvladati na izpitu!

Nadaljujmo s širjenjem obsega števil, "primernih" kot eksponent.

Zdaj pa razmislimo racionalna števila. Katera števila imenujemo racionalna?

Odgovor: vse, kar je mogoče predstaviti kot ulomek, kjer sta in cela števila in.

Da bi razumeli, kaj je "frakcijska stopnja", upoštevajte ulomek:

Dvignimo obe strani enačbe na potenco:

Zdaj pa se spomnimo pravila o "stopnja do stopinje":

Katero število je treba dvigniti na potenco, da dobimo?

Ta formulacija je definicija korena th stopnje.

Naj vas spomnim: koren th potence števila () je število, ki je, ko je dvignjeno na potenco, enako.

To pomeni, da je koren th potence inverzna operacija dviga na potenco: .

Izkazalo se je, da. Očitno je ta poseben primer mogoče razširiti: .

Zdaj dodamo števec: kaj je to? Odgovor je enostavno dobiti z uporabo pravila moči na moč:

Toda ali je lahko osnova poljubno število? Konec koncev, korena ni mogoče izvleči iz vseh števil.

nobene!

Spomnimo se pravila: vsako število, dvignjeno na sodo potenco, je pozitivno število. To pomeni, da je nemogoče izvleči sode korenine iz negativnih števil!

To pomeni, da takih števil ni mogoče dvigniti na ulomek s sodim imenovalcem, kar pomeni, da izraz nima smisla.

Kaj pa izraz?

Tu pa nastane težava.

Število lahko predstavimo v obliki drugih, zmanjšljivih ulomkov, na primer oz.

In izkaže se, da obstaja, vendar ne obstaja, vendar sta to le dva različna zapisa iste številke.

Ali drug primer: enkrat, potem lahko zapišeš. Če pa indikator zapišemo drugače, bomo spet zašli v težave: (se pravi, dobili smo popolnoma drugačen rezultat!).

Da bi se izognili takšnim paradoksom, upoštevamo le pozitivni osnovni eksponent z delnim eksponentom.

Torej, če:

— naravno število;
- celo število;

Primeri:

Racionalni eksponenti so zelo uporabni za pretvorbo izrazov s koreni, na primer:

5 primerov za vajo

Analiza 5 primerov za usposabljanje

No, zdaj pa pride najtežji del. Zdaj bomo ugotovili stopnja z iracionalnim eksponentom.

Vsa pravila in lastnosti stopinj so tukaj popolnoma enaka kot za stopnjo z racionalnim eksponentom, z izjemo

Navsezadnje so po definiciji iracionalna števila števila, ki jih ni mogoče predstaviti kot ulomek, kjer sta in cela števila (to pomeni, da so iracionalna števila vsa realna števila razen racionalnih).

Pri preučevanju stopenj z naravnimi, celimi in racionalnimi eksponenti smo vsakič ustvarili določeno »podobo«, »analogijo« ali opis v bolj znanih izrazih.

Na primer, stopnja z naravnim eksponentom je število, večkrat pomnoženo s samim seboj;

...število na ničelno potenco- to je tako rekoč število, pomnoženo samo s seboj enkrat, to pomeni, da ga še niso začeli množiti, kar pomeni, da se samo število še ni pojavilo - zato je rezultat le določeno "prazno število" , in sicer številka;

...negativna cela stopnja- kot da bi prišlo do nekega "obratnega procesa", to je, da število ni bilo pomnoženo samo s seboj, ampak razdeljeno.

Mimogrede, v znanosti se pogosto uporablja diploma s kompleksnim eksponentom, torej eksponent sploh ni pravo število.

Toda v šoli ne razmišljamo o takšnih težavah; na inštitutu boste imeli priložnost razumeti te nove koncepte.

KAMOR SMO PREPRIČANI, DA BOSTE ŠLI! (če se naučiš reševati take primere :))

Na primer:

Odločite se sami:

Analiza rešitev:

1. Začnimo z običajnim pravilom za dvig moči na moč:

Zdaj pa poglejte indikator. Vas na nič ne spominja? Spomnimo se formule za skrajšano množenje razlike kvadratov:

V tem primeru

Izkazalo se je, da:

odgovor: .

2. Ulomke v eksponentih reduciramo na enako obliko: bodisi oba decimalna bodisi oba navadna. Dobimo na primer:

Odgovor: 16

3. Nič posebnega, uporabljamo običajne lastnosti stopinj:

NAPREDNA STOPNJA

Določitev stopnje

Diploma je izraz v obliki: , kjer je:

— diplomska osnova;
- eksponent.

Stopnja z naravnim kazalnikom (n = 1, 2, 3,...)

Dvig števila na naravno potenco n pomeni, da število pomnožimo s samim seboj krat:

Stopnja s celim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Če je eksponent pozitivno celo številoštevilka:

Gradnja do nič stopinje:

Izraz je nedoločen, ker je po eni strani na katerikoli stopnji to, na drugi strani pa je poljubno število na th stopnjo to.

Če je eksponent negativno celo številoštevilka:

(ker ne morete deliti z).

Še enkrat o ničlah: izraz ni definiran v primeru. Če, potem.

Primeri:

Potenca z racionalnim eksponentom

— naravno število;
- celo število;

Primeri:

Lastnosti stopinj

Da bi olajšali reševanje težav, poskusimo razumeti: od kod prihajajo te lastnosti? Dokažimo jim.

Poglejmo: kaj je in?

Po definiciji:

Torej, na desni strani tega izraza dobimo naslednji produkt:

Toda po definiciji je potenca števila z eksponentom, to je:

Q.E.D.

Primer : Poenostavite izraz.

rešitev : .

Primer : Poenostavite izraz.

rešitev : Pomembno je omeniti, da v našem pravilu Nujno morajo biti isti razlogi. Zato moči združujemo z bazo, vendar ostaja ločen dejavnik:

Druga pomembna opomba: to pravilo - samo za produkt potenc!

Tega v nobenem primeru ne smeš napisati.

Tako kot pri prejšnji lastnosti se obrnemo na definicijo stopnje:

Združimo to delo takole:

Izkazalo se je, da se izraz pomnoži s samim seboj, to je po definiciji to potenca števila:

V bistvu lahko temu rečemo "jemanje indikatorja iz oklepajev." Vendar tega nikoli ne morete storiti v celoti: !

Spomnimo se formul za skrajšano množenje: kolikokrat smo želeli napisati? Ampak to navsezadnje ni res.

Moč z negativno osnovo.

Do te točke smo samo razpravljali o tem, kakšna naj bi bila indikator stopnje. Toda kaj bi morala biti osnova? V pristojnosti naravno indikator osnova je lahko poljubno število .

Dejansko lahko med seboj pomnožimo poljubna števila, pa naj bodo pozitivna, negativna ali soda. Pomislimo, kateri znaki ("" ali "") bodo imeli stopnje pozitivnih in negativnih števil?

Na primer, ali je število pozitivno ali negativno? A? ?

S prvim je vse jasno: ne glede na to, koliko pozitivnih števil med seboj pomnožimo, bo rezultat pozitiven.

Toda negativni so malo bolj zanimivi. Spomnimo se preprostega pravila iz 6. razreda: "minus za minus daje plus." To je oz. Če pa pomnožimo z (), dobimo -.

In tako naprej ad infinitum: z vsakim naslednjim množenjem se bo predznak spremenil. Lahko se oblikujejo naslednja preprosta pravila:

celo stopnja, - št pozitivno.
Negativno število povišano na liho stopnja, - št negativno.
Pozitivno število do katere koli stopnje je pozitivno število.
Nič na katero koli potenco je enako nič.

Sami določite, kakšen predznak bodo imeli naslednji izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Vam je uspelo? Tukaj so odgovori:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Upam, da je v prvih štirih primerih vse jasno? Preprosto pogledamo osnovo in eksponent ter uporabimo ustrezno pravilo.

V primeru 5) tudi vse ni tako strašljivo, kot se zdi: navsezadnje ni pomembno, čemu je enaka osnova - stopnja je enakomerna, kar pomeni, da bo rezultat vedno pozitiven. No, razen ko je osnova nič. Osnova ni enaka, kajne? Očitno ne, saj (ker).

Primer 6) ni več tako preprost. Tukaj morate ugotoviti, kaj je manj: ali? Če se tega spomnimo, postane jasno, da, kar pomeni, da je osnova manjša od nič. To pomeni, da uporabljamo pravilo 2: rezultat bo negativen.

In spet uporabimo definicijo stopnje:

Vse je kot običajno - zapišemo definicijo stopinj in jih razdelimo med seboj, razdelimo v pare in dobimo:

Preden pogledamo zadnje pravilo, rešimo nekaj primerov.

Izračunajte izraze:

Rešitve :

Če zanemarimo osmo potenco, kaj vidimo tukaj? Spomnimo se programa za 7. razred. Torej, se spomniš? To je formula za skrajšano množenje, in sicer razlika kvadratov!

Dobimo:

Pazljivo poglejmo imenovalec. Izgleda zelo podobno kot eden od faktorjev števca, toda kaj je narobe? Vrstni red izrazov je napačen. Če bi bili obrnjeni, bi lahko veljalo pravilo 3. Toda kako? Izkazalo se je, da je zelo enostavno: tu nam pomaga soda stopnja imenovalca.

Če pomnožite s, se nič ne spremeni, kajne? Zdaj pa se je izkazalo takole:

Čudežno so se izrazi zamenjali. Ta »fenomen« se enakomerno nanaša na vsak izraz: znake v oklepajih lahko preprosto spremenimo. Vendar si je pomembno zapomniti: Vsa znamenja se spremenijo hkrati! Ne morete ga nadomestiti s spreminjanjem samo ene slabosti, ki nam ni všeč!

Vrnimo se k primeru:

In spet formula:

Zdaj pa še zadnje pravilo:

Kako bomo to dokazali? Seveda, kot običajno: razširimo koncept diplome in ga poenostavimo:

No, zdaj pa odprimo oklepaje. Koliko črk je skupaj? krat z množitelji - na kaj vas to spominja? To ni nič drugega kot definicija operacije množenje: Tam so bili samo množitelji. To pomeni, da je to po definiciji potenca števila z eksponentom:

primer:

Stopnja z iracionalnim eksponentom

Poleg podatkov o stopnjah za povprečno stopnjo bomo analizirali stopnjo z iracionalnim eksponentom. Vsa pravila in lastnosti stopinj so tukaj popolnoma enaka kot za stopnjo z racionalnim eksponentom, z izjemo - navsezadnje so iracionalna števila po definiciji števila, ki jih ni mogoče predstaviti kot ulomek, kjer sta in cela števila (to je iracionalna števila so vsa realna števila razen racionalnih števil).

Pri preučevanju stopenj z naravnimi, celimi in racionalnimi eksponenti smo vsakič ustvarili določeno »podobo«, »analogijo« ali opis v bolj znanih izrazih. Na primer, stopnja z naravnim eksponentom je število, večkrat pomnoženo s samim seboj; število na ničelno potenco je tako rekoč število, pomnoženo s samim seboj krat, to pomeni, da ga še niso začeli množiti, kar pomeni, da se samo število še ni pojavilo - zato je rezultat le določen „prazna številka“, in sicer številka; stopnja s celim negativnim eksponentom - kot da bi prišlo do nekega "obratnega procesa", to pomeni, da število ni bilo pomnoženo samo s seboj, ampak razdeljeno.

Zelo težko si je predstavljati stopnjo z iracionalnim eksponentom (tako kot si je težko predstavljati 4-dimenzionalni prostor). To je povsem matematični objekt, ki so ga matematiki ustvarili, da bi koncept stopnje razširili na celoten prostor števil.

Mimogrede, v znanosti se pogosto uporablja diploma s kompleksnim eksponentom, torej eksponent sploh ni pravo število. Toda v šoli ne razmišljamo o takšnih težavah; na inštitutu boste imeli priložnost razumeti te nove koncepte.

Kaj torej naredimo, če vidimo iracionalen eksponent? Trudimo se ga znebiti! :)

Na primer:

Odločite se sami:

odgovori:

Spomnimo se formule razlike kvadratov. Odgovor: .
Ulomke reduciramo na enako obliko: bodisi oba decimalna bodisi oba navadna. Dobimo na primer: .
Nič posebnega, uporabljamo običajne lastnosti stopinj:

POVZETEK ODDELKA IN OSNOVNE FORMULE

stopnja imenovan izraz v obliki: , kjer je:

Stopnja s celim eksponentom

stopnja, katere eksponent je naravno število (tj. celo in pozitivno).

Potenca z racionalnim eksponentom

stopnja, katere eksponent so negativna in delna števila.

Stopnja z iracionalnim eksponentom

stopnja, katere eksponent je neskončen decimalni ulomek ali koren.

Lastnosti stopinj

Značilnosti diplom.

Negativno število povišano na celo stopnja, - št pozitivno.
Negativno število povišano na liho stopnja, - št negativno.
Pozitivno število do katere koli stopnje je pozitivno število.
Nič je enaka kateri koli potenci.
Vsako število na ničelno potenco je enako.

ZDAJ IMATE BESEDO ...

Kako vam je všeč članek? Spodaj v komentarje zapišite, ali vam je bilo všeč ali ne.

Povejte nam o svojih izkušnjah z uporabo lastnosti diplom.

Morda imate vprašanja. Ali predlogi.

Zapiši v komentarje.

Pa srečno na izpitih!

V tem gradivu bomo pogledali, kaj je moč števila. Poleg osnovnih definicij bomo formulirali, kaj so potence z naravnimi, celimi, racionalnimi in iracionalnimi eksponenti. Kot vedno bodo vsi koncepti ponazorjeni s primeri problemov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Najprej oblikujmo osnovno definicijo stopnje z naravnim eksponentom. Za to se moramo spomniti osnovnih pravil množenja. Vnaprej pojasnimo, da bomo za zdaj za osnovo vzeli realno število (označeno s črko a), za indikator pa naravno število (označeno s črko n).

Definicija 1

Potenca števila a z naravnim eksponentom n je produkt n-tega števila faktorjev, od katerih je vsak enak številu a. Diploma je zapisana takole: a n, in v obliki formule je njegova sestava lahko predstavljena na naslednji način:

Na primer, če je eksponent 1 in je osnova a, potem je prva potenca a zapisana kot a 1. Glede na to, da je a vrednost faktorja in 1 število faktorjev, lahko sklepamo, da a 1 = a.

Na splošno lahko rečemo, da je diploma priročna oblika zapisa velikega števila enakih faktorjev. Torej, zapis obrazca 8 8 8 8 se lahko skrajša na 8 4 . Na približno enak način nam izdelek pomaga, da se izognemo pisanju velikega števila izrazov (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); O tem smo že razpravljali v članku, posvečenem množenju naravnih števil.

Kako pravilno prebrati vnos diplome? Splošno sprejeta možnost je "a na potenco n". Lahko pa rečete "n-ta potenca a" ali "antova potenca". Če smo recimo v primeru naleteli na vnos 8 12 , lahko preberemo "8 na 12. potenco", "8 na potenco 12" ali "12. potenco 8".

Druga in tretja potenca števil imata svoja ustaljena imena: kvadrat in kocka. Če vidimo drugo potenco, na primer številko 7 (7 2), potem lahko rečemo "7 na kvadrat" ali "kvadrat števila 7". Podobno se tretja stopnja glasi takole: 5 3 - to je "kocka števila 5" ali "5 kock." Lahko pa uporabite tudi standardno formulacijo "na drugo/tretjo potenco"; to ne bo napaka.

Primer 1

Poglejmo primer stopnje z naravnim eksponentom: for 5 7 pet bo osnova, sedem pa eksponent.

Ni nujno, da je osnova celo število: za diplomo (4 , 32) 9 osnova bo ulomek 4, 32, eksponent pa devet. Bodite pozorni na oklepaje: ta zapis je narejen za vse potence, katerih osnove se razlikujejo od naravnih števil.

Na primer: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Čemu so oklepaji? Pomagajo preprečiti napake pri izračunih. Recimo, da imamo dva vnosa: (− 2) 3 in − 2 3 . Prvi od teh pomeni negativno število minus dva, povišano na potenco z naravnim eksponentom tri; drugo je število, ki ustreza nasprotni vrednosti stopnje 2 3 .

Včasih v knjigah najdete nekoliko drugačen zapis moči števila - a^n(kjer je a osnova in n eksponent). To pomeni, da je 4^9 enako kot 4 9 . Če je n večmestno število, ga damo v oklepaj. Na primer, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Vendar bomo uporabili zapis a n kot pogostejši.

Preprosto je uganiti, kako izračunati vrednost eksponenta z naravnim eksponentom iz njegove definicije: samo pomnožiti morate n-to število krat. Več o tem smo pisali v drugem članku.

Koncept stopnje je nasprotje drugega matematičnega koncepta - korena števila. Če poznamo vrednost potence in eksponenta, lahko izračunamo njegovo osnovo. Stopnja ima nekaj posebnih lastnosti, ki so uporabne za reševanje problemov, o katerih smo razpravljali v ločenem gradivu.

Eksponenti lahko vključujejo ne samo naravna števila, ampak tudi vse vrednosti celih števil na splošno, vključno z negativnimi in ničlami, ker tudi pripadajo nizu celih števil.

Definicija 2

Potenco števila s pozitivnim celim eksponentom lahko predstavimo kot formulo: .

V tem primeru je n poljubno pozitivno celo število.

Razumejmo koncept ničelne stopnje. Za to uporabimo pristop, ki upošteva lastnost kvocienta za potence z enakimi bazami. Formulirano je takole:

Definicija 3

Enakopravnost a m: a n = a m − n bo veljalo pod naslednjimi pogoji: m in n sta naravni števili, m< n , a ≠ 0 .

Zadnji pogoj je pomemben, ker se izogne deljenju z nič. Če sta vrednosti m in n enaki, dobimo naslednji rezultat: a n: a n = a n − n = a 0

Toda hkrati je a n: a n = 1 količnik enakih števil a n in a. Izkazalo se je, da je ničelna potenca katerega koli neničelnega števila enaka ena.

Vendar pa tak dokaz ne velja za nič na ničelno potenco. Za to potrebujemo še eno lastnost potenc - lastnost produktov potenc z enakimi bazami. Videti je takole: a m · a n = a m + n .

Če je n enak 0, potem a m · a 0 = a m(ta enakost nam tudi to dokazuje a 0 = 1). Če pa je in tudi enako nič, ima naša enakost obliko 0 m · 0 0 = 0 m, To bo veljalo za katero koli naravno vrednost n in ni pomembno, kateri natančno je vrednost stopnje enaka 0 0 , to pomeni, da je lahko enako poljubnemu številu, kar ne bo vplivalo na točnost enakosti. Zato zapis oblike 0 0 nima svojega posebnega pomena in mu ga ne bomo pripisovali.

Če želite, je to enostavno preveriti a 0 = 1 konvergira z lastnostjo stopnje (a m) n = a m n pod pogojem, da osnova stopnje ni nič. Tako je potenca katerega koli neničelnega števila z eksponentom nič ena.

Primer 2

Poglejmo primer s posebnimi številkami: Torej, 5 0 - enota, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , in vrednost 0 0 ni definiran.

Po ničelni stopnji moramo le ugotoviti, kaj je negativna stopnja. Za to potrebujemo isto lastnost produkta potenc z enakimi bazami, ki smo jo že uporabili zgoraj: a m · a n = a m + n.

Vstavimo pogoj: m = − n, potem a ne sme biti enak nič. Iz tega izhaja, da a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Izkazalo se je, da a n in a−n imamo medsebojno recipročna števila.

Kot rezultat, a na negativno celo potenco ni nič drugega kot ulomek 1 a n.

Ta formulacija potrjuje, da za stopnjo s celim negativnim eksponentom veljajo enake lastnosti, kot jih ima stopnja z naravnim eksponentom (pod pogojem, da osnova ni enaka nič).

Primer 3

Potenco a z negativnim celim eksponentom n lahko predstavimo kot ulomek 1 a n . Tako je a - n = 1 a n predmet a ≠ 0 in n je poljubno naravno število.

Naj našo idejo ponazorimo s konkretnimi primeri:

Primer 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

V zadnjem delu odstavka bomo vse, kar je bilo povedano, poskušali jasno prikazati v eni formuli:

Definicija 4

Potenca števila z naravnim eksponentom z je: a z = a z, e z l in z - pozitivno celo število 1, z = 0 in a ≠ 0, (za z = 0 in a = 0 je rezultat 0 0, vrednosti izraza 0 0 niso definirane) 1 a z, če in z je negativno celo število in a ≠ 0 (če je z negativno celo število in a = 0 dobite 0 z, egoz vrednost ni določena)

Kaj so potence z racionalnim eksponentom?

Preučili smo primere, ko eksponent vsebuje celo število. Vendar pa lahko število povečate na potenco, tudi če njegov eksponent vsebuje delno število. To se imenuje potenca z racionalnim eksponentom. V tem razdelku bomo dokazali, da ima enake lastnosti kot druge potence.

Kaj so racionalna števila? Njihov nabor vključuje tako cela kot ulomka, ulomke pa lahko predstavimo kot navadne ulomke (tako pozitivne kot negativne). Oblikujmo definicijo moči števila a z delnim eksponentom m / n, kjer je n naravno število in m celo število.

Imamo neko stopnjo z ulomljenim eksponentom a m n. Da bi veljala lastnost moči za moč, mora veljati enakost a m n n = a m n · n = a m.

Glede na definicijo n-tega korena in da je a m n n = a m, lahko sprejmemo pogoj a m n = a m n, če je a m n smiselno za dane vrednosti m, n in a.

Zgornje lastnosti stopnje s celim eksponentom bodo veljale pod pogojem a m n = a m n.

Glavni sklep našega razmišljanja je naslednji: moč določenega števila a z delnim eksponentom m / n je n-ti koren števila a na moč m. To velja, če za dane vrednosti m, n in a izraz a m n ostane smiseln.

1. Lahko omejimo vrednost osnove stopnje: vzemimo a, ki bo za pozitivne vrednosti m večja ali enaka 0, za negativne vrednosti pa strogo manj (ker za m ≤ 0 dobimo 0 m, vendar taka stopnja ni opredeljena). V tem primeru bo definicija stopnje z delnim eksponentom videti takole:

Potencija z ulomkom eksponenta m/n za neko pozitivno število a je n-ti koren a na potenco m. To lahko izrazimo kot formulo:

Za potenco z ničelno osnovo je ta določba prav tako primerna, vendar le, če je njen eksponent pozitivno število.

Potenco z osnovo nič in delnim pozitivnim eksponentom m/n lahko izrazimo kot

0 m n = 0 m n = 0 pod pogojem, da je m pozitivno celo število in n naravno število.

Za negativno razmerje m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Opozorimo na eno točko. Ker smo uvedli pogoj, da je a večji ali enak nič, smo nekatere primere zavrgli.

Izraz a m n je včasih še vedno smiseln za nekatere negativne vrednosti a in nekatere m. Tako so pravilni vnosi (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, pri katerih je osnova negativna.

2. Drugi pristop je ločeno obravnavanje korena a m n s sodimi in lihimi eksponenti. Nato bomo morali uvesti še en pogoj: stopnja a, v eksponentu katere je skrčljivi navadni ulomek, velja za stopnjo a, v eksponentu katere je ustrezen nezmanjšani ulomek. Kasneje bomo pojasnili, zakaj potrebujemo ta pogoj in zakaj je tako pomemben. Torej, če imamo zapis a m · k n · k, potem ga lahko zmanjšamo na a m n in poenostavimo izračune.

Če je n liho število in je vrednost m pozitivna in je a poljubno nenegativno število, potem je a m n smiseln. Pogoj, da je a nenegativen, je nujen, ker korena sode stopnje ni mogoče izluščiti iz negativnega števila. Če je vrednost m pozitivna, potem je a lahko tako negativen kot nič, ker Liho korenino lahko vzamemo iz katerega koli realnega števila.

Združimo vse zgornje definicije v en vnos:

Tu m/n pomeni nezmanjšani ulomek, m je poljubno celo število, n pa poljubno naravno število.

Definicija 5

Za vsak običajni zmanjšljivi ulomek m · k n · k lahko stopnjo nadomestimo z a m n .

Moč števila a z nezmanjšanim delnim eksponentom m / n – se lahko izrazi kot a m n v naslednjih primerih: - za katero koli realno a, pozitivna cela števila m in lihe naravne vrednosti n. Primer: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Za katero koli neničelno realno a, negativne cele vrednosti m in lihe vrednosti n, na primer 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Za vsako nenegativno a, pozitivno celo število m in sodo n je na primer 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Za vsako pozitivno a, negativno celo število m in sodo n je na primer 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Pri drugih vrednostih stopnja z delnim eksponentom ni določena. Primeri takih stopenj: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Zdaj pa razložimo pomen zgoraj obravnavanega pogoja: zakaj zamenjati ulomek s pomanjšanim eksponentom z ulomkom z nezmanjšanim eksponentom. Če tega ne bi storili, bi imeli naslednje situacije, recimo 6/10 = 3/5. Potem bi moralo veljati (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , vendar - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 in (- 1) 3 5 = (- 1) ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Definicija stopnje z delnim eksponentom, ki smo jo predstavili najprej, je v praksi bolj priročna za uporabo kot druga, zato jo bomo še naprej uporabljali.

Opredelitev 6

Tako je potenca pozitivnega števila a z delnim eksponentom m/n definirana kot 0 m n = 0 m n = 0. V primeru negativnega a zapis a m n nima smisla. Potenca nič za pozitivne delne eksponente m/n je definiran kot 0 m n = 0 m n = 0 , za negativne delne eksponente ne definiramo stopnje nič.

V sklepih ugotavljamo, da lahko kateri koli delni indikator zapišete tako kot mešano število kot kot decimalni ulomek: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Pri računanju je bolje, da eksponent nadomestimo z navadnim ulomkom in nato uporabimo definicijo eksponenta z ulomkom. Za zgornje primere dobimo:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Kaj so potence z iracionalnimi in realnimi eksponenti?

Kaj so realna števila? Njihov niz vključuje tako racionalna kot iracionalna števila. Zato, da bi razumeli, kaj je stopnja z realnim eksponentom, moramo definirati stopnje z racionalnimi in iracionalnimi eksponenti. Racionalne smo že omenili zgoraj. Ukvarjajmo se z iracionalnimi kazalniki korak za korakom.

Primer 5

Predpostavimo, da imamo iracionalno število a in zaporedje njegovih decimalnih približkov a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Za primer vzemimo vrednost a = 1,67175331. . . , Potem

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Zaporedje aproksimacij lahko povežemo z zaporedjem stopinj a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Če se spomnimo, kaj smo prej rekli o dvigovanju števil na racionalne potence, potem lahko sami izračunamo vrednosti teh potenc.

Vzemimo za primer a = 3, potem je a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . itd.

Zaporedje potenc lahko skrajšamo na število, ki bo vrednost potence z osnovo a in iracionalnim eksponentom a. Kot rezultat: stopnja z iracionalnim eksponentom oblike 3 1, 67175331. . lahko zmanjšamo na število 6, 27.

Opredelitev 7

Potenco pozitivnega števila a z iracionalnim eksponentom a zapišemo kot a . Njegova vrednost je limita zaporedja a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , kjer je a 0 , a 1 , a 2 , . . . so zaporedni decimalni približki iracionalnega števila a. Stopnjo z ničelno osnovo lahko definiramo tudi za pozitivne iracionalne eksponente, pri čemer je 0 a = 0. Torej je 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Vendar tega ni mogoče storiti za negativne, saj na primer vrednost 0 - 5, 0 - 2 π ni definirana. Enota, povišana na katero koli iracionalno potenco, na primer ostane enota in 1 2, 1 5 v 2 in 1 - 5 bo enako 1.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Potencevanje je operacija, ki je tesno povezana z množenjem; ta operacija je rezultat večkratnega množenja števila s samim seboj. Predstavimo ga s formulo: a1 * a2 * … * an = an.

Na primer, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Na splošno se potenciranje pogosto uporablja v različnih formulah v matematiki in fiziki. Ta funkcija ima bolj znanstveni namen kot štiri glavne: seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje.

Dvig števila na potenco

Povišanje števila na potenco ni zapletena operacija. Z množenjem je povezan na podoben način kot odnos med množenjem in seštevanjem. Zapis an je kratek zapis n-tega števila števil "a", pomnoženih med seboj.

Razmislite o potenciranju z uporabo najpreprostejših primerov in preidite na zapletene.

Na primer, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Štiri na kvadrat (na drugo potenco) je enako šestnajst. Če ne razumete množenja 4 * 4, potem preberite naš članek o množenju.

Poglejmo še en primer: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Pet kubičnih (na tretjo potenco) je enako sto petindvajset.

Drug primer: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Devet kubnih je sedemsto devetindvajset.

Formule za potenciranje

Za pravilno povišanje na potenco si morate zapomniti in poznati spodnje formule. V tem ni nič ekstra naravnega, glavna stvar je razumeti bistvo in potem si jih ne bodo samo zapomnili, ampak se bodo tudi zdeli enostavni.

Dvig monoma na potenco

Kaj je monom? To je produkt števil in spremenljivk v kateri koli količini. Na primer, dva je monom. In ta članek govori ravno o dvigovanju takih monomov na potence.

Z uporabo formul za potenciranje ne bo težko izračunati potencevanja monoma.

na primer (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Če dvignete monom na potenco, potem je vsaka komponenta monoma povišana na potenco.

Z dvigom spremenljivke, ki že ima potenco, na potenco se potence pomnožijo. Na primer, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Dvig na negativno potenco

Negativna potenca je recipročna vrednost števila. Kaj je recipročno število? Recipročna vrednost poljubnega števila X je 1/X. To je X-1=1/X. To je bistvo negativne stopnje.

Razmislite o primeru (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Zakaj je temu tako? Ker je v stopnji minus, ta izraz preprosto prenesemo na imenovalec in ga nato dvignemo na tretjo potenco. Preprosto, kajne?

Dvig na ulomek

Začnimo z ogledom težave na konkretnem primeru. 43/2. Kaj pomeni stopnja 3/2? 3 – števec, pomeni dvig števila (v tem primeru 4) na kocko. Število 2 je imenovalec; to je izvleček drugega korena števila (v tem primeru 4).

Nato dobimo kvadratni koren iz 43 = 2^3 = 8. Odgovor: 8.

Torej je imenovalec ulomka lahko 3 ali 4 ali do neskončnosti poljubno število in to število določa stopnjo kvadratnega korena, vzetega iz danega števila. Seveda imenovalec ne more biti nič.

Dvigovanje korena na moč

Če se koren dvigne na stopnjo, ki je enaka stopnji samega korena, bo odgovor radikalen izraz. Na primer, (√x)2 = x. In tako sta v vsakem primeru stopnja korena in stopnja dviga korena enaki.

Če (√x)^4. Potem (√x)^4=x^2. Za preverjanje rešitve pretvorimo izraz v izraz z ulomkom. Ker je koren kvadraten, je imenovalec 2. In če koren dvignemo na četrto potenco, je števec 4. Dobimo 4/2=2. Odgovor: x = 2.

V vsakem primeru je najboljša možnost, da preprosto pretvorite izraz v izraz z delno potenco. Če se ulomek ne izniči, potem je to odgovor, pod pogojem, da koren danega števila ni izoliran.

Dvigovanje kompleksnega števila na potenco

Kaj je kompleksno število? Kompleksno število je izraz, ki ima formulo a + b * i; a, b sta realna števila. i je število, ki pri kvadriranju da število -1.

Poglejmo si primer. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Prijavite se na tečaj »Pospešite mentalno aritmetiko, NE mentalno aritmetiko«, da se naučite hitro in pravilno seštevati, odštevati, množiti, deliti, kvadrirati števila in celo izvleči koren. V 30 dneh se boste naučili uporabljati preproste trike za poenostavitev aritmetičnih operacij. Vsaka lekcija vsebuje nove tehnike, jasne primere in uporabne naloge.

Potenciranje na spletu

Z našim kalkulatorjem lahko izračunate dvig števila na potenco:

Potenciranje 7. razred

Šolarji se začnejo dvigovati na moč šele v sedmem razredu.

Potencevanje je operacija, ki je tesno povezana z množenjem; ta operacija je rezultat večkratnega množenja števila s samim seboj. Predstavimo ga s formulo: a1 * a2 * … * an=an.

na primer a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Primeri rešitev:

Predstavitev stopnjevanja

Predstavitev o dvigu na potence, namenjena sedmošolcem. Predstavitev lahko razjasni nekatere nejasne točke, vendar te točke verjetno ne bodo razčiščene zaradi našega članka.

Bottom line

Ogledali smo si le vrh ledene gore, da bi bolje razumeli matematiko - prijavite se na naš tečaj: Pospeševanje mentalne aritmetike - NE mentalne aritmetike.

Na tečaju se ne boste le naučili na desetine tehnik poenostavljenega in hitrega množenja, seštevanja, množenja, deljenja in računanja odstotkov, ampak jih boste tudi vadili v posebnih nalogah in izobraževalnih igrah! Mentalna aritmetika zahteva tudi veliko pozornosti in koncentracije, ki ju aktivno treniramo pri reševanju zanimivih nalog.

Začetna raven

Stopnja in njene lastnosti. Obsežen vodnik (2019)

Zakaj so potrebne diplome? Kje jih boste potrebovali? Zakaj bi si morali vzeti čas in jih preučiti?

Če želite izvedeti vse o diplomah, za kaj jih potrebujete in kako svoje znanje uporabiti v vsakdanjem življenju, preberite ta članek.

In, seveda, poznavanje diplom vas bo približalo uspešnemu opravljanju enotnega državnega izpita ali enotnega državnega izpita in vstopu na univerzo vaših sanj.

Gremo ... (Gremo!)

Pomembna opomba! Če namesto formul vidite gobbledygook, počistite predpomnilnik. Če želite to narediti, pritisnite CTRL+F5 (v sistemu Windows) ali Cmd+R (v sistemu Mac).

ZAČETNA STOPNJA

Potenciranje je matematična operacija tako kot seštevanje, odštevanje, množenje ali deljenje.

Zdaj bom vse razložil v človeškem jeziku z zelo preprostimi primeri. Bodite previdni. Primeri so osnovni, vendar pojasnjujejo pomembne stvari.

Začnimo z dodatkom.

Tukaj ni kaj razlagati. Saj že vse veš: osem nas je. Vsak ima dve steklenici kole. Koliko cole je tam? Tako je - 16 steklenic.

Zdaj pa množenje.

Če želite šteti hitreje, lažje in brez napak, si morate le zapomniti tabela množenja. Seveda lahko vse naredite počasneje, težje in z napakami! ampak...

Tukaj je tabela množenja. ponovi

In še ena, lepša:

Katere druge pametne trike za štetje so si izmislili leni matematiki? desno - povišanje števila na potenco.

Dvig števila na potenco

Vse kar morate storiti je spomnite se, kaj je v tabeli potenc števil označeno z barvo. Verjemite, to vam bo zelo olajšalo življenje.

Mimogrede, zakaj se imenuje druga stopnja? kvadratštevilke, in tretji - kocka? Kaj to pomeni? Zelo dobro vprašanje. Zdaj boste imeli kvadrate in kocke.

Primer iz resničnega življenja #1

Začnimo s kvadratom ali drugo potenco števila.

Primer iz resničnega življenja št. 2

Primer iz resničnega življenja #3

Vse kar ostane je zapomnite si tabelo stopinj. Razen seveda, če ste tako leni in zviti kot matematiki. Če radi trdo delate in delate napake, lahko še naprej štejete s prstom.

Primer iz resničnega življenja št. 4

Primer iz resničnega življenja #5

Zdaj veste, da si boste z dvigom števila na potenco zelo olajšali življenje. Oglejmo si še, kaj lahko storite z diplomami in kaj morate vedeti o njih.

Izrazi in pojmi... da ne bo zmede

Torej, najprej opredelimo pojme. Ali mislite kaj je eksponent? Zelo preprosto – število je tisto, ki je »na vrhu« potence števila. Ni znanstveno, ampak jasno in lahko zapomniti ...

No, hkrati pa kaj takšno diplomsko podlago? Še preprosteje - to je številka, ki se nahaja spodaj, na dnu.

Tukaj je risba za dobro mero.

No, na splošno, da posplošimo in si bolje zapomnimo ... Stopnja z osnovo “ ” in eksponentom “ ” se bere kot “do stopnje” in se zapiše takole:

Potenca števila z naravnim eksponentom

Obstajajo tudi iracionalna števila. Kakšne so te številke? Skratka, to je neskončen decimalni ulomek. Na primer, če obseg kroga delite z njegovim premerom, dobite iracionalno število.

Nadaljevanje:

Opredelimo pojem stopnje, katere eksponent je naravno število (tj. celo in pozitivno).

Vsako število na prvo potenco je enako samemu sebi:
Kvadrat števila pomeni, da ga pomnožimo s samim seboj:
Kockati število pomeni, da ga trikrat pomnožimo s samim seboj:

Opredelitev. Povečanje števila na naravno potenco pomeni, da število pomnožimo s samim seboj krat:
.

Lastnosti stopinj

Od kod te lastnosti? Ti bom pokazal zdaj.

Poglejmo: kaj je in ?

Po definiciji:

Koliko množiteljev je skupaj?

Zelo preprosto: faktorjem smo dodali množitelje in rezultat so množitelji.

Toda po definiciji je to potenca števila z eksponentom, to je: , kar je bilo treba dokazati.

Primer: Poenostavite izraz.

rešitev:

primer: Poenostavite izraz.

rešitev: Pomembno je omeniti, da v našem pravilu Nujno razlogi morajo biti isti!
Zato moči združujemo z bazo, vendar ostaja ločen dejavnik:

samo za produkt moči!

Tega v nobenem primeru ne smeš napisati.

2. to je to potenco števila

Tako kot pri prejšnji lastnosti se obrnemo na definicijo stopnje:

Izkazalo se je, da se izraz pomnoži s samim seboj, to je po definiciji to potenca števila:

V bistvu lahko temu rečemo "jemanje indikatorja iz oklepajev." Vendar tega nikoli ne morete storiti v celoti:

Spomnimo se formul za skrajšano množenje: kolikokrat smo želeli napisati?

Ampak to navsezadnje ni res.

Moč z negativno bazo

Do te točke smo razpravljali samo o tem, kakšen naj bo eksponent.

Toda kaj bi morala biti osnova?

V pristojnosti naravni indikator osnova je lahko poljubno število. Dejansko lahko med seboj pomnožimo poljubna števila, pa naj bodo pozitivna, negativna ali soda.

Pomislimo, kateri znaki ("" ali "") bodo imeli stopnje pozitivnih in negativnih števil?

Na primer, ali je število pozitivno ali negativno? A? ? S prvim je vse jasno: ne glede na to, koliko pozitivnih števil med seboj pomnožimo, bo rezultat pozitiven.

Toda negativni so malo bolj zanimivi. Spomnimo se preprostega pravila iz 6. razreda: "minus za minus daje plus." To je oz. Če pa pomnožimo s, deluje.

Sami določite, kakšen predznak bodo imeli naslednji izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Vam je uspelo?

Tukaj so odgovori: Upam, da je v prvih štirih primerih vse jasno? Preprosto pogledamo osnovo in eksponent ter uporabimo ustrezno pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V primeru 5) tudi vse ni tako strašljivo, kot se zdi: navsezadnje ni pomembno, čemu je enaka osnova - stopnja je enakomerna, kar pomeni, da bo rezultat vedno pozitiven.

No, razen ko je osnova nič. Osnova ni enaka, kajne? Očitno ne, saj (ker).

Primer 6) ni več tako preprost!

6 primerov za vajo

Analiza rešitve 6 primerov

Če zanemarimo osmo potenco, kaj vidimo tukaj? Spomnimo se programa za 7. razred. Torej, se spomniš? To je formula za skrajšano množenje, in sicer razlika kvadratov! Dobimo:

Pazljivo poglejmo imenovalec. Izgleda zelo podobno kot eden od faktorjev števca, toda kaj je narobe? Vrstni red izrazov je napačen. Če bi bili obrnjeni, bi lahko veljalo pravilo.

Toda kako to narediti? Izkazalo se je, da je zelo enostavno: tu nam pomaga soda stopnja imenovalca.

Čudežno so se izrazi zamenjali. Ta »fenomen« se enakomerno nanaša na kateri koli izraz: znake v oklepaju lahko preprosto spremenimo.

Vendar si je pomembno zapomniti: vsi znaki se spremenijo hkrati!

Vrnimo se k primeru:

In spet formula:

cela imenujemo naravna števila, njihova nasprotja (torej vzeta z znakom " ") in število.

pozitivno celo število, in se ne razlikuje od naravnega, potem je vse videti tako kot v prejšnjem razdelku.

Zdaj pa poglejmo nove primere. Začnimo z indikatorjem, ki je enak.

Vsako število na ničelno potenco je enako ena:

Kot vedno se vprašajmo: zakaj je tako?

Vzemimo neko stopnjo z bazo. Vzemite na primer in pomnožite z:

Torej smo število pomnožili z in dobili smo isto stvar, kot je bila - . S katerim številom morate pomnožiti, da se nič ne spremeni? Tako je, naprej. Pomeni.

Enako lahko storimo s poljubnim številom:

Ponovimo pravilo:

Vsako število na ničelno potenco je enako ena.

Vendar obstajajo izjeme od številnih pravil. In tukaj je tudi tam - to je številka (kot osnova).

Od tu je enostavno izraziti, kaj iščete:

Zdaj pa razširimo nastalo pravilo na poljubno stopnjo:

Torej, oblikujmo pravilo:

Število z negativno potenco je recipročna vrednost istega števila s pozitivno potenco. Toda hkrati Osnova ne more biti ničelna:(ker ne morete deliti z).

Naj povzamemo:

I. Izraz v primeru ni definiran. Če, potem.

II. Vsako število na ničelno potenco je enako ena: .

III. Število, ki ni enako nič na negativno potenco, je obratna vrednost istega števila na pozitivno potenco: .

Naloge za samostojno reševanje:

No, kot običajno, primeri za neodvisne rešitve:

Analiza problemov za samostojno rešitev:

Nadaljujmo s širjenjem obsega števil, "primernih" kot eksponent.

Zdaj pa razmislimo racionalna števila. Katera števila imenujemo racionalna?

Odgovor: vse, kar je mogoče predstaviti kot ulomek, kjer sta in cela števila in.

Da bi razumeli, kaj je "frakcijska stopnja", upoštevajte ulomek:

Dvignimo obe strani enačbe na potenco:

Zdaj pa se spomnimo pravila o "stopnja do stopinje":

Katero število je treba dvigniti na potenco, da dobimo?

Ta formulacija je definicija korena th stopnje.

Naj vas spomnim: koren th potence števila () je število, ki je, ko je dvignjeno na potenco, enako.

To pomeni, da je koren th potence inverzna operacija dviga na potenco: .

Izkazalo se je, da. Očitno je ta poseben primer mogoče razširiti: .

Zdaj dodamo števec: kaj je to? Odgovor je enostavno dobiti z uporabo pravila moči na moč:

Toda ali je lahko osnova poljubno število? Konec koncev, korena ni mogoče izvleči iz vseh števil.

nobene!

Spomnimo se pravila: vsako število, dvignjeno na sodo potenco, je pozitivno število. To pomeni, da je nemogoče izvleči sode korenine iz negativnih števil!

To pomeni, da takih števil ni mogoče dvigniti na ulomek s sodim imenovalcem, kar pomeni, da izraz nima smisla.

Kaj pa izraz?

Tu pa nastane težava.

Število lahko predstavimo v obliki drugih, zmanjšljivih ulomkov, na primer oz.

In izkaže se, da obstaja, vendar ne obstaja, vendar sta to le dva različna zapisa iste številke.

Ali drug primer: enkrat, potem lahko zapišeš. Če pa indikator zapišemo drugače, bomo spet zašli v težave: (se pravi, dobili smo popolnoma drugačen rezultat!).

Da bi se izognili takšnim paradoksom, upoštevamo le pozitivni osnovni eksponent z delnim eksponentom.

Torej, če:

— naravno število;
- celo število;