Kakšna je največja vrednost funkcije? Največja in najmanjša vrednost funkcije

S to storitvijo lahko poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije eno spremenljivko f(x) z rešitvijo, oblikovano v Wordu. Če je funkcija f(x,y) podana, je torej treba najti ekstrem funkcije dveh spremenljivk. Najdete lahko tudi intervale naraščajočih in padajočih funkcij.

Pravila za vnos funkcij:

Nujen pogoj za ekstrem funkcije ene spremenljivke

Zadosten pogoj za ekstrem funkcije ene spremenljivke

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Potem je točka x * lokalna (globalna) minimalna točka funkcije.

Če je v točki x * izpolnjen pogoj:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Potem je točka x * lokalni (globalni) maksimum.

Primer št. 1. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije: na segmentu.
rešitev.

Kritična točka je ena x 1 = 2 (f’(x)=0). Ta točka pripada segmentu. (Točka x=0 ni kritična, saj je 0∉).
Izračunamo vrednosti funkcije na koncih segmenta in na kritični točki.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2, f(3)=3 8 / 81
Odgovor: f min = 5 / 2 pri x=2; f max =9 pri x=1

Primer št. 2. Z uporabo odvodov višjega reda poiščite ekstremum funkcije y=x-2sin(x) .
rešitev.
Poiščite odvod funkcije: y’=1-2cos(x) . Poiščimo kritične točke: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Najdemo y’’=2sin(x), izračunamo , kar pomeni x= π / 3 +2πk, k∈Z so minimalne točke funkcije; , kar pomeni x=- π / 3 +2πk, k∈Z so največje točke funkcije.

Primer št. 3. Raziščite funkcijo ekstrema v okolici točke x=0.
rešitev. Tu je potrebno najti ekstreme funkcije. Če je ekstrem x=0, potem ugotovite njegovo vrsto (minimum ali maksimum). Če med najdenimi točkami ni x = 0, potem izračunamo vrednost funkcije f(x=0).
Opozoriti je treba, da kadar odvod na vsaki strani dane točke ne spremeni predznaka, možne situacije niso izčrpane niti za diferenciabilne funkcije: lahko se zgodi, da za poljubno majhno sosesko na eni strani točke x 0 oz. na obeh straneh izpeljanka spremeni predznak. Na teh točkah je treba uporabiti druge metode za preučevanje funkcij za ekstrem.

Naj bo funkcija $z=f(x,y)$ definirana in zvezna v neki omejeni zaprti domeni $D$. Naj ima dana funkcija v tem območju končne delne odvode prvega reda (razen morda končnega števila točk). Za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije dveh spremenljivk v danem zaprtem območju so potrebni trije koraki preprostega algoritma.

Algoritem za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije $z=f(x,y)$ v zaprti domeni $D$.

1. Poiščite kritične točke funkcije $z=f(x,y)$, ki pripadajo domeni $D$. Izračunajte vrednosti funkcij na kritičnih točkah.
2. Raziščite obnašanje funkcije $z=f(x,y)$ na meji območja $D$ in poiščite točke možnih največjih in najmanjših vrednosti. Izračunajte vrednosti funkcije na dobljenih točkah.
3. Iz vrednosti funkcij, pridobljenih v prejšnjih dveh odstavkih, izberite največjo in najmanjšo.

Kaj so kritične točke? pokaži\skrij

Pod kritične točke pomenijo točke, v katerih sta oba delna odvoda prvega reda enaka nič (tj. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ in $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) ali vsaj ena delna izpeljanka ne obstaja.

Pogosto se imenujejo točke, v katerih so delni odvodi prvega reda enaki nič stacionarne točke. Tako so stacionarne točke podmnožica kritičnih točk.

Primer št. 1

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije $z=x^2+2xy-y^2-4x$ v zaprtem območju, ki ga omejujejo črte $x=3$, $y=0$ in $y=x +1 $.

Sledili bomo zgoraj navedenemu, vendar se bomo najprej lotili risanja dane ploskve, ki jo bomo označili s črko $D$. Dobimo enačbe treh ravnih črt, ki omejujejo to območje. Premica $x=3$ poteka skozi točko $(3;0)$ vzporedno z ordinatno osjo (Oy os). Premica $y=0$ je enačba abscisne osi (Ox os). No, da bi zgradili premico $y=x+1$, bomo našli dve točki, skozi katere bomo narisali to premico. Namesto $x$ lahko seveda zamenjate nekaj poljubnih vrednosti. Če na primer zamenjamo $x=10$, dobimo: $y=x+1=10+1=11$. Našli smo točko $(10;11)$, ki leži na premici $y=x+1$. Vendar je bolje najti tiste točke, v katerih premica $y=x+1$ seka premici $x=3$ in $y=0$. Zakaj je to bolje? Ker bomo ubili nekaj ptic na en mah: dobili bomo dve točki za konstrukcijo premice $y=x+1$ in hkrati ugotovili, v katerih točkah ta premica seka druge premice, ki omejujejo dano območje. Premica $y=x+1$ seka premico $x=3$ v točki $(3;4)$, premica $y=0$ pa seka v točki $(-1;0)$. Da potek reševanja ne bom obremenjeval s pomožnimi pojasnili, bom vprašanje pridobitve teh dveh točk postavil v opombo.

Kako sta bili pridobljeni točki $(3;4)$ in $(-1;0)$? pokaži\skrij

Začnimo s presečišča premic $y=x+1$ in $x=3$. Koordinate želene točke pripadajo tako prvi kot drugi ravni črti, zato morate za iskanje neznanih koordinat rešiti sistem enačb:

$$ \levo \( \begin(poravnano) & y=x+1;\\ & x=3. \end(poravnano) \desno. $$

Rešitev takega sistema je trivialna: če nadomestimo $x=3$ v prvo enačbo, bomo imeli: $y=3+1=4$. Točka $(3;4)$ je želeno presečišče premic $y=x+1$ in $x=3$.

Zdaj pa poiščimo presečišče premic $y=x+1$ in $y=0$. Ponovno sestavimo in rešimo sistem enačb:

$$ \levo \( \begin(poravnano) & y=x+1;\\ & y=0. \end(poravnano) \desno. $$

Če zamenjamo $y=0$ v prvo enačbo, dobimo: $0=x+1$, $x=-1$. Točka $(-1;0)$ je želeno presečišče premic $y=x+1$ in $y=0$ (abscisna os).

Vse je pripravljeno za izdelavo risbe, ki bo videti takole:

Vprašanje opombe se zdi očitno, saj je na sliki vse vidno. Vendar je vredno zapomniti, da risba ne more služiti kot dokaz. Risba je zgolj ilustrativna.

Naše območje je bilo definirano z enačbami premice, ki so ga omejile. Očitno te črte določajo trikotnik, kajne? Ali pa ni povsem očitno? Ali pa nam je morda dano drugo območje, omejeno z enakimi črtami:

Seveda v pogoju piše, da je območje zaprto, zato prikazana slika ni pravilna. Da bi se izognili takšnim dvoumnostim, je bolje, da regije definiramo z neenakostmi. Ali nas zanima del ravnine, ki leži pod premico $y=x+1$? V redu, torej $y ≤ x+1$. Ali naj se naše območje nahaja nad črto $y=0$? Odlično, to pomeni $y ≥ 0$. Mimogrede, zadnji dve neenakosti lahko enostavno združimo v eno: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(poravnano) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(poravnano) \desno. $$

Te neenakosti definirajo regijo $D$ in jo definirajo nedvoumno, brez dvoumnosti. Toda kako nam to pomaga pri vprašanju na začetku zapisa? Tudi to bo pomagalo :) Preveriti moramo, ali točka $M_1(1;1)$ pripada območju $D$. Nadomestimo $x=1$ in $y=1$ v sistem neenačb, ki določajo to območje. Če sta obe neenakosti izpolnjeni, potem leži točka znotraj regije. Če vsaj ena od neenakosti ni izpolnjena, potem točka ne pripada regiji. torej:

$$ \left \( \begin(poravnano) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(poravnano) \desno. \;\; \left \( \begin(poravnano) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(poravnano) \desno $$.

Veljavni sta obe neenakosti. Točka $M_1(1;1)$ pripada območju $D$.

Zdaj je na vrsti preučevanje obnašanja funkcije na meji regije, tj. pojdimo na. Začnimo z ravno črto $y=0$.

Premica $y=0$ (x-os) omejuje območje $D$ pod pogojem $-1 ≤ x ≤ 3$. Zamenjajmo $y=0$ v dano funkcijo $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Funkcijo ene spremenljivke $x$, dobljeno kot rezultat substitucije, označimo kot $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Zdaj moramo za funkcijo $f_1(x)$ najti največjo in najmanjšo vrednost na intervalu $-1 ≤ x ≤ 3$. Poiščimo odvod te funkcije in ga enačimo z nič:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Vrednost $x=2$ pripada segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$, zato bomo na seznam točk dodali tudi $M_2(2;0)$. Poleg tega izračunajmo vrednosti funkcije $z$ na koncih segmenta $-1 ≤ x ≤ 3$, tj. v točkah $M_3(-1;0)$ in $M_4(3;0)$. Mimogrede, če točka $M_2$ ne bi pripadala obravnavanemu segmentu, potem seveda ne bi bilo treba izračunati vrednosti funkcije $z$ v njej.

Torej, izračunajmo vrednosti funkcije $z$ v točkah $M_2$, $M_3$, $M_4$. Seveda lahko koordinate teh točk nadomestite v prvotni izraz $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Na primer, za točko $M_2$ dobimo:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Lahko pa izračune nekoliko poenostavimo. Da bi to naredili, si velja zapomniti, da imamo na segmentu $M_3M_4$ $z(x,y)=f_1(x)$. To bom podrobno zapisal:

\begin(poravnano) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \konec(poravnano)

Seveda tako podrobni zapisi običajno niso potrebni, v prihodnje pa bomo vse izračune zapisali na kratko:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Zdaj pa se obrnemo na ravno črto $x=3$. Ta premica omejuje območje $D$ pod pogojem $0 ≤ y ≤ 4$. Nadomestimo $x=3$ v dano funkcijo $z$. Kot rezultat te zamenjave dobimo funkcijo $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Za funkcijo $f_2(y)$ moramo najti največjo in najmanjšo vrednost na intervalu $0 ≤ y ≤ 4$. Poiščimo odvod te funkcije in ga enačimo z nič:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Vrednost $y=3$ pripada segmentu $0 ≤ y ≤ 4$, zato bomo predhodno najdenim točkam dodali tudi $M_5(3;3)$. Poleg tega je potrebno izračunati vrednost funkcije $z$ v točkah na koncih segmenta $0 ≤ y ≤ 4$, tj. v točkah $M_4(3;0)$ in $M_6(3;4)$. V točki $M_4(3;0)$ smo že izračunali vrednost $z$. Izračunajmo vrednost funkcije $z$ v točkah $M_5$ in $M_6$. Naj vas spomnim, da imamo na segmentu $M_4M_6$ $z(x,y)=f_2(y)$, torej:

\begin(poravnano) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \konec(poravnano)

In končno, upoštevajte zadnjo mejo regije $D$, tj. ravna črta $y=x+1$. Ta premica omejuje območje $D$ pod pogojem $-1 ≤ x ≤ 3$. Če nadomestimo $y=x+1$ v funkcijo $z$, bomo imeli:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Spet imamo funkcijo ene spremenljivke $x$. In spet moramo najti največjo in najmanjšo vrednost te funkcije na intervalu $-1 ≤ x ≤ 3$. Poiščimo odvod funkcije $f_(3)(x)$ in ga enačajmo na nič:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Vrednost $x=1$ pripada intervalu $-1 ≤ x ≤ 3$. Če $x=1$, potem $y=x+1=2$. Dodajmo $M_7(1;2)$ na seznam točk in ugotovimo, kakšna je vrednost funkcije $z$ na tej točki. Točke na koncih odseka $-1 ≤ x ≤ 3$, tj. točki $M_3(-1;0)$ in $M_6(3;4)$ smo že obravnavali, v njih smo že našli vrednost funkcije.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Drugi korak rešitve je končan. Dobili smo sedem vrednosti:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Obrnimo se na. Če izberemo največjo in najmanjšo vrednost iz številk, dobljenih v tretjem odstavku, bomo imeli:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$

Naloga je rešena, ostane le še, da zapišemo odgovor.

Odgovori: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Primer št. 2

Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije $z=x^2+y^2-12x+16y$ v območju $x^2+y^2 ≤ 25$.

Najprej sestavimo risbo. Enačba $x^2+y^2=25$ (to je mejna črta danega območja) določa krog s središčem v izhodišču (tj. v točki $(0;0)$) in polmerom 5. Neenakost $x^2 +y^2 ≤ $25 izpolnjuje vse točke znotraj in na omenjenem krogu.

Ukrepali bomo v skladu s. Poiščimo delne odvode in ugotovimo kritične točke.

$$ \frac(\delni z)(\delni x)=2x-12; \frac(\delni z)(\delni y)=2y+16. $$

Ni točk, v katerih najdeni delni odvodi ne obstajajo. Ugotovimo, v katerih točkah sta oba delna odvoda hkrati enaka nič, tj. poiščimo stacionarne točke.

$$ \left \( \begin(poravnano) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(poravnano) \desno. \;\; \left \( \begin(poravnano) & x =6;\\ & y=-8 \end(poravnano) \desno $$.

Dobili smo stacionarno točko $(6;-8)$. Vendar pa najdena točka ne pripada območju $D$. To je enostavno prikazati, ne da bi se zatekli k risbi. Preverimo, ali velja neenakost $x^2+y^2 ≤ 25$, ki določa našo regijo $D$. Če $x=6$, $y=-8$, potem $x^2+y^2=36+64=100$, tj. neenakost $x^2+y^2 ≤ 25$ ne velja. Sklep: točka $(6;-8)$ ne pripada območju $D$.

Torej znotraj območja $D$ ni kritičnih točk. Preidimo na... Preučiti moramo obnašanje funkcije na meji dane regije, tj. na krogu $x^2+y^2=25$. Seveda lahko $y$ izrazimo z $x$ in nato dobljeni izraz nadomestimo v našo funkcijo $z$. Iz enačbe kroga dobimo: $y=\sqrt(25-x^2)$ ali $y=-\sqrt(25-x^2)$. Če na primer zamenjamo $y=\sqrt(25-x^2)$ v dano funkcijo, bomo imeli:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Nadaljnja rešitev bo popolnoma enaka študiji obnašanja funkcije na meji regije v prejšnjem primeru št. 1. Vendar se mi zdi bolj smiselno uporabiti Lagrangeovo metodo v tej situaciji. Zanimal nas bo samo prvi del te metode. Po uporabi prvega dela Lagrangeove metode bomo pridobili točke, v katerih bomo funkcijo $z$ preverjali za najmanjšo in največjo vrednost.

Sestavimo Lagrangeovo funkcijo:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Poiščemo parcialne odvode Lagrangeove funkcije in sestavimo ustrezen sistem enačb:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (poravnano) & 2x-12\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0 \;\; \levo \( \begin(poravnano) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( poravnano)\desno.$ $

Za rešitev tega sistema takoj poudarimo, da je $\lambda\neq -1$. Zakaj $\lambda\neq -1$? Poskusimo nadomestiti $\lambda=-1$ v prvo enačbo:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Nastalo protislovje $0=6$ nakazuje, da je vrednost $\lambda=-1$ nesprejemljiva. Izhod: $\lambda\neq -1$. Izrazimo $x$ in $y$ z $\lambda$:

\begin(poravnano) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \konec(poravnano)

Mislim, da tukaj postane očitno, zakaj smo posebej določili pogoj $\lambda\neq -1$. To je bilo storjeno, da se izraz $1+\lambda$ brez motenj prilega imenovalcem. To pomeni, da se prepričamo, da je imenovalec $1+\lambda\neq 0$.

Nadomestimo dobljena izraza za $x$ in $y$ v tretjo enačbo sistema, tj. v $x^2+y^2=25$:

$$ \levo(\frac(6)(1+\lambda) \desno)^2+\levo(\frac(-8)(1+\lambda) \desno)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Iz dobljene enakosti sledi, da je $1+\lambda=2$ ali $1+\lambda=-2$. Zato imamo dve vrednosti parametra $\lambda$, in sicer: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. V skladu s tem dobimo dva para vrednosti $x$ in $y$:

\begin(poravnano) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \konec(poravnano)

Tako smo dobili dve točki možnega pogojnega ekstrema, tj. $M_1(3;-4)$ in $M_2(-3;4)$. Poiščimo vrednosti funkcije $z$ v točkah $M_1$ in $M_2$:

\begin(poravnano) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \konec(poravnano)

Od tistih, ki smo jih dobili v prvem in drugem koraku, moramo izbrati največjo in najmanjšo vrednost. Ampak v tem primeru je izbira majhna :) Imamo:

$$ z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$

Odgovori: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125 USD.

V fiziki in matematiki je pogosto potrebno najti najmanjšo vrednost funkcije. Zdaj vam bomo povedali, kako to storiti.

Kako najti najmanjšo vrednost funkcije: navodila

1. Če želite izračunati najmanjšo vrednost zvezne funkcije na danem segmentu, morate slediti naslednjemu algoritmu:
2. Poiščite odvod funkcije.
3. Na danem segmentu poiščite točke, v katerih je odvod enak nič, ter vse kritične točke. Nato ugotovite vrednosti funkcije na teh točkah, torej rešite enačbo, kjer je x enak nič. Ugotovite, katera vrednost je najmanjša.
4. Ugotovite, kakšno vrednost ima funkcija na končnih točkah. Določite najmanjšo vrednost funkcije v teh točkah.
5. Dobljene podatke primerjajte z najnižjo vrednostjo. Manjša od dobljenih številk bo najmanjša vrednost funkcije.

Upoštevajte, da če funkcija na segmentu nima najmanjših točk, to pomeni, da na tem segmentu narašča ali pada. Zato je treba najmanjšo vrednost izračunati na končnih segmentih funkcije.

V vseh drugih primerih se vrednost funkcije izračuna po določenem algoritmu. Na vsaki točki algoritma boste morali rešiti preprosto linearno enačbo z enim korenom. Rešite enačbo s pomočjo slike, da se izognete napakam.

Kako najti najmanjšo vrednost funkcije na polodprtem segmentu? V napol odprtem ali odprtem obdobju funkcije je treba najmanjšo vrednost najti na naslednji način. Na končnih točkah vrednosti funkcije izračunajte enostransko mejo funkcije. Z drugimi besedami, rešite enačbo, v kateri so nagibne točke podane z vrednostma a+0 in b+0, kjer sta a in b imeni kritičnih točk.

Zdaj veste, kako najti najmanjšo vrednost funkcije. Glavna stvar je, da vse izračune opravite pravilno, natančno in brez napak.

V tem članku bom govoril o tem, kako uporabiti veščino iskanja pri preučevanju funkcije: najti njeno največjo ali najmanjšo vrednost. Nato bomo rešili več nalog iz naloge B15 iz Odprte banke nalog za.

Kot ponavadi se najprej spomnimo teorije.

Na začetku vsake študije funkcije jo najdemo

Da bi našli največjo ali najmanjšo vrednost funkcije, morate preveriti, v katerih intervalih funkcija narašča in v katerih pada.

Da bi to naredili, moramo poiskati odvod funkcije in preučiti njene intervale s konstantnim predznakom, to je intervale, v katerih odvod ohrani svoj predznak.

Intervali, v katerih je odvod funkcije pozitiven, so intervali naraščajoče funkcije.

Intervali, na katerih je odvod funkcije negativen, so intervali padajoče funkcije.

1. Rešimo nalogo B15 (št. 245184)

Za rešitev bomo sledili naslednjemu algoritmu:

a) Poišči domeno definicije funkcije

b) Poiščimo odvod funkcije.

c) Izenačimo ga z nič.

d) Poiščimo intervale konstantnega predznaka funkcije.

e) Poiščite točko, v kateri funkcija prevzame največjo vrednost.

f) Poiščite vrednost funkcije na tej točki.

Podrobno rešitev te naloge razložim v VIDEO VODNICI:

Vaš brskalnik verjetno ni podprt. Če želite uporabiti simulator "Enotna ura državnega izpita", poskusite prenesti
Firefox

2. Rešimo nalogo B15 (št. 282862)

Poiščite največjo vrednost funkcije na segmentu

Očitno je, da ima funkcija največjo vrednost na segmentu v največji točki, pri x=2. Poiščimo vrednost funkcije na tej točki:

Odgovor: 5

3. Rešimo nalogo B15 (št. 245180):

Poiščite največjo vrednost funkcije

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Ker glede na domeno definicije izvirne funkcije title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Števec je enak nič pri . Preverimo, ali ODZ pripada funkciji. Če želite to narediti, preverimo, ali je pogoj title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

to pomeni, da točka pripada funkciji ODZ

Oglejmo si predznak odvoda desno in levo od točke:

Vidimo, da funkcija dobi največjo vrednost v točki . Zdaj pa poiščimo vrednost funkcije pri:

Opomba 1. Upoštevajte, da v tej nalogi nismo našli domene definicije funkcije: le popravili smo omejitve in preverili, ali točka, v kateri je odvod enak nič, spada v domeno definicije funkcije. To se je izkazalo za dovolj za to nalogo. Vendar ni vedno tako. Odvisno od naloge.

Opomba 2. Ko preučujete obnašanje kompleksne funkcije, lahko uporabite naslednje pravilo:

• če zunanja funkcija kompleksne funkcije narašča, potem ima funkcija svojo največjo vrednost na isti točki, kjer ima notranja funkcija največjo vrednost. To izhaja iz definicije naraščajoče funkcije: funkcija narašča na intervalu I, če večja vrednost argumenta iz tega intervala ustreza večji vrednosti funkcije.
• če zunanja funkcija kompleksne funkcije pada, potem funkcija prevzame največjo vrednost na isti točki, kjer notranja funkcija prevzame najmanjšo vrednost . To izhaja iz definicije padajoče funkcije: funkcija pada na intervalu I, če večja vrednost argumenta iz tega intervala ustreza manjši vrednosti funkcije

V našem primeru se zunanja funkcija povečuje skozi celotno domeno definicije. Pod znakom logaritma je izraz - kvadratni trinom, ki z negativnim vodilnim koeficientom prevzame največjo vrednost v točki. . Nato to vrednost x nadomestimo v funkcijsko enačbo in najti njegovo največjo vrednost.

Kako najti največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu?

Za to sledimo znanemu algoritmu:

1 . Iskanje funkcij ODZ.

2 . Iskanje odvoda funkcije

3 . Izenačenje odvoda na nič

4 . Poiščemo intervale, v katerih odvod ohrani predznak, in iz njih določimo intervale naraščanja in padanja funkcije:

Če je na intervalu I odvod funkcije 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} v tem intervalu narašča.

Če je na intervalu I odvod funkcije , potem funkcija se v tem intervalu zmanjša.

5 . Najdemo maksimalne in minimalne točke funkcije.

IN na maksimalni točki funkcije odvod spremeni predznak iz “+” v “-”.

IN minimalna točka funkcijeizpeljanka spremeni predznak iz "-" v "+".

6 . Vrednost funkcije najdemo na koncih segmenta,

• nato primerjamo vrednost funkcije na koncih segmenta in na maksimalnih točkah ter izberite največjo izmed njih, če želite najti največjo vrednost funkcije
• ali primerjajte vrednost funkcije na koncih segmenta in na najmanjših točkah ter izberite najmanjšo izmed njih, če želite najti najmanjšo vrednost funkcije

Vendar pa je glede na to, kako se funkcija obnaša na segmentu, ta algoritem mogoče znatno zmanjšati.

Upoštevajte funkcijo . Graf te funkcije izgleda takole:

Oglejmo si nekaj primerov reševanja problemov iz Open Task Bank za

1. Naloga B15 (št. 26695)

Na segmentu.

1. Funkcija je definirana za vse realne vrednosti x

Očitno je, da ta enačba nima rešitev in je derivat pozitiven za vse vrednosti x. Posledično funkcija narašča in zavzame največjo vrednost na desnem koncu intervala, to je pri x=0.

Odgovor: 5.

2 . Naloga B15 (št. 26702)

Poiščite največjo vrednost funkcije na segmentu.

1. Funkcije ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Odvod je enak nič pri , vendar v teh točkah ne spremeni predznaka:

Zato je naslov="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} poveča in zavzame največjo vrednost na desnem koncu intervala, pri .

Da bo jasno, zakaj izpeljanka ne spremeni predznaka, transformiramo izraz za izpeljanko na naslednji način:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Odgovor: 5.

3. Naloga B15 (št. 26708)

Poiščite najmanjšo vrednost funkcije na odseku.

1. Funkcije ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Postavimo korenine te enačbe na trigonometrični krog.

Interval vsebuje dve števili: in

Postavimo znake. Da bi to naredili, določimo predznak odvoda v točki x=0: . Pri prehodu skozi točke in odvod spremeni predznak.

Upodabljamo spremembo predznaka odvoda funkcije na koordinatni premici:

Očitno je točka minimalna točka (v kateri izpeljanka spremeni predznak iz "-" v "+"), in da bi našli najmanjšo vrednost funkcije na segmentu, morate primerjati vrednosti funkcije na najmanjšo točko in na levem koncu segmenta, .

domov » Urgenca, BP in drugi podobni » Kakšna je največja vrednost funkcije? Največja in najmanjša vrednost funkcije