Čemu je enak sinus kosinus tangens? Sinus, kosinus, tangens, kotangens ostrega kota

Sinus ostri kot α pravokotnega trikotnika je razmerje nasprotje krak na hipotenuzo.
Označeno je takole: sin α.

Kosinus Ostri kot α pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo.
Označen je na naslednji način: cos α.

Tangenta ostri kot α je razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo.
Označen je na naslednji način: tg α.

Kotangens ostri kot α je razmerje med sosednjo in nasprotno stranico.
Označen je na naslednji način: ctg α.

Sinus, kosinus, tangens in kotangens kota so odvisni le od velikosti kota.

Pravila:

Osnovne trigonometrične identitete v pravokotnem trikotniku:

(α - ostri kot nasproti noge b in ob nogi a . Stran z – hipotenuza. β – drugi ostri kot).

Ko se ostri kot povečasin α intan α povečanje incos α se zmanjša.

Za vsak ostri kot α:

sin (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Primer-razlaga:

Naj bo v pravokotnem trikotniku ABC
AB = 6,
BC = 3,
kot A = 30º.

Ugotovimo sinus kota A in kosinus kota B.

rešitev

1) Najprej najdemo vrednost kota B. Tukaj je vse preprosto: ker je v pravokotnem trikotniku vsota ostrih kotov 90º, potem je kot B = 60º:

B = 90º – 30º = 60º.

2) Izračunajmo sin A. Vemo, da je sinus enak razmerju nasprotne stranice proti hipotenuzi. Za kot A je nasprotna stran stranica BC. Torej:

BC 3 1
greh A = -- = - = -
AB 6 2

3) Zdaj pa izračunajmo cos B. Vemo, da je kosinus enak razmerju med sosednjim krakom in hipotenuzo. Za kot B je sosednji krak enaka stranica BC. To pomeni, da moramo ponovno deliti BC z AB - to je, izvesti enaka dejanja kot pri izračunu sinusa kota A:

BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Rezultat je:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Iz tega sledi, da je v pravokotnem trikotniku sinus enega ostrega kota enak kosinusu drugega ostrega kota - in obratno. Točno to pomenita naši dve formuli:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Prepričajmo se o tem še enkrat:

1) Naj bo α = 60º. Če nadomestimo vrednost α v sinusno formulo, dobimo:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Naj bo α = 30º. Če nadomestimo vrednost α v formulo kosinusa, dobimo:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.

(Za več informacij o trigonometriji glejte razdelek Algebra)

Najprej razmislite o krogu s polmerom 1 in središčem v (0;0). Za kateri koli αЄR lahko polmer 0A narišemo tako, da je radianska mera kota med 0A in osjo 0x enaka α. Smer v nasprotni smeri urinega kazalca velja za pozitivno. Naj ima konec polmera A koordinate (a,b).

Opredelitev sinusa

Definicija: Število b, enako ordinati enotskega polmera, zgrajenega na opisani način, označimo s sinα in imenujemo sinus kota α.

Primer: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0

Opredelitev kosinusa

Definicija: Število a, enako abscisi konca enotskega polmera, zgrajenega na opisani način, označimo s cosα in imenujemo kosinus kota α.

Primer: cos0 cos3π + cos3,5π = 1 (-1) + 0 = 2

Ti primeri uporabljajo definicijo sinusa in kosinusa kota glede na koordinate konca enotskega polmera in enotskega kroga. Za bolj vizualno predstavitev morate narisati enotski krog in nanj narisati ustrezne točke ter nato prešteti njihove abscise za izračun kosinusa in ordinate za izračun sinusa.

Definicija tangente

Definicija: Funkcija tgx=sinx/cosx za x≠π/2+πk, kЄZ, se imenuje kotangens kota x. Domen definicije funkcije tgx so vsa realna števila, razen x=π/2+πn, nЄZ.

Primer: tg0 tgπ = 0 0 = 0

Ta primer je podoben prejšnjemu. Če želite izračunati tangens kota, morate ordinato točke deliti z njeno absciso.

Opredelitev kotangensa

Definicija: Funkcija ctgx=cosx/sinx za x≠πk, kЄZ se imenuje kotangens kota x. Domen definicije funkcije ctgx = so vsa realna števila razen točk x=πk, kЄZ.

Oglejmo si primer pravilnega pravokotnega trikotnika

Da bo bolj jasno, kaj so kosinus, sinus, tangens in kotangens. Oglejmo si primer pravilnega pravokotnega trikotnika s kotom y in stranicami a,b,c. Hipotenuza c, kateta a oziroma b. Kot med hipotenuzo c in krakom b y.

definicija: Sinus kota y je razmerje med nasprotno stranico in hipotenuzo: siny = a/c

definicija: Kosinus kota y je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo: cosy = v/c

definicija: Tangens kota y je razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo: tgy = a/b

definicija: Kotangens kota y je razmerje med sosednjo in nasprotno stranjo: ctgy= in/a

Sinus, kosinus, tangens in kotangens imenujemo tudi trigonometrične funkcije. Vsak kot ima svoj sinus in kosinus. In skoraj vsak ima svoj tangens in kotangens.

Menijo, da če nam je dan kot, potem so nam znani sinus, kosinus, tangens in kotangens! In obratno. Glede na sinus ali katero koli drugo trigonometrično funkcijo poznamo kot. Ustvarjene so bile celo posebne tabele, kjer so za vsak kot zapisane trigonometrične funkcije.

V tem članku bomo pokazali, kako dati definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa kota in števila v trigonometriji. Tukaj bomo govorili o notacijah, podali primere vnosov in podali grafične ponazoritve. Za zaključek naj potegnemo vzporednico med definicijami sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa v trigonometriji in geometriji.

Navigacija po straneh.

Definicija sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa

Poglejmo, kako se v šolskem tečaju matematike oblikuje ideja sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. Pri pouku geometrije je podana definicija sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa ostrega kota v pravokotnem trikotniku. In kasneje se preučuje trigonometrija, ki govori o sinusu, kosinusu, tangensu in kotangensu kota zasuka in številu. Naj predstavimo vse te definicije, navedemo primere in podamo potrebne komentarje.

Ostri kot v pravokotnem trikotniku

Iz predmeta geometrija poznamo definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa ostrega kota v pravokotnem trikotniku. Podane so kot razmerje stranic pravokotnega trikotnika. Naj podamo njihove formulacije.

Opredelitev.

Sinus ostrega kota v pravokotnem trikotniku je razmerje med nasprotno stranico in hipotenuzo.

Opredelitev.

Kosinus ostrega kota v pravokotnem trikotniku je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo.

Opredelitev.

Tangenta ostrega kota v pravokotnem trikotniku– to je razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo.

Opredelitev.

Kotangens ostrega kota v pravokotnem trikotniku- to je razmerje med sosednjo in nasprotno stranjo.

Tam so uvedene tudi oznake za sinus, kosinus, tangens in kotangens - sin, cos, tg in ctg.

Na primer, če je ABC pravokotni trikotnik s pravim kotom C, potem je sinus ostrega kota A enak razmerju med nasprotno stranico BC in hipotenuzo AB, to je sin∠A=BC/AB.

Te definicije vam omogočajo, da izračunate vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa ostrega kota iz znanih dolžin strani pravokotnega trikotnika, pa tudi iz znanih vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa, kotangens in dolžino ene od stranic, da bi našli dolžine drugih stranic. Na primer, če bi vedeli, da je v pravokotnem trikotniku krak AC enak 3 in hipotenuza AB enaka 7, potem bi lahko izračunali vrednost kosinusa ostrega kota A po definiciji: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Kot vrtenja

V trigonometriji začnejo na kot gledati širše – uvedejo pojem rotacijski kot. Velikost rotacijskega kota, za razliko od ostrega kota, ni omejena na 0 do 90 stopinj; rotacijski kot v stopinjah (in v radianih) je lahko izražen s poljubnim realnim številom od −∞ do +∞.

V tej luči so definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa podane ne za ostri kot, temveč za kot poljubne velikosti - kot vrtenja. Podane so s koordinatama x in y točke A 1, v katero gre tako imenovana izhodiščna točka A(1, 0) po vrtenju za kot α okoli točke O - začetka pravokotnega kartezičnega koordinatnega sistema. in središče enotskega kroga.

Opredelitev.

Sinus rotacijskega kotaα je ordinata točke A 1, to je sinα=y.

Opredelitev.

Kosinus rotacijskega kotaα imenujemo abscisa točke A 1, to je cosα=x.

Opredelitev.

Tangens kota vrtenjaα je razmerje med ordinato točke A 1 in njeno absciso, to je tanα=y/x.

Opredelitev.

Kotangens rotacijskega kotaα je razmerje med absciso točke A 1 in njeno ordinato, to je ctgα=x/y.

Sinus in kosinus sta definirana za vsak kot α, saj lahko vedno določimo absciso in ordinato točke, ki jo dobimo z vrtenjem izhodišča za kot α. Toda tangens in kotangens nista definirana za noben kot. Tangenta ni definirana za kote α, pri katerih gre začetna točka v točko z ničelno absciso (0, 1) ali (0, −1), in to se zgodi pri kotih 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Dejansko pri takšnih vrtilnih kotih izraz tgα=y/x nima smisla, saj vsebuje deljenje z nič. Kar zadeva kotangens, ni definiran za kote α, pri katerih gre začetna točka v točko z ničelno ordinato (1, 0) ali (−1, 0), in to se zgodi za kote 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Torej sta sinus in kosinus definirana za vse kote rotacije, tangens je definiran za vse kote razen 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), kotangens pa je definiran za vse kote razen 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

Definicije vključujejo že znane oznake sin, cos, tg in ctg, uporabljajo pa se tudi za označevanje sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa kota vrtenja (včasih lahko najdete oznake tan in cot, ki ustrezata tangensu in kotangensu) . Tako lahko sinus rotacijskega kota 30 stopinj zapišemo kot sin30°, vnosa tg(−24°17′) in ctgα ustrezata tangensu rotacijskega kota −24 stopinj 17 minut in kotangensu rotacijskega kota α . Spomnimo se, da pri pisanju radianske mere kota pogosto izpustimo oznako "rad". Na primer, kosinus rotacijskega kota treh pi rad je običajno označen s cos3·π.

Za zaključek te točke velja omeniti, da ko govorimo o sinusu, kosinusu, tangensu in kotangensu vrtilnega kota, pogosto izpustimo izraz "rotacijski kot" ali besedo "rotacija". To pomeni, da se namesto besedne zveze "sinus rotacijskega kota alfa" običajno uporablja besedna zveza "sinus kota alfa" ali, še krajše, "sinus alfa". Enako velja za kosinus, tangens in kotangens.

Povedali bomo tudi, da so definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa ostrega kota v pravokotnem trikotniku skladne z definicijami, ki so pravkar podane za sinus, kosinus, tangens in kotangens rotacijskega kota v razponu od 0 do 90 stopinj. To bomo utemeljili.

Številke

Opredelitev.

Sinus, kosinus, tangens in kotangens števila t je število, ki je enako sinusu, kosinusu, tangensu in kotangensu rotacijskega kota v t radianih.

Na primer, kosinus števila 8·π je po definiciji število, ki je enako kosinusu kota 8·π rad. In kosinus kota 8·π rad je enak ena, torej je kosinus števila 8·π enak 1.

Obstaja še en pristop k določanju sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa števila. Sestoji iz dejstva, da je vsako realno število t povezano s točko na enotskem krogu s središčem v izhodišču pravokotnega koordinatnega sistema, sinus, kosinus, tangens in kotangens pa so določeni preko koordinat te točke. Oglejmo si to podrobneje.

Pokažimo, kako se vzpostavi ujemanje med realnimi števili in točkami na krogu:

• številu 0 priredimo izhodišče A(1, 0);
• pozitivnemu številu t je pridružena točka na enotskem krogu, do katere pridemo, če se po krožnici premaknemo od začetne točke v nasprotni smeri urinega kazalca in prehodimo pot dolžine t;
• negativnemu številu t je pridružena točka na enotskem krogu, do katere pridemo, če se po krožnici premikamo od izhodišča v smeri urinega kazalca in prehodimo pot dolžine |t| .

Zdaj preidimo na definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa števila t. Predpostavimo, da število t ustreza točki na krožnici A 1 (x, y) (na primer število &pi/2; ustreza točki A 1 (0, 1)).

Opredelitev.

Sinus števila t je ordinata točke na enotskem krogu, ki ustreza številu t, to je sint=y.

Opredelitev.

Kosinus števila t imenujemo abscisa točke enotskega kroga, ki ustreza številu t, to je cena=x.

Opredelitev.

Tangens števila t je razmerje med ordinato in absciso točke na enotskem krogu, ki ustreza številu t, to je tgt=y/x. V drugi enakovredni formulaciji je tangens števila t razmerje med sinusom tega števila in kosinusom, to je tgt=sint/strošek.

Opredelitev.

Kotangens števila t je razmerje med absciso in ordinato točke na enotskem krogu, ki ustreza številu t, to je ctgt=x/y. Druga formulacija je naslednja: tangens števila t je razmerje med kosinusom števila t in sinusom števila t: ctgt=cost/sint.

Tukaj ugotavljamo, da so pravkar navedene definicije skladne z definicijo, podano na začetku tega odstavka. Dejansko točka na enotskem krogu, ki ustreza številu t, sovpada s točko, ki jo dobimo z vrtenjem začetne točke za kot t radianov.

Še vedno je vredno pojasniti to točko. Recimo, da imamo vnos sin3. Kako lahko razumemo, ali govorimo o sinusu števila 3 ali sinusu rotacijskega kota 3 radianov? To je običajno jasno iz konteksta, sicer verjetno ni bistvenega pomena.

Trigonometrične funkcije kotnega in numeričnega argumenta

V skladu z definicijami, podanimi v prejšnjem odstavku, vsak rotacijski kot α ustreza zelo specifični vrednosti sinα, kot tudi vrednosti cosα. Poleg tega vsi rotacijski koti, razen 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), ustrezajo vrednostim tgα, vrednosti, ki niso 180°k, k∈Z (πk rad ) – vrednosti od ctgα. Zato so sinα, cosα, tanα in ctgα funkcije kota α. Z drugimi besedami, to so funkcije kotnega argumenta.

Podobno lahko govorimo o funkcijah sinus, kosinus, tangens in kotangens numeričnega argumenta. Dejansko vsako realno število t ustreza zelo specifični vrednosti sint, pa tudi strošku. Poleg tega vse številke razen π/2+π·k, k∈Z ustrezajo vrednostim tgt, številke π·k, k∈Z pa vrednostim ctgt.

Imenujemo funkcije sinus, kosinus, tangens in kotangens osnovne trigonometrične funkcije.

Običajno je iz konteksta jasno, ali imamo opravka s trigonometričnimi funkcijami kotnega argumenta ali numeričnega argumenta. V nasprotnem primeru si lahko neodvisno spremenljivko predstavljamo kot merilo kota (kotni argument) in numerični argument.

Vendar se v šoli učimo predvsem numeričnih funkcij, torej funkcij, katerih argumenti in njihove ustrezne vrednosti funkcij so števila. Če torej govorimo posebej o funkcijah, potem je priporočljivo trigonometrične funkcije obravnavati kot funkcije numeričnih argumentov.

Razmerje med definicijami iz geometrije in trigonometrije

Če upoštevamo vrtilni kot α v območju od 0 do 90 stopinj, potem so definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa vrtilnega kota v kontekstu trigonometrije popolnoma skladne z definicijami sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa ostri kot v pravokotnem trikotniku, ki so podani pri tečaju geometrije. Utemeljimo to.

Upodabljajmo enotski krog v pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu Oxy. Označimo izhodišče A(1, 0) . Zasukamo ga za kot α od 0 do 90 stopinj, dobimo točko A 1 (x, y). Spustimo navpičnico A 1 H iz točke A 1 na os Ox.

Zlahka je videti, da je v pravokotnem trikotniku kot A 1 OH enak rotacijskemu kotu α, dolžina kraka OH, ki meji na ta kot, je enaka abscisi točke A 1, to je | OH |=x, dolžina kraka A 1 H nasproti kotu je enaka ordinati točke A 1, to je |A 1 H|=y, dolžina hipotenuze OA 1 pa je enaka ena, saj je polmer enotskega kroga. Potem je po definiciji iz geometrije sinus ostrega kota α v pravokotnem trikotniku A 1 OH enak razmerju nasprotnega kraka proti hipotenuzi, to je sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. In po definiciji iz trigonometrije je sinus rotacijskega kota α enak ordinati točke A 1, to je sinα=y. To kaže, da je določanje sinusa ostrega kota v pravokotnem trikotniku enakovredno določanju sinusa rotacijskega kota α, ko je α od 0 do 90 stopinj.

Podobno je mogoče pokazati, da so definicije kosinusa, tangensa in kotangensa ostrega kota α skladne z definicijami kosinusa, tangensa in kotangensa rotacijskega kota α.

Reference.

1. Geometrija. 7-9 razredi: učbenik za splošno izobraževanje ustanove / [L. S. Atanasjan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomcev itd.]. - 20. izd. M .: Izobraževanje, 2010. - 384 str .: ilustr. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometrija: Učbenik. za 7-9 razrede. splošno izobraževanje ustanove / A. V. Pogorelov. - 2. izd.: Izobraževanje, 2001. - 224 str.: ilustr. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra in elementarne funkcije: Učbenik za dijake 9. razreda srednje šole / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Uredil doktor fizikalnih in matematičnih znanosti O. N. Golovin - 4. izd. M.: Izobraževanje, 1969.
4. Algebra: Učbenik za 9. razred. povpr. šola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.: Izobraževanje, 1990. - 272 str.: ilustr
5. Algebra in začetek analize: Proc. za 10-11 razrede. splošno izobraževanje ustanove / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn in drugi; Ed. A. N. Kolmogorov, 14. izd.: Izobraževanje, 2004. - il.
6. Mordkovič A. G. Algebra in začetki analize. 10. razred. V 2 delih 1. del: učbenik za splošne izobraževalne ustanove (stopnja profila) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. izd., dod. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 str .: ilustr. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra in začetek matematične analize. 10. razred: učbenik. za splošno izobraževanje ustanove: osnovne in profilne. ravni / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunin]; uredil A. B. Žižčenko. - 3. izd. - I.: Vzgoja, 2010.- 368 str.: ilustr.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bašmakov M. I. Algebra in začetki analize: Učbenik. za 10-11 razrede. povpr. šola - 3. izd. - M .: Izobraževanje, 1993. - 351 str .: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovič A. G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole): Proc. dodatek.- M.; višje šola, 1984.-351 str., ilustr.

Kaj je sinus, kosinus, tangens, kotangens kota, vam bo pomagalo razumeti pravokotni trikotnik.

Kako se imenujejo stranice pravokotnega trikotnika? Tako je, hipotenuza in noge: hipotenuza je stranica, ki leži nasproti pravega kota (v našem primeru je to stranica \(AC\)); kraka sta dve preostali stranici \(AB\) in \(BC\) (tisti, ki mejita na pravi kot), in če upoštevamo krake glede na kot \(BC\), potem je krak \(AB\) sosednji krak, krak \(BC\) pa nasproti. Torej, zdaj odgovorimo na vprašanje: kaj so sinus, kosinus, tangens in kotangens kota?

Sinus kota– to je razmerje med nasprotnim (oddaljenim) krakom in hipotenuzo.

V našem trikotniku:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Kosinus kota– to je razmerje med sosednjo (tesno) nogo in hipotenuzo.

V našem trikotniku:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangens kota– to je razmerje nasprotne (oddaljene) strani do sosednje (bližnje).

V našem trikotniku:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotangens kota– to je razmerje med sosednjo (bližnjo) nogo in nasprotno (daleč).

V našem trikotniku:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Te definicije so potrebne zapomni si! Da bi si lažje zapomnili, katero nogo razdeliti na kaj, morate jasno razumeti, da v tangenta in kotangens samo noge sedijo, hipotenuza pa se pojavi samo v sinusov in kosinus. In potem lahko dobite verigo asociacij. Na primer ta:

Kosinus→dotik→dotik→sosednji;

Kotangens→dotik→dotik→sosednji.

Najprej si morate zapomniti, da sinus, kosinus, tangens in kotangens kot razmerja stranic trikotnika niso odvisni od dolžin teh strani (pod istim kotom). ne verjameš? Nato se prepričajte z ogledom slike:

Upoštevajte na primer kosinus kota \(\beta \) . Po definiciji iz trikotnika \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), lahko pa izračunamo kosinus kota \(\beta \) iz trikotnika \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Vidite, dolžine strani so različne, vendar je vrednost kosinusa enega kota enaka. Tako so vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa odvisne izključno od velikosti kota.

Če razumete definicije, jih nadaljujte in utrdite!

Za trikotnik \(ABC \), prikazan na spodnji sliki, najdemo \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(matrika) \)

No, si razumel? Potem poskusite sami: enako izračunajte za kot \(\beta \) .

odgovori: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Enotni (trigonometrični) krog

Če razumemo koncepte stopinj in radianov, smo obravnavali krog s polmerom \(1\) . Tak krog se imenuje samski. Zelo koristen bo pri študiju trigonometrije. Zato si ga poglejmo nekoliko podrobneje.

Kot lahko vidite, je ta krog zgrajen v kartezičnem koordinatnem sistemu. Polmer kroga je enak ena, medtem ko je središče kroga v izhodišču koordinat, začetni položaj vektorja radija je fiksiran vzdolž pozitivne smeri osi \(x\) (v našem primeru je to je polmer \(AB\)).

Vsaka točka na krogu ustreza dvema številoma: koordinati vzdolž osi \(x\) in koordinati vzdolž osi \(y\). Kakšne so te koordinatne številke? In sploh, kaj imajo z obravnavano temo? Da bi to naredili, se moramo spomniti obravnavanega pravokotnega trikotnika. Na zgornji sliki lahko vidite dva cela pravokotna trikotnika. Razmislite o trikotniku \(ACG\). Pravokoten je, ker je \(CG\) pravokoten na os \(x\).

Koliko je \(\cos \ \alpha \) iz trikotnika \(ACG \)? Tako je prav \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Poleg tega vemo, da je \(AC\) polmer enotskega kroga, kar pomeni \(AC=1\) . Nadomestimo to vrednost v našo formulo za kosinus. Takole se zgodi:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Čemu je enako \(\sin \ \alpha \) iz trikotnika \(ACG \)? No seveda \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Nadomestite vrednost polmera \(AC\) v to formulo in dobite:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Torej, ali lahko poveste, katere koordinate ima točka \(C\), ki pripada krogu? No, nikakor? Kaj pa, če ugotovite, da sta \(\cos \ \alpha \) in \(\sin \alpha \) samo številki? Kateri koordinati ustreza \(\cos \alpha \)? No, seveda, koordinata \(x\)! In kateri koordinati ustreza \(\sin \alpha \)? Tako je, koordiniraj \(y\)! Torej bistvo \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Čemu sta potem enaka \(tg \alpha \) in \(ctg \alpha \)? Tako je, uporabimo ustrezni definiciji tangensa in kotangensa in dobimo to \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Kaj pa, če je kot večji? Na primer, kot na tej sliki:

Kaj se je v tem primeru spremenilo? Ugotovimo. Če želite to narediti, se spet obrnemo na pravokotni trikotnik. Razmislite o pravokotnem trikotniku \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : kot (kot sosednji kotu \(\beta \) ). Kakšna je vrednost sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa za kot \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Tako je, držimo se ustreznih definicij trigonometričnih funkcij:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\kot ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\kot ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(matrika) \)

No, kot lahko vidite, vrednost sinusa kota še vedno ustreza koordinati \(y\) ; vrednost kosinusa kota - koordinata \(x\) ; in vrednosti tangensa in kotangensa na ustrezna razmerja. Tako te relacije veljajo za vsako rotacijo radijnega vektorja.

Omenili smo že, da je začetni položaj radijnega vektorja vzdolž pozitivne smeri osi \(x\). Doslej smo ta vektor vrteli v nasprotni smeri urinega kazalca, kaj pa se zgodi, če ga zavrtimo v smeri urinega kazalca? Nič izjemnega, dobili boste tudi kot določene vrednosti, a le ta bo negativen. Tako dobimo pri vrtenju vektorja polmera v nasprotni smeri urinega kazalca pozitivni koti, in pri vrtenju v smeri urinega kazalca – negativno.

Torej vemo, da je celoten obrat vektorja radija okoli kroga \(360()^\circ \) ali \(2\pi \) . Ali je možno zasukati vektor polmera za \(390()^\circ \) ali za \(-1140()^\circ \)? No, seveda lahko! V prvem primeru, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), tako bo polmerni vektor naredil en polni obrat in se ustavil na položaju \(30()^\circ \) ali \(\dfrac(\pi )(6) \) .

V drugem primeru \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), kar pomeni, da bo polmerni vektor naredil tri polne obrate in se ustavil na položaju \(-60()^\circ \) ali \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Tako lahko iz zgornjih primerov sklepamo, da koti, ki se razlikujejo za \(360()^\circ \cdot m \) ali \(2\pi \cdot m \) (kjer je \(m \) poljubno celo število), ustrezajo istemu položaju vektorja radija.

Spodnja slika prikazuje kot \(\beta =-60()^\circ \) . Ista slika ustreza kotu \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) itd. Ta seznam se lahko nadaljuje za nedoločen čas. Vse te kote lahko zapišemo s splošno formulo \(\beta +360()^\circ \cdot m\) ali \(\beta +2\pi \cdot m \) (kjer je \(m \) poljubno celo število)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(matrika) \)

Zdaj, ko poznate definicije osnovnih trigonometričnih funkcij in uporabite enotski krog, poskusite odgovoriti, katere so vrednosti:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\besedilo(tg)\ 180()^\circ =\besedilo(tg)\ \pi =?\\\besedilo(ctg)\ 180()^\circ =\besedilo(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\besedilo(tg)\ 270()^\circ =?\\\besedilo (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(matrika) \)

Tukaj je enotski krog, ki vam bo v pomoč:

Imate težave? Potem ugotovimo. Torej vemo, da:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x) )(y).\end(matrika)\)

Od tu določimo koordinate točk, ki ustrezajo določenim kotnim meram. No, začnimo po vrsti: kotiček v \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) ustreza točki s koordinatami \(\left(0;1 \right) \), torej:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- ne obstaja;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Nadalje, ob upoštevanju iste logike, ugotovimo, da so vogali v \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) ustrezajo točkam s koordinatami \(\levo(-1;0 \desno),\besedilo( )\levo(0;-1 \desno),\besedilo( )\levo(1;0 \desno),\besedilo( )\levo(0 ;1 \desno) \), oz. Če vemo to, je enostavno določiti vrednosti trigonometričnih funkcij na ustreznih točkah. Najprej poskusite sami, nato pa preverite odgovore.

odgovori:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- ne obstaja

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- ne obstaja

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \ 360()^\circ =0 \)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- ne obstaja

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- ne obstaja

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \desno)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Tako lahko naredimo naslednjo tabelo:

Vseh teh vrednosti si ni treba zapomniti. Dovolj je, da se spomnimo korespondence med koordinatami točk na enotskem krogu in vrednostmi trigonometričnih funkcij:

\(\levo. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Morate si ga zapomniti ali biti sposobni prikazati!! \) !}

Toda vrednosti trigonometričnih funkcij kotov v in \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) navedene v spodnji tabeli, si morate zapomniti:

Naj vas ne bo strah, zdaj vam bomo pokazali en primer dokaj preprostega pomnjenja ustreznih vrednosti:

Za uporabo te metode je nujno, da si zapomnite sinusne vrednosti za vse tri mere kota ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), kot tudi vrednost tangensa kota v \(30()^\circ \) . Če poznate te \(4\) vrednosti, je povsem preprosto obnoviti celotno tabelo - vrednosti kosinusa se prenesejo v skladu s puščicami, to je:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\\konec(matrika)\)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), če to veste, lahko obnovite vrednosti za \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Števec "\(1 \)" bo ustrezal \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) in imenovalec "\(\sqrt(\text(3)) \)" bo ustrezal \(\besedilo (tg)\ 60()^\circ \ \) . Vrednosti kotangensa se prenesejo v skladu s puščicami, prikazanimi na sliki. Če to razumete in si zapomnite diagram s puščicami, potem bo dovolj, da si zapomnite samo \(4\) vrednosti iz tabele.

Koordinate točke na krožnici

Ali je mogoče najti točko (njene koordinate) na krogu, če poznamo koordinate središča kroga, njegov polmer in kot vrtenja? No, seveda lahko! Izpeljimo splošno formulo za iskanje koordinat točke. Na primer, tukaj je krog pred nami:

Ta točka nam je dana \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- središče kroga. Polmer kroga je \(1,5\) . Treba je najti koordinate točke \(P\), ki jih dobimo z vrtenjem točke \(O\) za \(\delta \) stopinj.

Kot je razvidno iz slike, koordinata \(x\) točke \(P\) ustreza dolžini odseka \(TP=UQ=UK+KQ\) . Dolžina odseka \(UK\) ustreza koordinati \(x\) središča kroga, kar pomeni, da je enaka \(3\) . Dolžino odseka \(KQ\) lahko izrazimo z definicijo kosinusa:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Potem imamo to za točko \(P\) koordinato \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Z uporabo iste logike najdemo vrednost koordinate y za točko \(P\) . torej

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Torej so na splošno koordinate točk določene s formulami:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \konec(matrika) \), Kje

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - koordinate središča kroga,

\(r\) - polmer kroga,

\(\delta \) - rotacijski kot polmera vektorja.

Kot lahko vidite, so za enotski krog, ki ga obravnavamo, te formule znatno zmanjšane, saj so koordinate središča enake nič in polmer enak ena:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(matrika) \)

Učitelji verjamejo, da bi moral biti vsak učenec sposoben izvajati izračune in poznati trigonometrične formule, vendar vsak učitelj ne razloži, kaj sta sinus in kosinus. Kakšen je njihov pomen, kje se uporabljajo? Zakaj govorimo o trikotniku, v učbeniku pa je prikazan krog? Poskusimo povezati vsa dejstva.

Šolski predmet

Učenje trigonometrije se običajno začne v 7.-8. razredu srednje šole. Takrat študentom razložijo, kaj sta sinus in kosinus, in jih prosijo, da rešijo geometrijske probleme z uporabo teh funkcij. Kasneje se pojavijo kompleksnejše formule in izrazi, ki jih je treba algebraično preoblikovati (formule dvojnega in polovičnega kota, potenčne funkcije), delo pa poteka s trigonometričnim krogom.

Vendar pa učitelji ne znajo vedno jasno razložiti pomena uporabljenih pojmov in uporabnosti formul. Zato učenec pogosto ne vidi smisla v tem predmetu, zapomniti informacije pa se hitro pozabijo. Ko pa srednješolcu razložite na primer povezavo med funkcijo in nihanjem, se bo logična povezava spominjala še vrsto let, šale o neuporabnosti predmeta pa bodo postale preteklost.

Uporaba

Za radovednost poglejmo različne veje fizike. Ali želite določiti domet izstrelka? Ali pa računate silo trenja med predmetom in določeno površino? Nihanje nihala, opazovanje žarkov, ki gredo skozi steklo, računanje indukcije? Trigonometrični koncepti se pojavljajo v skoraj vseh formulah. Torej, kaj sta sinus in kosinus?

Definicije

Sinus kota je razmerje med nasprotno stranjo in hipotenuzo, kosinus je razmerje med sosednjo stranico in isto hipotenuzo. Tukaj ni popolnoma nič zapletenega. Morda so učenci običajno zmedeni zaradi vrednosti, ki jih vidijo na trigonometrični tabeli, ker vključuje kvadratne korene. Da, pridobivanje decimalk iz njih ni zelo priročno, toda kdo je rekel, da morajo biti vse številke v matematiki enake?

Pravzaprav lahko v knjigah s trigonometričnimi nalogami najdete smešen namig: večina odgovorov tukaj je sodih in v najslabšem primeru vsebuje koren iz dva ali tri. Zaključek je preprost: če se izkaže, da je vaš odgovor "večnadstropni" ulomek, še enkrat preverite rešitev glede napak v izračunih ali sklepanju. In najverjetneje jih boste našli.

Kaj si zapomniti

Kot vsaka znanost ima tudi trigonometrija podatke, ki se jih je treba naučiti.

Najprej si morate zapomniti številske vrednosti za sinuse pravokotnega trikotnika, kosinuse 0 in 90 ter 30, 45 in 60 stopinj. Te kazalnike najdemo pri devetih od desetih šolskih problemov. Če pogledate te vrednosti v učbeniku, boste izgubili veliko časa in med testom ali izpitom jih ne boste imeli kje pogledati.

Ne smemo pozabiti, da vrednost obeh funkcij ne sme presegati ene. Če kjer koli v svojih izračunih dobite vrednost zunaj območja 0-1, se ustavite in poskusite znova rešiti težavo.

Vsota kvadratov sinusa in kosinusa je enaka ena. Če ste eno od vrednosti že našli, s to formulo poiščite preostalo.

Izreki

V osnovni trigonometriji obstajata dva osnovna izreka: sinusni in kosinusni.

Prva navaja, da je razmerje med vsako stranjo trikotnika in sinusom nasprotnega kota enako. Drugi je, da lahko kvadrat katere koli strani dobimo tako, da seštejemo kvadrata obeh preostalih strani in odštejemo njun dvojni produkt, pomnožen s kosinusom kota, ki leži med njima.

Torej, če nadomestimo vrednost kota 90 stopinj v kosinusni izrek, dobimo ... Pitagorov izrek. Zdaj, če morate izračunati površino figure, ki ni pravi trikotnik, vam ni več treba skrbeti - dva obravnavana izreka bosta bistveno poenostavila rešitev problema.

Cilji in cilji

Učenje trigonometrije bo postalo veliko lažje, ko boste spoznali eno preprosto dejstvo: vsa dejanja, ki jih izvajate, so usmerjena k doseganju samo enega cilja. Vse parametre trikotnika je mogoče najti, če poznate minimalne informacije o njem - to je lahko vrednost enega kota in dolžina dveh strani ali na primer treh strani.

Za določitev sinusa, kosinusa, tangensa katerega koli kota so ti podatki zadostni in z njihovo pomočjo lahko enostavno izračunate površino figure. Skoraj vedno odgovor zahteva eno od omenjenih vrednosti, najdemo pa jih lahko z istimi formulami.

Nedoslednosti pri učenju trigonometrije

Eno od zmedenih vprašanj, ki se mu učenci raje izognejo, je odkrivanje povezav med različnimi pojmi v trigonometriji. Zdi se, da se trikotniki uporabljajo za preučevanje sinusov in kosinusov kotov, vendar so iz nekega razloga simboli pogosto najdeni na sliki s krogom. Poleg tega obstaja popolnoma nerazumljiv valovni graf, imenovan sinusni val, ki nima zunanje podobnosti niti s krogom niti s trikotniki.

Poleg tega se koti merijo bodisi v stopinjah bodisi v radianih, število Pi, zapisano preprosto kot 3,14 (brez enot), pa se iz nekega razloga pojavi v formulah, kar ustreza 180 stopinjam. Kako je vse to povezano?

Merske enote

Zakaj je Pi točno 3,14? Se spomnite, kaj je to pomen? To je število polmerov, ki se prilegajo loku na polovici kroga. Če je premer kroga 2 centimetra, bo obseg 3,14 * 2 ali 6,28.

Druga točka: morda ste opazili podobnost med besedama "radian" in "radius". Dejstvo je, da je en radian številčno enak kotu, ki poteka iz središča kroga na lok, dolg en polmer.

Sedaj bomo združili pridobljeno znanje in razumeli, zakaj je v trigonometriji na vrhu koordinatne osi zapisano »Pi na pol«, levo pa »Pi«. To je kotna vrednost, merjena v radianih, ker je polkrog 180 stopinj ali 3,14 radiana. In kjer so stopinje, so sinusi in kosinusi. Iz želene točke je enostavno narisati trikotnik, pri čemer odmaknete segmente do središča in koordinatne osi.

Poglejmo v prihodnost

Trigonometrija, ki se preučuje v šoli, se ukvarja s pravokotnim koordinatnim sistemom, kjer je, ne glede na to, kako čudno se sliši, ravna črta ravna črta.

Obstajajo pa tudi bolj zapleteni načini dela s prostorom: vsota kotov trikotnika bo tukaj več kot 180 stopinj, ravna črta v našem pogledu pa bo videti kot pravi lok.

Preidimo od besed k dejanjem! Vzemi jabolko. Z nožem naredite tri reze, tako da, gledano od zgoraj, dobite trikotnik. Izvlecite nastali kos jabolka in poglejte "rebra", kjer se lupina konča. Sploh niso ravni. Sadje v vaših rokah lahko običajno imenujemo okroglo, zdaj pa si predstavljajte, kako zapletene morajo biti formule, s katerimi lahko najdete območje odrezanega kosa. Toda nekateri strokovnjaki vsak dan rešujejo takšne težave.

Trigonometrične funkcije v življenju

Ste opazili, da ima najkrajša pot za letalo od točke A do točke B na površju našega planeta izrazito obliko loka? Razlog je preprost: Zemlja je sferična, kar pomeni, da s trikotniki ne morete veliko izračunati - uporabiti morate bolj zapletene formule.

Brez sinusa/kosinusa ostrega kota ne morete storiti pri vprašanjih, povezanih s prostorom. Zanimivo je, da se tu združi ogromno dejavnikov: trigonometrične funkcije so potrebne pri izračunu gibanja planetov vzdolž krožnic, elips in različnih trajektorij kompleksnejših oblik; proces izstrelitve raket, satelitov, shuttlov, odklop raziskovalnih vozil; opazovanje oddaljenih zvezd in proučevanje galaksij, ki jih človek v doglednem času ne bo mogel doseči.

Na splošno je področje delovanja osebe, ki pozna trigonometrijo, zelo široko in se bo očitno sčasoma le širilo.

Zaključek

Danes smo se naučili ali vsaj ponovili, kaj sta sinus in kosinus. To so koncepti, ki se vam jih ni treba bati – samo zaželite jih in razumeli boste njihov pomen. Ne pozabite, da trigonometrija ni cilj, ampak le orodje, ki ga je mogoče uporabiti za zadovoljevanje resničnih človeških potreb: graditi hiše, zagotavljati prometno varnost, celo raziskovati prostranstva vesolja.

Res se znanost sama po sebi morda zdi dolgočasna, a takoj ko boste v njej našli način za doseganje lastnih ciljev in samouresničitev, bo učni proces postal zanimiv, vaša osebna motivacija pa večja.

Za domačo nalogo poskusite najti načine za uporabo trigonometričnih funkcij na področju, ki vas zanima. Predstavljajte si, uporabite svojo domišljijo in potem boste verjetno ugotovili, da vam bo novo znanje koristilo v prihodnosti. In poleg tega je matematika koristna za splošni razvoj mišljenja.

domov » Tatjana O » Čemu je enak sinus kosinus tangens? Sinus, kosinus, tangens, kotangens ostrega kota