Naključne spremenljivke. Diskretne naključne spremenljivke Porazdelitvena funkcija in njene lastnosti

Diskretne naključne spremenljivke Naključne spremenljivke, ki zavzemajo samo med seboj ločene vrednosti, ki jih je mogoče vnaprej našteti Primeri: - število glav pri treh metih kovancev; - število zadetkov v tarčo z 10 streli; - število prejetih klicev na reševalni postaji na dan.

Porazdelitveni zakon naključne spremenljivke je vsako razmerje, ki vzpostavlja povezavo med možnimi vrednostmi naključne spremenljivke in njihovimi ustreznimi verjetnostmi. Porazdelitveni zakon naključne spremenljivke lahko podamo v obliki: tabele, grafa, formule (analitično).

Izračun verjetnosti realizacije določenih vrednosti naključnega števila. Število izpadajočih glav je 0 - dogodki: PP - verjetnost 0,5 *0,5 =0,25 Število izpadajočih glav je 1 - dogodki: P0 ali OP - verjetnost 0,5 *0,5 + 0,5*0,5 = 0,5 Število glav je 2 – dogodki: 00 – verjetnost 0,5 *0,5 = 0,25 Vsota verjetnosti: 0,25 + 0,50 + 0,25 = 1

Izračun vrednosti niza porazdelitev naključnega števila Problem. Strelec izstreli 3 strele v tarčo. Verjetnost zadetka tarče z vsakim strelom je 0,4. Za vsak zadetek se strelcu dodeli 5 točk. Sestavite porazdelitveno vrsto za število doseženih točk. Verjetnost dogodkov: binomska porazdelitev Oznaka dogodka: zadetek - 1, zgrešen - 0 Celotna skupina dogodkov: 000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, 111 k = 0, 1, 2, 3

Porazdelitvena serija naključnega števila izločenih točk dogodka število točk verjetnost dogodka0,2160,4320,2880,064

Operaciji seštevanja in množenja naključnih spremenljivk Vsota dveh naključnih spremenljivk X in Y je naključna spremenljivka, ki jo dobimo kot rezultat seštevanja vseh vrednosti naključne spremenljivke X in vseh vrednosti naključne spremenljivke Y , se ustrezne verjetnosti pomnožijo X01 p0.20.70.1 Y123 p0.30, 50.2

Operacije seštevanja naključnih spremenljivk Z = = =2 0+1 =1 0+2 =2 0+3 =3 1+1 =2 1+2 =3 1+3 =4 p 0,060,10,040,210,350,140,030,050,02 Z01234 p0, 060,310,420,190, 02

Operacije množenja naključnih spremenljivk Produkt dveh naključnih spremenljivk X in Y je naključna spremenljivka, ki jo dobimo z množenjem vseh vrednosti naključne spremenljivke X in vseh vrednosti naključne spremenljivke Y, ustrezne verjetnosti se pomnožijo X01 p0,20,70,1 Y123 p0,30,50, 2

Lastnosti porazdelitvene funkcije F(X) 0 F(x) 1 F(X) - nepadajoča funkcija Verjetnost, da naključna spremenljivka X pade v interval (a,b), je enaka razliki med vrednostmi porazdelitvene funkcije na desnem in levem koncu intervala: P(a X

Osnovne značilnosti diskretnih naključnih spremenljivk Matematično pričakovanje (povprečna vrednost) naključne spremenljivke je enako vsoti zmnožkov vrednosti, ki jih ta vrednost sprejema, in pripadajočih verjetnosti: M(x) = x 1 P 1 + x 2 P x n P n =

Xixi PiPi x i P i (x i – M) 2 (x i – M) 2 P i 2 0,1 0,2 (2–3,6) 2 = 2.560,256 30,30,9 (3–3,6) 2 = 0,360,108 40,52 (4–3,6) 2 = 0,160,08 50,10,50,5 (5-3,6) 2 = 1,960,196 PRIMER: Izračunajte glavne numerične značilnosti za število prejetih naročil zdravil v 1 uri M( x)=3,6 D(x)=0,64
PRIPOROČANO BRANJE: Osnovna literatura: Ganicheva A.V., Kozlov V.P. Matematika za psihologe. M.: Aspect-press, 2005, s Pavluškovim I.V. Osnove višje matematike in matematična statistika. M., GEOTAR-Media, Zhurbenko L. Matematika v primerih in problemih. M.: Infra-M, Učni pripomočki: Shapiro L.A., Shilina N.G. Vodnik po praktičnem pouku medicinske in biološke statistike Krasnojarsk: Polikom LLC. – 2003.

Diapozitiv 1

Opis diapozitiva:

Diapozitiv 2

Opis diapozitiva:

Diapozitiv 3

Opis diapozitiva:

Diapozitiv 4

Opis diapozitiva:

Diapozitiv 5

Opis diapozitiva:

Recimo, da je izvedenih n neodvisnih poskusov, zaradi katerih se dogodek A lahko zgodi ali pa tudi ne. Naj bo verjetnost pojava dogodka A v vsakem poskusu enaka p. Vzemimo naključno spremenljivko – število pojavitev dogodka A med n neodvisnimi poskusi. Območje spremembe je sestavljeno iz vseh celih števil od 0 do vključno n. Zakon porazdelitve verjetnosti p(m) je določen z Bernoullijevo formulo (13"): Predpostavimo, da je izvedenih n neodvisnih poskusov, zaradi vsakega od katerih se dogodek A lahko zgodi ali ne. Naj bo verjetnost pojava dogodek A v vsakem poskusu je enak naključni spremenljivki - število pojavov dogodka A v n neodvisnih poskusih je sestavljeno iz vseh celih števil od 0 do vključno n določeno z Bernoullijevo formulo (13"):

Diapozitiv 6

Opis diapozitiva:

Diapozitiv 7

Opis diapozitiva:

Diapozitiv 8

Verjetnosti p(xi) se izračunajo z uporabo Bernoullijeve formule za n=10. Za x>6 so praktično enaki nič. Graf funkcije p(x) je prikazan na sl. 3. Verjetnosti p(xi) se izračunajo z uporabo Bernoullijeve formule za n=10. Za x>6 so praktično enaki nič. Graf funkcije p(x) je prikazan na sl. 3.

Metodološki razvoj je predstavitev v elektronski obliki.

Ta metodološki razvoj vsebuje 26 diapozitivov s povzetkom teoretičnega gradiva za razdelek Naključne spremenljivke. Teoretično gradivo vključuje pojem naključne spremenljivke in je logično pravilno razdeljeno na dva dela: diskretno naključno spremenljivko in zvezno naključno spremenljivko. Tematika DSV vključuje pojem DSV in metode nastavljanja, numerične značilnosti DSV (matematično pričakovanje, disperzija, standardni odklon, začetni in centralni moment, modus, mediana). Podane so glavne lastnosti numeričnih karakteristik DSV in razmerja med njimi. Tema NSV podobno odraža zgornje koncepte, opredeljuje porazdelitvene funkcije SV in gostoto porazdelitve SV, nakazuje odnos med njimi ter predstavlja tudi glavne vrste porazdelitev SV: enakomerne in normalne porazdelitve.

splošna lekcija na to temo.

Ta razvoj je uporaben:

• pri preučevanju razdelka Naključne spremenljivke s prikazom posameznih diapozitivov za učinkovito asimilacijo novega materiala z vizualno percepcijo,
• pri obnavljanju temeljnega znanja učencev
• pri pripravi študentov na zaključno spričevalo v disciplini.

Prenos:

Predogled:

Če želite uporabljati predogled predstavitev, ustvarite Google Račun in se prijavite vanj: https://accounts.google.com

Podnapisi diapozitivov:

Vsebina Slučajne spremenljivke Diskretna slučajna spremenljivka (DRV) SV porazdelitveni zakon Numerične značilnosti RSV Teoretični vidiki RSV Sistem dveh RSV Numerične značilnosti sistema dveh RSV Zvezna SV Porazdelitvena funkcija RSV Distribucijska funkcija gostote RSV Numerične značilnosti krivulja porazdelitve RSV načina RSV Mediana Enakomerna porazdelitev gostote Normalni zakon porazdelitve. Laplaceova funkcija

Naključne spremenljivke Naključna spremenljivka (VV) je količina, ki lahko zaradi eksperimenta zavzame eno ali drugo vrednost, pri čemer se pred poskusom ne ve vnaprej, katera je. Razdeljeni so v dve vrsti: diskretni SV (DSV) in zvezni SV (NSV).

DVR z diskretno naključno spremenljivko (DRV) je vrednost, katere število možnih testov je končno ali neskončno, vendar nujno šteto. Na primer, stopnja zadetkov za 3 strele - X x 1 =0, x 2 =1, x 3 =2, x 4 =3 DSV bo v celoti opisana z verjetnostnega vidika, če je navedeno, kakšna je verjetnost vsakega od dogodkov ima.

Zakon porazdelitve SV je razmerje, ki vzpostavlja povezavo med možno vrednostjo SV in pripadajočimi verjetnostmi. Obrazci za podajanje porazdelitvenega zakona: Tabela Porazdelitveni zakon SV X x 1 x 2 … x n P i p 1 p 2 … p n

2. Porazdelitveni poligon Porazdelitveni zakon DSV P i X i x 1 x 2 x 3 x 4 p 1 p 2 p 3 p 4 Porazdelitveni poligon Vsota ordinat porazdelitvenega poligona, ki je vsota verjetnosti vseh možnih vrednosti ​​SV, je vedno enako 1

Numerične značilnosti DSV Matematično pričakovanje je vsota produktov vrednosti DSV in njihovih verjetnosti. Matematično pričakovanje je značilnost povprečne vrednosti naključne spremenljivke

Numerične značilnosti DSV Lastnosti matematičnega pričakovanja:

Numerične značilnosti DSV 2. Varianca DSV je matematično pričakovanje kvadrata odstopanja naključne spremenljivke od matematičnega pričakovanja. Disperzija označuje mero disperzije vrednosti SV od matematičnega pričakovanja. Pri reševanju problemov se disperzija priročno izračuna po formuli: - Standardni odklon

Numerične značilnosti disperzijskih lastnosti DSV:

Teoretični momenti DSV Začetni moment reda k SSV je matematična relacija X k Centralni moment reda k SSV je matematično pričakovanje količine

Sistem dveh DSV Sistem dveh DSV (X Y) lahko predstavimo z naključno točko na ravnini. Dogodek, sestavljen iz naključne točke (X Y), ki pade v regijo D, je označen z (X,Y) ∩D Distribucijski zakon sistema dveh DSV je mogoče določiti s tabelo

Sistem dveh DSV Tabela, ki definira porazdelitveni zakon za sistem dveh DSV Y X y 1 y 2 y 3 … y n x 1 p 11 p 12 p 13 … p 1n x 2 p 21 p 22 p 23 … p 2n x 3 p 31 p 32 p 33 … p 3n … … … … … … x m p m1 p m2 p m3 … p mn

Numerične značilnosti sistema dveh DSV in disperzije sistema dveh DSV je priročno uporabiti formulo

Zvezni SV NSV je količina, katere možne vrednosti neprekinjeno zapolnjujejo določen interval (končen ali neskončen). Število vseh možnih vrednosti NSV je neskončno. Primer: Naključno odstopanje v dosegu točke udarca izstrelka od cilja.

Porazdelitvena funkcija SSV Porazdelitvena funkcija se imenuje F(x), ki za vsako vrednost x določa verjetnost, da bo SSV zavzel vrednost manjšo od x, tj. po definiciji F(x)=P(X

Porazdelitvena funkcija SVX Lastnosti porazdelitvene funkcije: če, potem posledica: Če vse možne vrednosti x SVX pripadajo intervalu (a;b), potem za a=b F(x)=0 Posledica: 1. 2. 3 Porazdelitvena funkcija je zvezna na levi strani

Funkcija gostote porazdelitve NSW Funkcija gostote verjetnosti je prvi odvod funkcije F(x) f(x)=F`(x). f(x) imenujemo diferencialna funkcija. Verjetnost, da bo NSWH prevzel vrednosti, ki pripadajo intervalu (a;b), izračunana s formulo. Če poznate gostoto porazdelitve, lahko najdete lastnosti funkcije porazdelitve: , zlasti če vse možne vrednosti SV pripadajo (a;b), nato 1. 2.

Numerične značilnosti NSV Matematično pričakovanje NSVH, katerega vse možne vrednosti pripadajo intervalu (a;b), je določeno z enakostjo: Varianca NSVH, katere vse možne vrednosti pripadajo interval (a;b), je določen z enakostjo: Pri reševanju nalog velja formula:

Numerične značilnosti NSV Standardni odklon je določen na enak način kot za DSV: Začetni moment k-tega reda NSV je določen z enakostjo:

Numerične značilnosti NSSV Centralni moment k-tega reda NSSV, katerega vse možne vrednosti pripadajo intervalu (a:b), je določen z enakostjo:

Numerične značilnosti NSV Če vse možne vrednosti NSVH pripadajo celotni numerični osi OX, potem je v vseh zgornjih formulah določen integral nadomeščen z nepravilnim integralom z neskončnimi spodnjimi in zgornjimi mejami.

Porazdelitvena krivulja SVX Y X M 0 a b Graf funkcije f(x) se imenuje porazdelitvena krivulja porazdelitvena krivulja Geometrično je verjetnost, da SVX pade v interval (a;b), enaka površini ustreznega krivočrtni trapez, omejen s porazdelitveno krivuljo z osjo OX in ravnima črtama x=a in x=b

Način Način DSVH je njegova najverjetnejša vrednost. Način NSWH je njegova vrednost M 0, pri kateri je gostota porazdelitve največja. Za iskanje načina NSV je potrebno najti maksimum funkcije z uporabo prvega ali drugega odvoda. M 0 =2, ker 0,1 0,3 Geometrijsko je moda abscisa tiste točke porazdelitvene krivulje ali mnogokotnika, katere ordinata je največja X 1 2 3 P 0,1 0,6 0,3 Y X M 0 a b

Mediana Mediana NISV je vrednost M e, za katero je enako verjetno, da bo naključna spremenljivka večja ali manjša od M e, tj. P(x Ме)=0,5 Ordinata, narisana na točko z absciso Me, deli na polovico površino, ki jo omejuje porazdelitvena krivulja ali poligon. Če je premica x=a simetrijska os porazdelitvene krivulje y=f(x), potem je M 0 =M e = M(X)= a

Enakomerna porazdelitev gostote Enakomerna je porazdelitev takih SV, katerih vse vrednosti ležijo na določenem segmentu (a;b) in imajo na tem segmentu konstantno gostoto verjetnosti Y X a b h Pričakovanje, disperzija, standardni odklon enakomerno porazdeljenega SV:

Normalni porazdelitveni zakon. Laplaceova funkcija Za normalno porazdelitev je značilna krivulja porazdelitve simetrična glede na premico x=a. Največja ordinata pri x=a je Y X x=a Gaussova krivulja, normalna krivulja Abscisna os je asimptota krivulje y=f(x) Ф (x) - Laplaceova funkcija

Testna vprašanja 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Kaj imenujemo naključna spremenljivka?
Katere vrste naključnih spremenljivk poznate?
Kar imenujemo diskretno naključno
velikost?
Kako se imenuje zakon porazdelitve?
naključna spremenljivka?
Kako lahko določite distribucijski zakon
naključna spremenljivka?
Kako lahko nastavimo distribucijski zakon DSV?
Poimenujte glavne numerične značilnosti
DSV, in zapišite formule za njihov izračun.

1. Vrste naključnih spremenljivk

2. Porazdelitev diskretne naključne spremenljivke

3. Porazdelitvena funkcija