Študija naraščajočih in padajočih funkcij. Tema "Naraščanje in padanje kvadratne funkcije" Poišči po
1. Poiščite domeno funkcije
2. Poiščite odvod funkcije
3. Izenačite odvod na nič in poiščite kritične točke funkcije
4. Označite kritične točke na območju definicije
5. Izračunajte predznak odvoda v vsakem od dobljenih intervalov
6. Ugotovite obnašanje funkcije v posameznem intervalu.
Primer: Poiščite intervale naraščajoče in padajoče funkcijef(x) = in število ničel te funkcije na intervalu .
rešitev:
1.D( f) = R
2. f"(x) =
D( f") = D( f) = R
3. Z rešitvijo enačbe poiščite kritične točke funkcije f"(x) = 0.
x(x – 10) = 0
kritične točke funkcije x= 0 in x = 10.
4. Določimo predznak odvoda.
f"(x) + – +
f(x) 0 10x
v intervalih (-∞; 0) in (10; +∞) je odvod funkcije pozitiven in v točkah x= 0 in x = 10 funkcija f(x) je zvezna, zato ta funkcija narašča na intervalih: (-∞; 0]; .
Določimo znak funkcijskih vrednosti na koncih segmenta.
f(0) = 3, f(0) > 0
f(10) = , f(10) < 0.
Ker se funkcija zmanjša na segmentu in se predznak vrednosti funkcije spremeni, je na tem segmentu ena ničla funkcije.
Odgovor: funkcija f(x) narašča na intervalih: (-∞; 0]; ;
na intervalu ima funkcija eno funkcijo nič.
2. Točke ekstremov funkcije: točke maksimuma in točke minimuma. Nujni in zadostni pogoji za obstoj ekstrema funkcije. Pravilo za preučevanje funkcije za ekstrem .
Definicija 1:Točke, v katerih je odvod enak nič, imenujemo kritične ali stacionarne.
Definicija 2. Točka se imenuje minimalna (maksimalna) točka funkcije, če je vrednost funkcije na tej točki manjša (večja) od najbližjih vrednosti funkcije.
Upoštevati je treba, da sta maksimum in minimum v tem primeru lokalna.
Na sl. 1. Prikazani so lokalni maksimumi in minimumi.
Maksimum in minimum funkcije združuje skupno ime: ekstrem funkcije.1. izrek.(nujen znak obstoja ekstrema funkcije). Če ima funkcija, ki jo je mogoče diferencirati v točki, maksimum ali minimum v tej točki, potem njen odvod v točki izgine, .
2. izrek.(zadostno znamenje obstoja ekstrema funkcije). Če ima zvezna funkcija odvod v vseh točkah nekega intervala, ki vsebuje kritično točko (z možno izjemo te točke same) in če odvod, ko gre argument od leve proti desni skozi kritično točko, spremeni predznak iz plusa v minus, potem ima funkcija na tej točki maksimum, ko pa se predznak spremeni iz minusa v plus, ima minimum.
Iskanje iz grafa intervalov naraščajoče in padajoče kvadratne funkcije xy 0 11 Funkcija je padajoča na intervalu, če večja vrednost x ustreza manjši vrednosti y, tj. pri premikanju od leve proti desni gre graf navzdol ( kliknite za ogled) Funkcija narašča na intervalu, če večji vrednosti x ustreza večja vrednost y, tj. pri premikanju z leve proti desni se graf dvigne (kliknite za ogled)
8 y x0 11 Iz grafa poiščite in zapišite intervale naraščanja in padanja kvadratne funkcije. Upoštevajte, da je graf kvadratne funkcije sestavljen iz dveh vej. Veje so med seboj povezane z vrhom parabole. Pri zapisovanju intervalov naraščanja in padanja bo imela najpomembnejšo vlogo abscisa (x) vrha parabole. Primer 1. Upoštevajmo gibanje po vsaki veji parabole posebej: po levi veji, pri gibanju od leve proti desni gre graf navzdol, kar pomeni, da funkcija pada; vzdolž desne veje - graf gre navzgor, kar pomeni, da funkcija narašča. Odgovor: padajoči interval (- ∞; -1 ]; naraščajoči interval [ -1; +∞)
8 y x0 11 Na grafu poiščite in zapišite intervale naraščanja in padanja kvadratne funkcije Primer 2. Upoštevajte gibanje po vsaki veji parabole posebej: po levi veji gre graf pri premikanju od leve proti desni. navzgor, kar pomeni, da se funkcija poveča; po desni veji - graf gre navzdol, kar pomeni, da funkcija pada. Odgovor: interval naraščanja (- ∞; 3 ]; interval padanja [ 3; +∞).
Naloge za samostojno reševanje (izpolniti v zvezku) 1. naloga 2. naloga 3. naloga 4. naloga Priloga
naraščajoči interval (- ∞; -1 ]; padajoči interval [ -1; +∞). preveri odgovor. Iz grafa poišči in zapiši intervale naraščanja in padanja kvadratne funkcije 88 y x0 1 11 oglej si animacijo odgovor zapiši sam
padajoči interval (- ∞; 3 ]; naraščajoči interval [ 3; +∞). Iz grafa poišči in zapiši intervale naraščajoče in padajoče kvadratne funkcije y x 11 0 8 2 oglej si animacijo zapiši odgovor odgovor preveri sam
Iz grafa poiščite in zapišite intervale naraščanja in padanja kvadratne funkcije 8 y 0 1 1 x3 oglejte si animacijo sami zapišite odgovor interval padanja (- ∞; 0 ]; interval naraščanja [ 0; +∞ ). preveri odgovor
“Iz grafa poišči in zapiši intervale naraščanja in padanja kvadratne funkcije 8 1 y 01 x4 oglej si animacijo sam zapiši odgovor interval naraščanja (- ∞; - 0, 5 ]; interval padanja [ - 0,5; + ∞). preveri odgovor
Dodatek Mejna točka intervalov naraščanja in padanja je abscisa oglišča parabole. Mejna točka intervalov naraščanja in padanja je v odgovoru vedno zapisana z oglatim oklepajem, saj je kvadratna funkcija zvezna.
Ekstremi funkcije
Definicija 2
Točka $x_0$ se imenuje največja točka funkcije $f(x)$, če obstaja soseska te točke, tako da za vse $x$ v tej soseščini velja neenakost $f(x)\le f(x_0) $ drži.
Definicija 3
Točka $x_0$ se imenuje največja točka funkcije $f(x)$, če obstaja soseska te točke, tako da za vse $x$ v tej soseščini velja neenakost $f(x)\ge f(x_0) $ drži.
Koncept ekstrema funkcije je tesno povezan s konceptom kritične točke funkcije. Naj predstavimo njegovo definicijo.
Definicija 4
$x_0$ se imenuje kritična točka funkcije $f(x)$, če:
1) $x_0$ - notranja točka domene definicije;
2) $f"\left(x_0\right)=0$ ali ne obstaja.
Za koncept ekstrema lahko oblikujemo izreke o zadostnih in nujnih pogojih za njegov obstoj.
2. izrek
Zadosten pogoj za ekstrem
Naj bo točka $x_0$ kritična za funkcijo $y=f(x)$ in leži v intervalu $(a,b)$. Naj na vsakem intervalu $\left(a,x_0\right)\ in\ (x_0,b)$ obstaja odvod $f"(x)$ in ohranja konstanten predznak. Potem:
1) Če je na intervalu $(a,x_0)$ odvod $f"\left(x\right)>0$, na intervalu $(x_0,b)$ pa je odvod $f"\left( x\desno)
2) Če je na intervalu $(a,x_0)$ odvod $f"\left(x\right)0$, potem je točka $x_0$ točka minimuma za to funkcijo.
3) Če je oba na intervalu $(a,x_0)$ in na intervalu $(x_0,b)$ odvod $f"\left(x\right) >0$ ali odvod $f"\left(x \desno)
Ta izrek je prikazan na sliki 1.
Slika 1. Zadosten pogoj za obstoj ekstremov
Primeri ekstremov (slika 2).
Slika 2. Primeri ekstremnih točk
Pravilo za preučevanje funkcije za ekstrem
2) Poiščite odvod $f"(x)$;
7) Sklepajte o prisotnosti maksimumov in minimumov na vsakem intervalu z uporabo izreka 2.
Naraščajoče in padajoče funkcije
Najprej predstavimo definiciji naraščajoče in padajoče funkcije.
Definicija 5
Za funkcijo $y=f(x)$, definirano na intervalu $X$, pravimo, da narašča, če je za katero koli točko $x_1,x_2\in X$ pri $x_1
Opredelitev 6
Za funkcijo $y=f(x)$, definirano na intervalu $X$, pravimo, da pada, če je za katero koli točko $x_1,x_2\in X$ za $x_1f(x_2)$.
Preučevanje funkcije za naraščanje in padanje
Naraščajoče in padajoče funkcije lahko preučujete z uporabo odvoda.
Če želite preučiti funkcijo za intervale naraščanja in padanja, morate narediti naslednje:
1) Poišči domeno definicije funkcije $f(x)$;
2) Poiščite odvod $f"(x)$;
3) Poiščite točke, v katerih velja enakost $f"\left(x\right)=0$;
4) Poiščite točke, v katerih $f"(x)$ ne obstaja;
5) Označite na koordinatni premici vse najdene točke in domeno definicije te funkcije;
6) Določite predznak odvoda $f"(x)$ na vsakem nastalem intervalu;
7) Potegnite sklep: na intervalih, kjer je $f"\left(x\right)0$, funkcija narašča.
Primeri problemov za študij funkcij za naraščanje, padanje in prisotnost ekstremnih točk
Primer 1
Preglejte funkcijo za naraščanje in padanje ter prisotnost največjih in najmanjših točk: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$
Ker je prvih 6 točk enakih, jih najprej izvedimo.
1) Domena definicije - vsa realna števila;
2) $f"\levo(x\desno)=6x^2-30x+36$;
3) $f"\levo(x\desno)=0$;
\ \ \
4) $f"(x)$ obstaja na vseh točkah domene definicije;
5) Koordinatna črta:
Slika 3.
6) Določite predznak odvoda $f"(x)$ na vsakem intervalu:
\ \}
