Vsak šolar ve, da je kvadrat hipotenuze vedno enak vsoti nog, od katerih je vsaka kvadrirana. Ta izjava se imenuje Pitagorov izrek. Je eden najbolj znanih izrekov trigonometrije in matematike nasploh. Oglejmo si ga pobližje.

Koncept pravokotnega trikotnika

Preden nadaljujemo z obravnavo Pitagorovega izreka, v katerem je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov katet, bi morali razmisliti o konceptu in lastnostih pravokotnega trikotnika, za katerega velja izrek.

Trikotnik je ploščat lik s tremi koti in tremi stranicami. Pravokotni trikotnik ima, kot pove že njegovo ime, en pravi kot, to pomeni, da je ta kot enak 90 o.

Iz splošnih lastnosti vseh trikotnikov je znano, da je vsota vseh treh kotov tega lika enaka 180 o, kar pomeni, da je za pravokotni trikotnik vsota dveh kotov, ki nista prava kota, 180 o - 90 o = 90 o. To zadnje dejstvo pomeni, da bo vsak kot v pravokotnem trikotniku, ki ni pravi, vedno manjši od 90 o.

Stran, ki leži nasproti pravega kota, se imenuje hipotenuza. Drugi dve stranici sta kraka trikotnika, lahko sta med seboj enaki, lahko pa tudi različni. Iz trigonometrije vemo, da večji kot je stranica trikotnika, večja je dolžina te stranice. To pomeni, da bo v pravokotnem trikotniku hipotenuza (leži nasproti kota 90 o) vedno večja od katerega koli kraka (leži nasproti kotov< 90 o).

Matematični zapis Pitagorovega izreka

Ta izrek pravi, da je kvadrat hipotenuze enak vsoti katet, od katerih je vsaka predhodno kvadrirana. Če želite matematično zapisati to formulacijo, razmislite o pravokotnem trikotniku, v katerem so stranice a, b in c obe kateti oziroma hipotenuza. V tem primeru lahko izrek, ki je formuliran kot kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov nog, predstavimo z naslednjo formulo: c 2 = a 2 + b 2. Od tu lahko dobimo druge formule, pomembne za prakso: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) in c = √(a 2 + b 2).

Upoštevajte, da bo v primeru pravokotnega enakostraničnega trikotnika, to je a = b, formulacija: kvadrat hipotenuze je enak vsoti katet, od katerih je vsaka kvadratirana, matematično zapisana na naslednji način: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, kar implicira enakost: c = a√2.

Zgodovinsko ozadje

Pitagorov izrek, ki pravi, da je kvadrat hipotenuze enak vsoti katet, od katerih je vsaka kvadratirana, je bil znan že veliko prej, preden se mu je posvetil slavni grški filozof. Številni papirusi starega Egipta, pa tudi glinene tablice Babiloncev potrjujejo, da so ta ljudstva uporabljala opazno lastnost strani pravokotnega trikotnika. Na primer, ena prvih egipčanskih piramid, Kefrenova piramida, katere gradnja sega v 26. stoletje pred našim štetjem (2000 let pred življenjem Pitagore), je bila zgrajena na podlagi poznavanja razmerja stranic v pravokotnem trikotniku 3x4x5. .

Zakaj potem izrek zdaj nosi ime grški? Odgovor je preprost: Pitagora je prvi, ki je matematično dokazal ta izrek. Ohranjeni babilonski in egipčanski pisni viri govorijo le o njegovi uporabi, ne dajejo pa nobenega matematičnega dokaza.

Menijo, da je Pitagora dokazal obravnavani izrek z uporabo lastnosti podobnih trikotnikov, ki jih je dobil tako, da je v pravokotnem trikotniku potegnil višino iz kota 90 o na hipotenuzo.

Primer uporabe Pitagorovega izreka

Razmislite o preprostem problemu: treba je določiti dolžino nagnjenega stopnišča L, če je znano, da ima višino H = 3 metre, razdalja od stene, na katero se stopnišče opira, do njegovega vznožja pa je P = 2,5. metrov.

V tem primeru sta H in P kateti, L pa hipotenuza. Ker je dolžina hipotenuze enaka vsoti kvadratov katet, dobimo: L 2 = H 2 + P 2, od koder je L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2,5 2 ) = 3,905 metra ali 3 m in 90,5 cm.

MERITEV PLOŠČINE GEOMETRIJSKIH LIK.

§ 58. PITAGOROV IZREK 1.

__________
1 Pitagora je grški znanstvenik, ki je živel pred približno 2500 leti (564-473 pr. n. št.).
_________

Naj nam bo dan pravokotni trikotnik s stranicami A, b in z(risba 267).

Na njegovih stranicah sestavimo kvadrate. Ploščini teh kvadratov sta enaki A 2 , b 2 in z 2. Dokažimo to z 2 = a 2 +b 2 .

Konstruirajmo dva kvadrata MKOR in M"K"O"R" (risbi 268, 269), pri čemer za stran vsakega od njiju vzamemo segment, ki je enak vsoti krakov pravokotnega trikotnika ABC.

Po dokončanju konstrukcij, prikazanih na risbah 268 in 269 v teh kvadratih, bomo videli, da je kvadrat MCOR razdeljen na dva kvadrata s ploščinami A 2 in b 2 in štiri enake pravokotne trikotnike, od katerih je vsak enak pravokotnemu trikotniku ABC. Kvadrat M"K"O"R" smo razdelili na štirikotnik (na risbi 269 je osenčen) in štiri pravokotne trikotnike, od katerih je vsak enak tudi trikotniku ABC. Osenčen štirikotnik je kvadrat, ker sta njegovi stranici enaki (vsaka je enaka hipotenuzi trikotnika ABC, tj. z), in koti so pravi / 1 + / 2 = 90°, od koder je / 3 = 90°).

Tako je vsota ploščin kvadratov, zgrajenih na nogah (na risbi 268 so ti kvadrati osenčeni), enaka ploščini kvadrata MCOR brez vsote ploščin štirih enakih trikotnikov in ploščini ​​kvadrat, zgrajen na hipotenuzi (na risbi 269 je ta kvadrat tudi osenčen) je enak ploščini kvadrata M"K"O"R", enak kvadratu MCOR, brez vsote ploščin štiri podobne trikotnike. Zato je površina kvadrata, zgrajenega na hipotenuzi pravokotnega trikotnika, enaka vsoti površin kvadratov, zgrajenih na nogah.

Dobimo formulo z 2 = a 2 +b 2 kje z- hipotenuza, A in b- noge pravokotnega trikotnika.

Pitagorov izrek je običajno na kratko formuliran takole:

Kvadrat hipotenuze pravokotnega trikotnika je enak vsoti kvadratov katet.

Iz formule z 2 = a 2 +b 2 lahko dobite naslednje formule:

A 2 = z 2 - b 2 ;
b 2 = z 2 - A 2 .

Te formule je mogoče uporabiti za iskanje neznane stranice pravokotnega trikotnika iz njegovih dveh danih strani.
Na primer:

a) če so podane noge A= 4 cm, b=3 cm, potem lahko najdete hipotenuzo ( z):
z 2 = a 2 +b 2, tj. z 2 = 4 2 + 3 2 ; z 2 = 25, od koder z= √25 =5 (cm);

b) če je podana hipotenuza z= 17 cm in nogo A= 8 cm, potem lahko najdete drugo nogo ( b):

b 2 = z 2 - A 2, tj. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, od koder b= √225 = 15 (cm).

Posledica: Če imata dva pravokotna trikotnika ABC in A 1 B 1 C 1 hipotenuzo z in z 1 sta enaka in noga b trikotnik ABC je daljši od kraka b 1 trikotnik A 1 B 1 C 1,
potem pa noga A trikotnik ABC je manjši od kraka A 1 trikotnik A 1 B 1 C 1. (Naredite risbo, ki ponazarja to posledico.)

Pravzaprav na podlagi Pitagorovega izreka dobimo:

A 2 = z 2 - b 2 ,
A 1 2 = z 1 2 - b 1 2

V zapisanih formulah sta odštevanca enaka, odštevanec v prvi formuli pa je večji od odštevalca v drugi formuli, zato je prva razlika manjša od druge,
tj. A 2 < A 1 2 . kje A< A 1 .

vaje.

1. Z risbo 270 dokaži Pitagorov izrek za enakokraki pravokotni trikotnik.

2. En krak pravokotnega trikotnika je dolg 12 cm, drugi pa 5 cm. Izračunaj dolžino hipotenuze tega trikotnika.

3. Hipotenuza pravokotnega trikotnika je 10 cm, eden od krakov je 8 cm. Izračunaj dolžino drugega kraka tega trikotnika.

4. Hipotenuza pravokotnega trikotnika je 37 cm, eden od njegovih krakov je 35 cm. Izračunaj dolžino drugega kraka tega trikotnika.

5. Sestavi kvadrat s ploščino, ki je dvakrat večja od dane.

6. Sestavi kvadrat, katerega ploščina je za polovico manjša od danega. Opomba. Narišite diagonale v tem kvadratu. Kvadrati, zgrajeni na polovicah teh diagonal, bodo tisti, ki jih iščemo.

7. Kraki pravokotnega trikotnika so 12 cm oziroma 15 cm. Izračunaj dolžino hipotenuze tega trikotnika z natančnostjo 0,1 cm.

8. Hipotenuza pravokotnega trikotnika je 20 cm, eden od njegovih krakov je 15 cm. Izračunaj dolžino drugega kraka na 0,1 cm natančno.

9. Kako dolga mora biti lestev, da jo lahko prislonimo k oknu, ki se nahaja na višini 6 m, če mora biti spodnji konec lestve 2,5 m od zgradbe? (Grafikon 271.)

Navodila

Če morate izračunati po Pitagorovem izreku, uporabite naslednji algoritem: - V trikotniku določite, katere stranice so katete in katere hipotenuza. Dve strani, ki tvorita kot devetdeset stopinj, sta kraka, preostala tretjina je hipotenuza. (cm) - Dvignite vsak krak tega trikotnika na drugo potenco, to je pomnožite s samim seboj. Primer 1. Recimo, da moramo izračunati hipotenuzo, če je ena noga v trikotniku 12 cm, druga pa 5 cm. Najprej so kvadrati nog enaki: 12 * 12 = 144 cm in 5 * 5 = 25 cm. Nato določite vsoto kvadratov nog. Določeno število je hipotenuza, se morate za iskanje znebiti druge potence števila dolžina to stran trikotnika. Če želite to narediti, iz kvadratnega korena izvlecite vrednost vsote kvadratov nog. Primer 1. 144+25=169. Kvadratni koren iz 169 je 13. Torej je dolžina tega hipotenuza enako 13 cm.

Drug način za izračun dolžine hipotenuza leži v terminologiji sinusa in kotov v trikotniku. Po definiciji: sinus kota alfa - nasprotni krak hipotenuzi. To je, če pogledamo sliko, sin a = CB / AB. Zato je hipotenuza AB = CB / sin a. Naj bo kot 30 stopinj, nasprotna stranica pa 4 cm. Rešitev: AB = 4 cm / sin 30 = 4 cm / 0,5 = 8 cm Odgovor: dolžina hipotenuza enako 8 cm.

Podoben način iskanja hipotenuza iz definicije kosinusa kota. Kosinus kota je razmerje med stranico, ki meji nanj, in hipotenuza. To je cos a = AC/AB, torej AB = AC/cos a. Primer 3. V trikotniku ABC je AB hipotenuza, kot BAC je 60 stopinj, krak AC je 2 cm.
Rešitev: AB = AC/cos 60 = 2/0,5 = 4 cm Odgovor: Hipotenuza je dolga 4 cm.

Koristen nasvet

Pri iskanju vrednosti sinusa ali kosinusa kota uporabite tabelo sinusov in kosinusov ali Bradisovo tabelo.

Nasvet 2: Kako najti dolžino hipotenuze v pravokotnem trikotniku

Hipotenuza je najdaljša stranica v pravokotnem trikotniku, zato ni presenetljivo, da je beseda iz grščine prevedena kot "raztegnjena". Ta stranica vedno leži nasproti kota 90°, stranice, ki tvorijo ta kot, pa se imenujejo kraki. Če poznamo dolžine teh strani in vrednosti ostrih kotov v različnih kombinacijah teh vrednosti, lahko izračunamo dolžino hipotenuze.

Navodila

Če sta dolžini obeh trikotnikov (A in B) znani, potem uporabimo dolžine hipotenuze (C), morda najbolj znanega matematičnega postulata - Pitagorovega izreka. Navaja, da je kvadrat dolžine hipotenuze vsota kvadratov dolžin katet, iz česar sledi, da morate izračunati koren vsote kvadratov dolžin obeh stranic: C = √ ( A² + B²). Na primer, če je dolžina enega kraka 15 in - 10 centimetrov, bo dolžina hipotenuze približno 18,0277564 centimetrov, saj je √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18,0277564.

Če je znana dolžina le enega od krakov (A) v pravokotnem trikotniku, kot tudi vrednost kota nasproti njega (α), potem lahko dolžino hipotenuze (C) uporabimo z eno od trigonometričnih funkcije - sinus. To storite tako, da dolžino znane stranice delite s sinusom znanega kota: C=A/sin(α). Na primer, če je dolžina enega od krakov 15 centimetrov in je kot na nasprotni točki trikotnika 30°, potem bo dolžina hipotenuze enaka 30 centimetrov, saj je 15/sin(30°) =15/0,5=30.

Če sta v pravokotnem trikotniku znani velikost enega od ostrih kotov (α) in dolžina sosednjega kraka (B), potem lahko za izračun dolžine hipotenuze (C) uporabite drugo trigonometrično funkcijo - kosinus. Dolžino znanega kraka bi morali deliti s kosinusom znanega kota: C=B/ cos(α). Na primer, če je dolžina tega kraka 15 centimetrov in je ostri kot ob njem 30°, bo dolžina hipotenuze približno 17,3205081 centimetrov, saj je 15/cos(30°)=15/(0,5* √3)=30/√3≈17,3205081.

Dolžina se običajno uporablja za označevanje razdalje med dvema točkama na odseku črte. Lahko je ravna, lomljena ali sklenjena črta. Dolžino lahko preprosto izračunate, če poznate nekatere druge kazalnike segmenta.

Navodila

Če morate najti dolžino stranice kvadrata, potem ne bo , če poznate njegovo ploščino S. Zaradi dejstva, da imajo vse stranice kvadrata

Potencial za ustvarjalnost običajno pripisujemo humanistiki, naravoslovje pa prepuščamo analizi, praktičnemu pristopu in suhoparnemu jeziku formul in številk. Matematike ne moremo uvrščati med humanistične predmete. Toda brez ustvarjalnosti v "kraljici vseh znanosti" ne boste prišli daleč - ljudje to vedo že dolgo. Od Pitagorovih časov npr.

Šolski učbeniki na žalost običajno ne pojasnjujejo, da pri matematiki ni pomembno le strpati izreke, aksiome in formule. Pomembno je razumeti in občutiti njena temeljna načela. In hkrati poskušajte osvoboditi svoj um klišejev in elementarnih resnic - samo v takšnih razmerah se rodijo vsa velika odkritja.

Takšna odkritja vključujejo tisto, kar danes poznamo kot Pitagorov izrek. Z njeno pomočjo bomo skušali pokazati, da matematika ne le zmore, ampak mora biti razburljiva. In da ta avantura ni primerna samo za piflarje z debelimi očali, ampak za vse, ki so močni v umu in močni v duhu.

Iz zgodovine vprašanja

Strogo gledano, čeprav se izrek imenuje "Pitagorov izrek", ga Pitagora sam ni odkril. Pravokotni trikotnik in njegove posebne lastnosti so preučevali že dolgo pred njim. O tem vprašanju obstajata dve polarni stališči. Po eni različici je Pitagora prvi našel popoln dokaz teorema. Po drugem mnenju dokaz ne pripada avtorstvu Pitagore.

Danes ne moreš več preverjati, kdo ima prav in kdo ne. Znano je, da se dokaz Pitagore, če je sploh kdaj obstajal, ni ohranil. Vendar pa obstajajo domneve, da bi lahko slavni dokaz iz Evklidovih Elementov pripadal Pitagori, Evklid pa ga je samo zapisal.

Danes je tudi znano, da probleme o pravokotnem trikotniku najdemo v egipčanskih virih iz časa faraona Amenemhata I., na babilonskih glinenih ploščah iz obdobja vladavine kralja Hamurabija, v staroindijski razpravi »Sulva sutra« in starokitajskem delu » Zhou-bi suan jin«.

Kot lahko vidite, je Pitagorov izrek okupiral misli matematikov že od antičnih časov. To potrjuje približno 367 različnih dokazov, ki obstajajo danes. Pri tem mu noben drug izrek ne more konkurirati. Med slavnimi avtorji dokazov se lahko spomnimo Leonarda da Vincija in dvajsetega predsednika ZDA Jamesa Garfielda. Vse to govori o izjemnem pomenu tega izreka za matematiko: večina geometrijskih izrekov izhaja iz njega ali pa je z njim kakorkoli povezana.

Dokazi Pitagorovega izreka

Šolski učbeniki večinoma podajajo algebraične dokaze. Toda bistvo izreka je v geometriji, zato najprej razmislimo o tistih dokazih slavnega izreka, ki temeljijo na tej znanosti.

Dokazi 1

Za najpreprostejši dokaz Pitagorejskega izreka za pravokotni trikotnik morate postaviti idealne pogoje: naj bo trikotnik ne samo pravokoten, ampak tudi enakokrak. Obstaja razlog za domnevo, da so starodavni matematiki sprva obravnavali ravno ta trikotnik.

Izjava "Kvadrat, zgrajen na hipotenuzi pravokotnega trikotnika, je enak vsoti kvadratov, zgrajenih na njegovih katetah" lahko ponazorimo z naslednjo risbo:

Poglejte enakokraki pravokotni trikotnik ABC: Na hipotenuzi AC lahko sestavite kvadrat, sestavljen iz štirih trikotnikov, ki so enaki prvotnemu ABC. In na stranicah AB in BC je zgrajen kvadrat, od katerih vsaka vsebuje dva podobna trikotnika.

Mimogrede, ta risba je bila osnova za številne šale in risanke, posvečene Pitagorejskemu izreku. Najbolj znan je verjetno "Pitagorejske hlače so enake v vseh smereh":

Dokazi 2

Ta metoda združuje algebro in geometrijo in se lahko šteje za različico staroindijskega dokaza matematika Bhaskarija.

Sestavite pravokotni trikotnik s stranicami a, b in c(slika 1). Nato sestavite dva kvadrata s stranicami, enakima vsoti dolžin obeh krakov - (a+b). V vsakem od kvadratov naredite konstrukcije kot na slikah 2 in 3.

V prvi kvadrat zgradite štiri trikotnike, podobne tistim na sliki 1. Rezultat sta dva kvadrata: eden s stranico a, drugi s stranico b.

V drugem kvadratu štirje podobni trikotniki, zgrajeni, tvorijo kvadrat s stranico, ki je enaka hipotenuzi c.

Vsota ploščin sestavljenih kvadratov na sliki 2 je enaka ploščini kvadrata, ki smo ga sestavili s stranico c na sliki 3. To je mogoče enostavno preveriti z izračunom površine kvadratov na sl. 2 po formuli. In območje včrtanega kvadrata na sliki 3. tako, da odštejemo površine štirih enakih pravokotnih trikotnikov, vpisanih v kvadrat, od površine velikega kvadrata s stranico (a+b).

Če vse to zapišemo, imamo: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Odprite oklepaje, izvedite vse potrebne algebraične izračune in dobite to a 2 +b 2 = a 2 +b 2. V tem primeru je območje, vpisano na sl. 3. kvadrat se lahko izračuna tudi po tradicionalni formuli S=c 2. Tisti. a 2 +b 2 =c 2– ste dokazali Pitagorov izrek.

Dokazi 3

Sam starodavni indijski dokaz je bil opisan v 12. stoletju v traktatu »Krona znanja« (»Siddhanta Shiromani«) in kot glavni argument avtor uporablja apel, naslovljen na matematične talente in sposobnosti opazovanja učencev in sledilcev: » Poglej!"

Toda ta dokaz bomo podrobneje analizirali:

Znotraj kvadrata sestavite štiri pravokotne trikotnike, kot je prikazano na risbi. Označimo stran velikega kvadrata, znanega tudi kot hipotenuza, z. Poimenujmo noge trikotnika A in b. Po risbi je stranica notranjega kvadrata (a-b).

Uporabite formulo za površino kvadrata S=c 2 za izračun površine zunanjega kvadrata. In istočasno izračunajte isto vrednost tako, da dodate površino notranjega kvadrata in površine vseh štirih pravokotnih trikotnikov: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Uporabite lahko obe možnosti za izračun površine kvadrata, da se prepričate, da dajeta enak rezultat. In to vam daje pravico, da to zapišete c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Kot rezultat rešitve boste prejeli formulo Pitagorovega izreka c 2 =a 2 +b 2. Izrek je dokazan.

Dokaz 4

Ta nenavaden starodavni kitajski dokaz so poimenovali "Nevestin stol" - zaradi figure, podobne stolu, ki izhaja iz vseh konstrukcij:

Uporablja risbo, ki smo jo že videli na sliki 3 v drugem dokazu. In notranji kvadrat s stranico c je sestavljen na enak način kot v starodavnem indijskem dokazu, navedenem zgoraj.

Če mentalno odrežete dva zelena pravokotna trikotnika z risbe na sliki 1, ju premaknete na nasprotne strani kvadrata s stranjo c in pritrdite hipotenuzi na hipotenuzo lila trikotnika, boste dobili figuro, imenovano "nevestin stol" (slika 2). Zaradi jasnosti lahko storite enako s papirnatimi kvadrati in trikotniki. Poskrbeli boste, da bo »nevestin stol« sestavljen iz dveh kvadratov: majhnih s stranico b in velik s stranico a.

Te konstrukcije so omogočile starim kitajskim matematikom in nam, ki smo jim sledili, da smo prišli do zaključka, da c 2 =a 2 +b 2.

Dokazi 5

To je še en način za iskanje rešitve Pitagorovega izreka z uporabo geometrije. Imenuje se Garfieldova metoda.

Konstruiraj pravokotni trikotnik ABC. To moramo dokazati BC 2 = AC 2 + AB 2.

Če želite to narediti, nadaljujte z nogo AC in zgradi segment CD, ki je enak kraku AB. Spustite pravokotno AD segment ED. Segmenti ED in AC so enaki. Poveži pike E in IN, in tudi E in Z in dobite risbo, kot je spodnja slika:

Da bi dokazali stolp, se spet zatečemo k metodi, ki smo jo že preizkusili: površino dobljene figure poiščemo na dva načina in izraze enačimo med seboj.

Poiščite območje mnogokotnika POSTELJA lahko naredite tako, da seštejete površine treh trikotnikov, ki ga tvorijo. In eden od njih, ERU, ni samo pravokoten, ampak tudi enakokrak. Tudi tega ne pozabimo AB=CD, AC=ED in BC=JV– to nam bo omogočilo, da poenostavimo snemanje in ga ne preobremenimo. Torej, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

Ob tem je očitno, da POSTELJA- To je trapez. Zato njegovo površino izračunamo po formuli: STREŠČE =(DE+AB)*1/2AD. Za naše izračune je bolj priročno in jasneje predstaviti segment AD kot vsota segmentov AC in CD.

Zapišimo oba načina za izračun površine figure in med njima postavimo znak enakosti: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Za poenostavitev desne strani zapisa uporabimo že znano in zgoraj opisano enakost segmentov: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Zdaj pa odprimo oklepaje in transformirajmo enakost: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Ko zaključimo vse transformacije, dobimo točno tisto, kar potrebujemo: BC 2 = AC 2 + AB 2. Izrek smo dokazali.

Seveda ta seznam dokazov še zdaleč ni popoln. Pitagorov izrek je mogoče dokazati tudi z uporabo vektorjev, kompleksnih števil, diferencialnih enačb, stereometrije itd. In celo fiziki: če na primer tekočino vlijemo v kvadratne in trikotne volumne, podobne tistim na risbah. Z vlivanjem tekočine lahko dokažete enakost površin in posledično sam izrek.

Nekaj ​​besed o pitagorejskih trojčkih

To vprašanje se v šolskem kurikulumu malo ali sploh ne obravnava. Hkrati pa je zelo zanimiv in zelo pomemben v geometriji. Pitagorejske trojke se uporabljajo za reševanje številnih matematičnih problemov. Njihovo razumevanje vam lahko koristi pri nadaljnjem izobraževanju.

Kaj so torej pitagorejski trojčki? To je ime za naravna števila, zbrana v skupinah po tri, od katerih je vsota kvadratov dveh enaka kvadratu tretjega števila.

Pitagorejske trojke so lahko:

• primitivna (vsa tri števila so relativno pra);
• ni primitivna (če vsako število trojke pomnožimo z istim številom, dobimo novo trojko, ki pa ni primitivna).

Že pred našim štetjem je stare Egipčane navdušila manija števil pitagorejskih trojčkov: v nalogah so obravnavali pravokotni trikotnik s stranicami 3, 4 in 5 enot. Mimogrede, vsak trikotnik, katerega stranice so enake številkam iz pitagorejske trojke, je privzeto pravokoten.

Primeri pitagorejskih trojčkov: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50) itd.

Praktična uporaba izreka

Pitagorov izrek se ne uporablja samo v matematiki, ampak tudi v arhitekturi in gradbeništvu, astronomiji in celo literaturi.

Najprej o konstrukciji: Pitagorov izrek se pogosto uporablja pri problemih različnih stopenj kompleksnosti. Poglejte na primer romansko okno:

Označimo širino okna kot b, potem lahko polmer velikega polkroga označimo kot R in izraziti skozi b: R=b/2. Polmer manjših polkrogov lahko izrazimo tudi skozi b: r=b/4. V tem problemu nas zanima polmer notranjega kroga okna (recimo mu str).

Pitagorov izrek je prav uporaben za izračun r. Za to uporabimo pravokotni trikotnik, ki je na sliki označen s pikčasto črto. Hipotenuza trikotnika je sestavljena iz dveh radijev: b/4+str. Ena noga predstavlja polmer b/4, drugo b/2-str. Z uporabo Pitagorovega izreka zapišemo: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Nato odpremo oklepaje in dobimo b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Pretvorimo ta izraz v bp/2=b 2 /4-bp. In potem vse izraze razdelimo na b, predstavljamo podobne, da bi dobili 3/2*p=b/4. In na koncu to ugotovimo p=b/6- kar smo potrebovali.

S pomočjo teorema lahko izračunate dolžino špirovcev za dvokapno streho. Ugotovite, kako visok stolp mobilne komunikacije je potreben, da signal doseže določeno naseljeno območje. In celo trajnostno postaviti božično drevo na mestnem trgu. Kot lahko vidite, ta izrek ne živi samo na straneh učbenikov, ampak je pogosto uporaben v resničnem življenju.

V literaturi je Pitagorov izrek navdihoval pisce že od antike in še danes. Nemški pisatelj iz devetnajstega stoletja Adelbert von Chamisso je na primer dobil navdih, da je napisal sonet:

Luč resnice se ne bo kmalu razblinila,
Toda, ko je zasijal, je malo verjetno, da se bo razblinil
In kot pred tisočletji,
Ne bo povzročilo dvomov ali polemik.

Najbolj modro, ko se dotakne tvojega pogleda
Luč resnice, hvala bogovom;
In sto bikov, zaklanih, leži -
Povratno darilo srečnega Pitagore.

Od takrat biki obupano rjovejo:
Za vedno vznemirjen pleme bikov
Tukaj omenjen dogodek.

Zdi se jim, da bo prišel čas,
In spet bodo žrtvovani
Nekaj ​​velikega izreka.

(prevod Viktor Toporov)

In v dvajsetem stoletju je sovjetski pisatelj Jevgenij Veltistov v svoji knjigi "Pustolovščine elektronike" posvetil celo poglavje dokazom Pitagorovega izreka. In še pol poglavja zgodbe o dvodimenzionalnem svetu, ki bi lahko obstajal, če bi Pitagorov izrek postal temeljni zakon in celo religija za en sam svet. Življenje tam bi bilo veliko lažje, a tudi veliko bolj dolgočasno: tam na primer nihče ne razume pomena besed »okrogel« in »puhast«.

In v knjigi »Pustolovščine elektronike« avtor skozi usta učitelja matematike Taratarja pravi: »Glavna stvar pri matematiki je gibanje misli, nove ideje.« Prav ta ustvarjalni polet misli je razlog za nastanek Pitagorovega izreka - ni zaman, da ima toliko različnih dokazov. Pomaga preseči meje znanega in na znane stvari pogledati na nov način.

Zaključek

Ta članek je bil ustvarjen tako, da lahko pogledate onkraj šolskega kurikuluma matematike in se naučite ne le tistih dokazov Pitagorovega izreka, ki so podani v učbenikih "Geometrija 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) in "Geometrija 7" - 11” (A.V. Pogorelov), ampak tudi druge zanimive načine za dokazovanje slavnega izreka. Oglejte si tudi primere uporabe Pitagorovega izreka v vsakdanjem življenju.

Prvič, te informacije vam bodo omogočile, da se kvalificirate za višje rezultate pri pouku matematike - informacije o tej temi iz dodatnih virov so vedno zelo cenjene.

Drugič, želeli smo vam pomagati občutiti, kako zanimiva je matematika. S konkretnimi primeri potrdite, da je vedno prostor za ustvarjalnost. Upamo, da vas bosta Pitagorov izrek in ta članek navdihnila za samostojno raziskovanje in vznemirljiva odkritja v matematiki in drugih vedah.

Povejte nam v komentarjih, če so se vam zdeli dokazi, predstavljeni v članku, zanimivi. Ali so se vam te informacije zdele koristne pri študiju? Napišite nam, kaj menite o Pitagorovem izreku in tem članku – o vsem tem se bomo z veseljem pogovorili z vami.

blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.

Tisti, ki se zanimajo za zgodovino Pitagorovega izreka, ki se preučuje v šolskem kurikulumu, bodo radovedni tudi o tem, da je leta 1940 izšla knjiga s tristo sedemdesetimi dokazi tega na videz preprostega izreka. Vendar je navdušila mnoge matematike in filozofe različnih obdobij. V Guinnessovi knjigi rekordov je zapisan kot izrek z največjim številom dokazov.

Zgodovina Pitagorovega izreka

Izrek, povezan z imenom Pitagora, je bil znan že dolgo pred rojstvom velikega filozofa. Tako so v Egiptu pri gradnji objektov pred pet tisoč leti upoštevali razmerje stranic pravokotnega trikotnika. Babilonska besedila omenjajo enako razmerje stranic pravokotnega trikotnika 1200 let pred rojstvom Pitagore.

Postavlja se vprašanje, zakaj potem zgodovina pravi, da izvor Pitagorovega izreka pripada njemu? Odgovor je lahko samo en - dokazal je razmerje stranic v trikotniku. Naredil je tisto, česar pred stoletji niso storili tisti, ki so preprosto uporabljali izkustveno ugotovljeno razmerje stranic in hipotenuzo.

Iz življenja Pitagora

Bodoči veliki znanstvenik, matematik, filozof se je rodil na otoku Samos leta 570 pr. Zgodovinski dokumenti so ohranili podatke o Pitagorovem očetu, ki je bil rezbar dragih kamnov, o njegovi materi pa ni podatkov. O rojenem dečku so povedali, da je bil izjemen otrok, ki je že od otroštva kazal strast do glasbe in poezije. Zgodovinarji vključujejo Hermodama in Ferekida iz Sirosa kot učitelja mladega Pitagore. Prvi je dečka uvedel v svet muz, drugi, ki je bil filozof in ustanovitelj italijanske filozofske šole, pa je mladeničev pogled usmeril v logos.

Pri 22 letih (548 pr. n. št.) je Pitagora odšel v Navkratis, da bi preučil jezik in vero Egipčanov. Nato je njegova pot potekala v Memfisu, kjer je po zaslugi duhovnikov, ki so opravili njihove iznajdljive teste, razumel egiptovsko geometrijo, kar je morda radovednega mladeniča spodbudilo k dokazovanju Pitagorovega izreka. Zgodovina bo teoremu pozneje dodelila to ime.

Ujetništvo babilonskega kralja

Na poti domov v Hellas Pitagoro ujame babilonski kralj. Toda bivanje v ujetništvu je koristilo radovednemu umu ambicioznega matematika; Dejansko je bila v teh letih matematika v Babilonu bolj razvita kot v Egiptu. Dvanajst let je preživel v študiju matematike, geometrije in magije. In morda je bila babilonska geometrija tista, ki je bila vpletena v dokaz razmerja stranic trikotnika in zgodovino odkritja izreka. Pitagora je imel za to dovolj znanja in časa. Toda da se je to zgodilo v Babilonu, ni dokumentarne potrditve ali zavrnitve tega.

Leta 530 pr. Pitagora pobegne iz ujetništva v domovino, kjer živi na dvoru tirana Polikrata v statusu polsužnja. Pitagora ni zadovoljen s takšnim življenjem in se umakne v jame Samosa, nato pa odide na jug Italije, kjer je bila takrat grška kolonija Croton.

Tajni meniški red

Na podlagi te kolonije je Pitagora organiziral tajni meniški red, ki je bil verska zveza in znanstveno društvo hkrati. Ta družba je imela svojo listino, ki je govorila o opazovanju posebnega načina življenja.

Pitagora je trdil, da mora človek za razumevanje Boga poznati vede, kot sta algebra in geometrija, poznati astronomijo in razumeti glasbo. Raziskovalno delo se je skrčilo na spoznavanje mistične strani števil in filozofije. Opozoriti je treba, da so načela, ki jih je takrat pridigal Pitagora, smiselna v današnjem času posnemati.

Številna odkritja Pitagorovih učencev so mu pripisali. Skratka, zgodovina nastanka Pitagorovega izreka s strani starodavnih zgodovinarjev in biografov tistega časa je neposredno povezana z imenom tega filozofa, misleca in matematika.

Pitagorov nauk

Morda je zamisel o povezavi med teoremom in imenom Pitagora spodbudila izjava velikega Grka, da so vsi pojavi našega življenja šifrirani v razvpitem trikotniku s svojimi nogami in hipotenuzo. In ta trikotnik je "ključ" za reševanje vseh nastajajočih težav. Veliki filozof je rekel, da morate videti trikotnik, potem lahko menite, da je problem dve tretjini rešen.

Pitagora je o svojem učenju govoril samo ustno svojim učencem, ne da bi si delal zapiske, ki jih je skrival. Nauki največjega filozofa se žal niso ohranili do danes. Nekaj ​​je ušlo iz tega, a je nemogoče reči, koliko je v tem, kar se je razvedelo, resnice in koliko laži. Tudi z zgodovino Pitagorovega izreka ni vse gotovo. Zgodovinarji matematike dvomijo o avtorstvu Pitagore; po njihovem mnenju je bil izrek uporabljen mnogo stoletij pred njegovim rojstvom.

Pitagorov izrek

Morda se zdi čudno, vendar ni nobenih zgodovinskih dejstev, ki bi dokazovala izrek samega Pitagore - niti v arhivih niti v drugih virih. V sodobni različici se verjame, da pripada nikomur drugemu kot samemu Evklidu.

Obstajajo dokazi enega največjih zgodovinarjev matematike Moritza Cantorja, ki je na papirusu, shranjenem v berlinskem muzeju, odkril, da so ga zapisali Egipčani okoli leta 2300 pr. e. enakost, ki se glasi: 3² + 4² = 5².

Kratka zgodovina Pitagorovega izreka

Formulacija izreka iz evklidskih »Načel« v prevodu zveni enako kot v sodobni interpretaciji. V njenem branju ni nič novega: kvadrat stranice, ki leži na pravem kotu, je enak vsoti kvadratov stranic, ki mejijo na pravi kot. Dejstvo, da so starodavne civilizacije Indije in Kitajske uporabljale teorem, potrjuje razprava "Zhou - bi suan jin". Vsebuje informacije o egipčanskem trikotniku, ki opisuje razmerje stranic kot 3:4:5.

Nič manj zanimiva ni druga kitajska matematična knjiga "Chu Pei", ki prav tako omenja Pitagorov trikotnik z razlagami in risbami, ki sovpadajo z risbami hindujske geometrije Bašare. O samem trikotniku knjiga pravi, da če je mogoče pravi kot razstaviti na sestavne dele, potem bo črta, ki povezuje konce stranic, enaka pet, če je osnova enaka tri in višina enaka štiri. .

Indijska razprava "Sulva Sutra", ki sega približno v 7.-5. stoletje pr. e., govori o konstruiranju pravega kota z uporabo egipčanskega trikotnika.

Dokaz izreka

V srednjem veku se je študentom zdelo dokazovanje izreka pretežko. Šibki učenci so se izreke učili na pamet, ne da bi razumeli pomen dokaza. V zvezi s tem so prejeli vzdevek "osli", saj je bil Pitagorov izrek zanje nepremostljiva ovira, kot most za osla. V srednjem veku so si študentje na temo tega izreka izmislili šaljiv verz.

Da bi na najlažji način dokazali Pitagorov izrek, morate preprosto izmeriti njegove stranice, ne da bi v dokazu uporabili koncept ploščin. Dolžina strani nasproti pravemu kotu je c, a in b pa sosednji, kot rezultat dobimo enačbo: a 2 + b 2 = c 2. To trditev, kot je navedeno zgoraj, preverimo z merjenjem dolžin strani pravokotnega trikotnika.

Če začnemo dokaz izreka z upoštevanjem površine pravokotnikov, zgrajenih na straneh trikotnika, lahko določimo površino celotne figure. Enako bo ploščini kvadrata s stranico (a+b), na drugi strani pa vsoti ploščin štirih trikotnikov in notranjega kvadrata.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2;

a 2 + 2ab + b 2;

c 2 = a 2 + b 2 , kar je bilo treba dokazati.

Praktični pomen Pitagorovega izreka je, da ga je mogoče uporabiti za iskanje dolžin segmentov, ne da bi jih izmerili. Med gradnjo konstrukcij se izračunajo razdalje, postavitev nosilcev in nosilcev ter določijo težišča. Pitagorov izrek se uporablja tudi v vseh sodobnih tehnologijah. Pri ustvarjanju filmov v 3D-6D dimenzijah niso pozabili na teorem, kjer se poleg treh dimenzij, ki smo jih vajeni, upoštevajo še višina, dolžina, širina, čas, vonj in okus. Kako so okusi in vonji povezani s teoremom, se sprašujete? Vse je zelo preprosto - pri predvajanju filma morate izračunati, kam in kakšne vonjave in okuse usmeriti v avditorij.

Mogoče jih bo še več. Neomejen prostor za odkrivanje in ustvarjanje novih tehnologij čaka na radovedne ume.

domov » Gala » Različni načini dokazovanja Pitagorovega izreka. Pitagorov izrek: kvadrat hipotenuze je enak vsoti kvadratov krakov