Funkcija kvadratnega premika. Kako izračunati najmanjšo ali največjo vrednost z matematičnimi operacijami
Pri pouku matematike v šoli ste se že seznanili z najpreprostejšimi lastnostmi in grafom funkcije. y = x 2. Razširimo svoje znanje naprej kvadratna funkcija.
Naloga 1.
Graf funkcije y = x 2. Merilo: 1 = 2 cm Označite točko na osi Oy F(0; 1/4). S kompasom ali trakom papirja izmerite razdaljo od točke F do neke točke M parabole. Nato pripnite trak na točko M in ga vrtite okoli te točke, dokler ni navpičen. Konec traku bo padel nekoliko pod os x (slika 1). Na traku označite, kako daleč sega čez os x. Zdaj vzemite drugo točko na paraboli in znova ponovite meritev. Kako daleč je rob traku padel pod os x?
rezultat: ne glede na to, katero točko na paraboli y = x 2 vzamete, bo razdalja od te točke do točke F(0; 1/4) večja od razdalje od iste točke do abscisne osi za vedno isto število - 1/4.
Lahko rečemo drugače: razdalja od katerekoli točke parabole do točke (0; 1/4) je enaka razdalji od iste točke parabole do premice y = -1/4. Ta čudovita točka F(0; 1/4) se imenuje fokus parabole y = x 2 in premico y = -1/4 – ravnateljica ta parabola. Vsaka parabola ima direktriso in gorišče.
Zanimive lastnosti parabole:
1. Vsaka točka parabole je enako oddaljena od neke točke, imenovane gorišče parabole, in neke premice, imenovane njena direktrisa.
2. Če zavrtite parabolo okoli simetrijske osi (na primer parabolo y = x 2 okoli osi Oy), boste dobili zelo zanimivo ploskev, imenovano vrtilni paraboloid.
Površina tekočine v vrteči se posodi ima obliko rotacijskega paraboloida. To površino lahko vidite, če z žlico močno premešate nepopoln kozarec čaja in nato žlico odstranite.
3. Če vržete kamen v praznino pod določenim kotom na obzorje, bo letel v paraboli (slika 2).
4. Če presekate površino stožca z ravnino, ki je vzporedna s katero koli od njegovih generatrik, potem bo presek povzročil parabolo (slika 3).
5. V zabaviščnih parkih imajo včasih zabavno vožnjo, imenovano Paraboloid čudes. Vsakemu, ki stoji znotraj vrtečega se paraboloida, se zdi, da stoji na tleh, ostali ljudje pa se nekako čudežno držijo sten.
6. V odbojnih teleskopih se uporabljajo tudi parabolična zrcala: svetloba oddaljene zvezde, ki prihaja v vzporednem žarku, pade na zrcalo teleskopa, se zbere v fokus.
7. Reflektorji imajo običajno ogledalo v obliki paraboloida. Če vir svetlobe postavite v žarišče paraboloida, potem žarki, ki se odbijajo od paraboličnega zrcala, tvorijo vzporedni žarek.
Grafiranje kvadratne funkcije
Pri pouku matematike ste se učili, kako iz grafa funkcije y = x 2 pridobite grafe funkcij oblike:
1) y = sekira 2– raztezanje grafa y = x 2 vzdolž osi Oy v |a| krat (z |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, riž. 4).
2) y = x 2 + n– premik grafa za n enot vzdolž osi Oy, pri n > 0 pa je premik navzgor, pri n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).
3) y = (x + m) 2– premik grafa za m enot vzdolž osi Ox: če je m< 0, то вправо, а если m >0, nato levo, (slika 5).
4) y = -x 2– simetričen prikaz glede na os Ox grafa y = x 2 .
Oglejmo si podrobneje risanje funkcije y = a(x – m) 2 + n.
Kvadratno funkcijo oblike y = ax 2 + bx + c lahko vedno reduciramo na obliko
y = a(x – m) 2 + n, kjer je m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).
Dokažimo.
res,
y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =
A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =
A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).
Uvedimo nove oznake.
Naj m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),
potem dobimo y = a(x – m) 2 + n ali y – n = a(x – m) 2.
Naredimo še nekaj zamenjav: naj bo y – n = Y, x – m = X (*).
Nato dobimo funkcijo Y = aX 2, katere graf je parabola.
Vrh parabole je v izhodišču. X = 0; Y = 0.
Če koordinate oglišča nadomestimo v (*), dobimo koordinate oglišča grafa y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.
Torej, če želite narisati kvadratno funkcijo, predstavljeno kot
y = a(x – m) 2 + n
s transformacijami lahko nadaljujete na naslednji način:
a) narišite funkcijo y = x 2 ;
b) z vzporedno translacijo vzdolž osi Ox za m enot in vzdolž osi Oy za n enot - prenesite oglišče parabole iz izhodišča v točko s koordinatami (m; n) (slika 6).
Snemanje transformacij:
y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.
Primer.
S transformacijami zgradite graf funkcije y = 2(x – 3) 2 v kartezičnem koordinatnem sistemu – 2.
rešitev.
Veriga transformacij:
y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .
Izris je prikazan v riž. 7.
Grafiranje kvadratnih funkcij lahko vadite sami. Na primer, zgradite graf funkcije y = 2(x + 3) 2 + 2 v enem koordinatnem sistemu z uporabo transformacij. Če imate kakršna koli vprašanja ali želite dobiti nasvet od učitelja, potem imate možnost dirigirati brezplačna 25-minutna lekcija s spletnim mentorjem po registraciji. Za nadaljnje delo z učiteljem lahko izberete tarifni načrt, ki vam ustreza.
Imate še vprašanja? Ne veste, kako narisati graf kvadratne funkcije?
Če želite dobiti pomoč mentorja, se registrirajte.
Prva lekcija je brezplačna!
spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.
Kvadratna funkcija je funkcija oblike:
y=a*(x^2)+b*x+c,
kjer je a koeficient za najvišjo stopnjo neznanke x,
b - koeficient za neznano x,
in c je brezplačen član.
Graf kvadratne funkcije je krivulja, imenovana parabola. Splošni pogled na parabolo je prikazan na spodnji sliki.
Sl.1 Splošni pogled na parabolo.
Obstaja več različnih načinov za risanje kvadratne funkcije. Ogledali si bomo glavne in najbolj splošne med njimi.
Algoritem za risanje kvadratne funkcije y=a*(x^2)+b*x+c
1. Sestavi koordinatni sistem, označi enotski odsek in označi koordinatne osi.
2. Določite smer vej parabole (navzgor ali navzdol).
Če želite to narediti, morate pogledati predznak koeficienta a. Če je plus, so veje usmerjene navzgor, če je minus, potem so veje usmerjene navzdol.
3. Določite koordinato x oglišča parabole.
Če želite to narediti, morate uporabiti formulo Xvertex = -b/2*a.
4. Določite koordinato na vrhu parabole.
To naredite tako, da v enačbo Uvershiny = a*(x^2)+b*x+c namesto x nadomestite vrednost Xverhiny, ki ste jo našli v prejšnjem koraku.
5. Dobljeno točko narišite na graf in skozenj narišite simetrijsko os, vzporedno s koordinatno osjo Oy.
6. Poiščite presečišča grafa z osjo Ox.
Če želite to narediti, morate rešiti kvadratno enačbo a*(x^2)+b*x+c = 0 z eno od znanih metod. Če enačba nima pravih korenin, potem graf funkcije ne seka osi Ox.
7. Poiščite koordinate presečišča grafa z osjo Oy.
To naredimo tako, da v enačbo nadomestimo vrednost x=0 in izračunamo vrednost y. Na grafu označimo to in temu simetrično točko.
8. Poiščite koordinate poljubne točke A(x,y)
Če želite to narediti, izberite poljubno vrednost za koordinato x in jo nadomestite z našo enačbo. Na tej točki dobimo vrednost y. Narišite točko na graf. Označite tudi točko na grafu, ki je simetrična na točko A(x,y).
9. Dobljene točke na grafu poveži z gladko črto in nadaljuj graf čez skrajne točke, do konca koordinatne osi. Označite graf na vodilu ali, če prostor dopušča, vzdolž grafa.
Primer risanja
Kot primer narišimo kvadratno funkcijo, podano z enačbo y=x^2+4*x-1
1. Nariši koordinatne osi, jih označi in označi enotski odsek.
2. Vrednosti koeficientov a=1, b=4, c= -1. Ker je a=1, kar je večje od nič, so veje parabole usmerjene navzgor.
3. Določite koordinato X oglišča parabole Xtočke = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. Določite koordinato Y oglišča parabole
Oglišča = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Označi oglišče in nariši simetrično os.
6. Poiščite presečišča grafa kvadratne funkcije z osjo Ox. Rešimo kvadratno enačbo x^2+4*x-1=0.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. Dobljene vrednosti označimo na grafu.
7. Poiščite presečišča grafa z osjo Oy.
x=0; y=-1
8. Izberimo poljubno točko B. Naj ima koordinato x=1.
Potem je y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Poveži nastale točke in podpiši graf.
Kako sestaviti parabolo? Obstaja več načinov za risanje kvadratne funkcije. Vsak od njih ima svoje prednosti in slabosti. Razmislimo o dveh načinih.
Začnimo z risanjem kvadratne funkcije oblike y=x²+bx+c in y= -x²+bx+c.
Primer.
Narišite graf funkcije y=x²+2x-3.
rešitev:
y=x²+2x-3 je kvadratna funkcija. Graf je parabola z vejami navzgor. Koordinate vrha parabole
Iz oglišča (-1;-4) zgradimo graf parabole y=x² (kot iz izhodišča koordinat. Namesto (0;0) - oglišče (-1;-4). Iz (-1; -4) gremo v desno za 1 enoto in navzgor za 1 enoto, nato levo za 1 in navzgor za 1 nato: 2 - desno, 4 - navzgor, 3 - navzgor, 3 -; levo, 9 - navzgor Če teh 7 točk ni dovolj, potem 4 na desno, 16 na vrh itd.).
Graf kvadratne funkcije y= -x²+bx+c je parabola, katere veje so obrnjene navzdol. Za sestavo grafa poiščemo koordinate oglišča in iz njih sestavimo parabolo y= -x².
Primer.
Graf funkcije y= -x²+2x+8.
rešitev:
y= -x²+2x+8 je kvadratna funkcija. Graf je parabola z vejami navzdol. Koordinate vrha parabole
Z vrha sestavimo parabolo y= -x² (1 - desno, 1 - dol; 1 - levo, 1 - dol; 2 - desno, 4 - dol; 2 - levo, 4 - dol itd.):
Ta metoda vam omogoča hitro sestavljanje parabole in ni težavna, če znate grafično prikazati funkciji y=x² in y= -x². Slabost: če so koordinate oglišča delna števila, ni zelo priročno graditi graf. Če želite vedeti natančne vrednosti točk presečišča grafa z osjo Ox, boste morali dodatno rešiti enačbo x²+bx+c=0 (ali -x²+bx+c=0), tudi če je te točke mogoče neposredno določiti iz risbe.
Drug način za konstruiranje parabole je po točkah, to pomeni, da lahko najdete več točk na grafu in skozi njih narišete parabolo (ob upoštevanju, da je premica x=xₒ njena simetrijska os). Običajno za to vzamejo vrh parabole, točke presečišča grafa s koordinatnimi osemi in 1-2 dodatni točki.
Nariši graf funkcije y=x²+5x+4.
rešitev:
y=x²+5x+4 je kvadratna funkcija. Graf je parabola z vejami navzgor. Koordinate vrha parabole
to pomeni, da je vrh parabole točka (-2,5; -2,25).
Iščemo. Na presečišču z osjo Ox y=0: x²+5x+4=0. Koreni kvadratne enačbe x1=-1, x2=-4, torej na grafu smo dobili dve točki (-1; 0) in (-4; 0).
V točki presečišča grafa z osjo Oy x=0: y=0²+5∙0+4=4. Dobili smo točko (0; 4).
Za razjasnitev grafa lahko najdete dodatno točko. Vzemimo x=1, potem je y=1²+5∙1+4=10, kar pomeni, da je druga točka na grafu (1; 10). Te točke označimo na koordinatni ravnini. Ob upoštevanju simetrije parabole glede na premico, ki poteka skozi njeno oglišče, označimo še dve točki: (-5; 6) in (-6; 10) in skozi njiju narišemo parabolo:
Narišite graf funkcije y= -x²-3x.
rešitev:
y= -x²-3x je kvadratna funkcija. Graf je parabola z vejami navzdol. Koordinate vrha parabole
Oglišče (-1,5; 2,25) je prva točka parabole.
V presečiščih grafa z abscisno osjo y=0, torej rešujemo enačbo -x²-3x=0. Njegovi koreni sta x=0 in x=-3, to je (0;0) in (-3;0) - še dve točki na grafu. Točka (o; 0) je tudi točka presečišča parabole z ordinatno osjo.
Pri x=1 y=-1²-3∙1=-4 je (1; -4) dodatna točka za risanje.
Konstruiranje parabole iz točk je bolj delovno intenzivna metoda v primerjavi s prvo. Če parabola ne seka osi Ox, bo potrebnih več dodatnih točk.
Preden nadaljujemo z gradnjo grafov kvadratnih funkcij oblike y=ax²+bx+c, razmislimo o konstrukciji grafov funkcij z uporabo geometrijskih transformacij. Najbolj priročno je tudi sestaviti grafe funkcij oblike y=x²+c z uporabo ene od teh transformacij – vzporednega prevajanja.
Kategorija: |Klicana je funkcija oblike where kvadratna funkcija.
Graf kvadratne funkcije – parabola.
Razmislimo o primerih:
I CASE, KLASIČNA PARABOLA
to je , ,
Za konstrukcijo izpolnite tabelo tako, da vrednosti x nadomestite v formulo:
Označite točke (0;0); (1;1); (-1;1) itd. na koordinatni ravnini (manjši korak kot vzamemo vrednosti x (v tem primeru korak 1) in več vrednosti x vzamemo, bolj gladka bo krivulja), dobimo parabolo:
Preprosto je videti, da če vzamemo primer , , , torej dobimo parabolo, ki je simetrična glede na os (oh). To je enostavno preveriti tako, da izpolnite podobno tabelo:
II PRIMER, "a" JE RAZLIČEN OD ENOTE
Kaj se bo zgodilo, če vzamemo , , ? Kako se bo spremenilo obnašanje parabole? Z naslovom="Upodobljeno s strani QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
Na prvi sliki (glej zgoraj) je jasno razvidno, da so bile točke iz tabele za parabolo (1;1), (-1;1) transformirane v točke (1;4), (1;-4), to pomeni, da se pri enakih vrednostih ordinata vsake točke pomnoži s 4. To se bo zgodilo z vsemi ključnimi točkami prvotne tabele. Podobno razmišljamo v primerih slik 2 in 3.
In ko parabola "postane širša" od parabole:
Naj povzamemo:
1)Predznak koeficienta določa smer vej. Z naslovom="Upodobljeno s strani QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Absolutna vrednost koeficient (modul) je odgovoren za "širjenje" in "stiskanje" parabole. Večja kot je , ožja je parabola; manjši kot je |a|, širša je parabola.
PRIMER III, POJAVI SE "C".
Zdaj pa uvedimo v igro (to je, upoštevajte primer, ko), bomo obravnavali parabole oblike . Ni težko uganiti (vedno se lahko obrnete na tabelo), da se bo parabola premaknila navzgor ali navzdol vzdolž osi, odvisno od znaka:
IV PRIMER, PRIKAŽE se "b".
Kdaj se bo parabola »odtrgala« od osi in končno »hodila« po celotni koordinatni ravnini? Kdaj bo nehalo biti enako?
Tukaj potrebujemo za sestavo parabole formula za izračun oglišča: , .
Tako bomo na tej točki (kot na točki (0;0) novega koordinatnega sistema) zgradili parabolo, kar že lahko naredimo. Če imamo opravka s primerom, potem od vrha postavimo en segment enote v desno, enega navzgor, - nastala točka je naša (podobno, korak v levo, korak navzgor je naša točka); če imamo na primer opravka, potem od vrha postavimo en segment enote v desno, dva - navzgor itd.
Na primer, vrh parabole:
Glavna stvar, ki jo je treba razumeti, je, da bomo na tej točki zgradili parabolo po vzorcu parabole, ker v našem primeru.
Pri konstruiranju parabole po najdenih koordinatah oglišča zeloPrimerno je upoštevati naslednje točke:
1) parabola bo zagotovo šel skozi točko . Če nadomestimo x=0 v formulo, dobimo, da . To pomeni, da je ordinata presečišča parabole z osjo (oy) . V našem primeru (zgoraj) parabola seka ordinato v točki , saj .
2) simetrična os parabole je ravna črta, zato bodo vse točke parabole simetrične glede nanjo. V našem primeru takoj vzamemo točko (0; -2) in jo zgradimo simetrično glede na simetrično os parabole, dobimo točko (4; -2), skozi katero bo parabola potekala.
3) Z enačenjem , ugotovimo presečišča parabole z osjo (oh). Da bi to naredili, rešimo enačbo. Glede na diskriminanto bomo dobili enega (, ), dva ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . V prejšnjem primeru naš koren diskriminanta pri konstruiranju ni celo število, nima smisla iskati korenin, vendar jasno vidimo, da bomo imeli dve presečni točki z osjo (oh) (od title="Upodobljeno s strani QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Torej, rešimo to
Algoritem za konstrukcijo parabole, če je podana v obliki
1) določi smer vej (a>0 – gor, a<0 – вниз)
2) poiščemo koordinate vrha parabole po formuli , .
3) najdemo točko presečišča parabole z osjo (oy) z uporabo prostega izraza, zgradimo točko, ki je simetrična na to točko glede na os simetrije parabole (opozoriti je treba, da se zgodi, da je nedonosno označiti to točka, na primer, ker je vrednost velika ... to točko preskočimo ...)
4) V najdeni točki - oglišču parabole (kot v točki (0;0) novega koordinatnega sistema) sestavimo parabolo. If title="Upodobljeno s strani QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Presečišča parabole z osjo (oy) poiščemo (če še niso »priplavale«) tako, da rešimo enačbo
Primer 1
Primer 2
Opomba 1.Če nam je parabola na začetku podana v obliki , kjer je nekaj števil (npr. ), potem jo bomo še lažje sestavili, saj smo že dobili koordinate oglišča . Zakaj?
Vzemimo kvadratni trinom in v njem izoliramo celoten kvadrat: Poglejte, dobili smo to , . Vi in jaz smo prej imenovali vrh parabole, to je zdaj,.
Na primer,. Označimo vrh parabole na ravnini, razumemo, da so veje usmerjene navzdol, parabola je razširjena (glede na ). Se pravi, izvajamo 1. točko; 3; 4; 5 iz algoritma za konstrukcijo parabole (glej zgoraj).
Opomba 2.Če je parabola podana v podobni obliki (torej predstavljena kot produkt dveh linearnih faktorjev), potem takoj vidimo presečišča parabole z osjo (ox). V tem primeru – (0;0) in (4;0). Za ostalo ravnamo po algoritmu in odpremo oklepaje.
