Kako rešiti obratno sorazmernost. Praktična uporaba neposredne in obratno sorazmerne odvisnosti

Danes si bomo pogledali, katere količine imenujemo obratno sorazmerne, kako izgleda graf obratne sorazmernosti in kako vam vse to lahko koristi ne le pri pouku matematike, ampak tudi izven šole.

Tako drugačna razmerja

Sorazmernost poimenuj dve količini, ki sta med seboj odvisni.

Odvisnost je lahko neposredna in obratna. Posledično so razmerja med količinami opisana z neposredno in obratno sorazmernostjo.

Neposredna sorazmernost- to je takšno razmerje med dvema količinama, v katerem povečanje ali zmanjšanje ene od njiju povzroči povečanje ali zmanjšanje druge. Tisti. njihov odnos se ne spremeni.

Na primer, več truda ko vložite v učenje za izpite, višje so vaše ocene. Ali pa več stvari kot boste vzeli s seboj na pohod, težji bo vaš nahrbtnik. Tisti. Količina truda, vloženega v priprave na izpite, je premosorazmerna z doseženimi ocenami. In število stvari, spakiranih v nahrbtniku, je neposredno sorazmerno z njegovo težo.

Inverzna sorazmernost – to je funkcionalna odvisnost, pri kateri večkratno zmanjšanje ali povečanje neodvisne vrednosti (imenuje se argument) povzroči sorazmerno (tj. enako število krat) povečanje ali zmanjšanje odvisne vrednosti (imenuje se a funkcijo).

Naj ponazorimo preprost primer. Na tržnici želite kupiti jabolka. Jabolka na pultu in količina denarja v vaši denarnici sta v obratnem sorazmerju. Tisti. Več jabolk ko kupite, manj denarja vam bo ostalo.

Funkcija in njen graf

Funkcijo obratne sorazmernosti lahko opišemo kot y = k/x. V kateri x≠ 0 in k≠ 0.

Ta funkcija ima naslednje lastnosti:

1. Njegova definicijska domena je množica vseh realnih števil, razen x = 0. D(l): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Obseg so vsa realna števila razen l= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nima najvišjih ali najmanjših vrednosti.
4. Je nenavaden in njegov graf je simetričen glede na izvor.
5. Neperiodično.
6. Njegov graf ne seka koordinatnih osi.
7. Nima ničel.
8. če k> 0 (tj. argument narašča), funkcija sorazmerno pada na vsakem svojem intervalu. če k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Ko se argument poveča ( k> 0) negativne vrednosti funkcije so v intervalu (-∞; 0), pozitivne vrednosti pa v intervalu (0; +∞). Ko se argument zmanjša ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graf inverzne proporcionalne funkcije imenujemo hiperbola. Prikazano na naslednji način:

Problemi obratne sorazmernosti

Da bo bolj jasno, si poglejmo več nalog. Niso preveč zapleteni, njihovo reševanje pa vam bo pomagalo vizualizirati, kaj je obratna sorazmernost in kako vam lahko to znanje koristi v vsakdanjem življenju.

Naloga št. 1. Avto se giblje s hitrostjo 60 km/h. Potreboval je 6 ur, da je prišel do cilja. V kolikšnem času bo pretekel enako razdaljo, če se bo gibal dvakrat hitreje?

Začnemo lahko tako, da zapišemo formulo, ki opisuje razmerje med časom, razdaljo in hitrostjo: t = S/V. Strinjam se, da nas zelo spominja na funkcijo obratne sorazmernosti. In kaže, da sta čas, ki ga avto preživi na cesti, in hitrost, s katero se premika, v obratnem sorazmerju.

Da to preverimo, poiščemo V 2, ki je glede na pogoj 2-krat večji: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Nato izračunamo razdaljo po formuli S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Zdaj ni težko ugotoviti časa t 2, ki se od nas zahteva glede na pogoje problema: t 2 = 360/120 = 3 ure.

Kot lahko vidite, sta čas potovanja in hitrost res obratno sorazmerna: pri hitrosti, ki je 2-krat višja od prvotne hitrosti, bo avto na cesti porabil 2-krat manj časa.

Rešitev tega problema lahko zapišemo tudi kot delež. Torej, najprej ustvarimo ta diagram:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Puščice označujejo obratno sorazmerno razmerje. Prav tako predlagajo, da pri risanju razmerij desna stran zapise je treba obrniti: 60/120 = x/6. Kje dobimo x = 60 * 6/120 = 3 ure.

Naloga št. 2. V delavnici je zaposlenih 6 delavcev, ki lahko zadano količino dela opravijo v 4 urah. Če se število delavcev prepolovi, koliko časa bodo preostali delavci potrebovali, da opravijo enako količino dela?

Zapišimo pogoje problema v obliki vizualnega diagrama:

↓ 6 delavcev – 4 ure

↓ 3 delavci – x h

Zapišimo to kot razmerje: 6/3 = x/4. In dobimo x = 6 * 4/3 = 8 ur. Če je delavcev 2-krat manj, bodo preostali porabili 2-krat več časa za vse delo.

Naloga št. 3. V bazen vodita dve cevi. Skozi eno cev teče voda s hitrostjo 2 l/s in napolni bazen v 45 minutah. Skozi drugo cev se bo bazen napolnil v 75 minutah. S kakšno hitrostjo teče voda skozi to cev v bazen?

Za začetek zreducirajmo vse količine, ki so nam dane glede na pogoje problema, na iste merske enote. Za to izrazimo hitrost polnjenja bazena v litrih na minuto: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Ker iz pogoja izhaja, da se bazen skozi drugo cev polni počasneje, to pomeni, da je pretok vode manjši. Sorazmernost je obratna. Izrazimo neznano hitrost skozi x in sestavimo naslednji diagram:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

In potem sestavimo razmerje: 120/x = 75/45, od koder je x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

V nalogi je stopnja polnjenja bazena izražena v litrih na sekundo, odgovor, ki smo ga prejeli, zreducirajmo na enako obliko: 72/60 = 1,2 l/s.

Naloga št. 4. Mala zasebna tiskarna tiska vizitke. Zaposleni v tiskarni dela s hitrostjo 42 vizitk na uro in dela cel dan - 8 ur. Če bi delal hitreje in v eni uri natisnil 48 vizitk, koliko prej bi lahko šel domov?

Sledimo preverjeni poti in sestavimo diagram glede na pogoje problema, pri čemer želeno vrednost označimo kot x:

↓ 42 vizitk/uro – 8 ur

↓ 48 vizitk/h – x h

Imamo obratno sorazmerno razmerje: kolikorkrat več vizitk zaposleni v tiskarni natisne na uro, tolikokrat manj časa bo potreboval za isto delo. Če vemo to, ustvarimo razmerje:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 ur.

Tako je lahko uslužbenec tiskarne, ko je delo opravil v 7 urah, odšel domov eno uro prej.

Zaključek

Zdi se nam, da so ti problemi obratne sorazmernosti res preprosti. Upamo, da zdaj tudi vi razmišljate o njih tako. In glavna stvar je, da vam lahko znanje o obratno sorazmerni odvisnosti količin resnično koristi večkrat.

Ne samo pri pouku in izpitih matematike. A tudi takrat, ko se pripravljate na izlet, nakupovanje, se odločite za kakšen dodaten zaslužek med počitnicami itd.

V komentarjih nam povejte, katere primere obratnega in premosorazmernega razmerja opazite okoli sebe. Naj bo taka igra. Videli boste, kako razburljivo je. Ne pozabite deliti tega članka na socialna omrežja tako da se lahko igrajo tudi vaši prijatelji in sošolci.

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do izvirnega vira.

Danes si bomo pogledali, katere količine imenujemo obratno sorazmerne, kako izgleda graf obratne sorazmernosti in kako vam vse to lahko koristi ne le pri pouku matematike, ampak tudi izven šole.

Tako drugačna razmerja

Sorazmernost poimenuj dve količini, ki sta med seboj odvisni.

Odvisnost je lahko neposredna in obratna. Posledično so razmerja med količinami opisana z neposredno in obratno sorazmernostjo.

Neposredna sorazmernost- to je takšno razmerje med dvema količinama, v katerem povečanje ali zmanjšanje ene od njiju povzroči povečanje ali zmanjšanje druge. Tisti. njihov odnos se ne spremeni.

Na primer, več truda ko vložite v učenje za izpite, višje so vaše ocene. Ali pa več stvari kot boste vzeli s seboj na pohod, težji bo vaš nahrbtnik. Tisti. Količina truda, vloženega v priprave na izpite, je premosorazmerna z doseženimi ocenami. In število stvari, spakiranih v nahrbtniku, je neposredno sorazmerno z njegovo težo.

Obratna sorazmernost– to je funkcionalna odvisnost, pri kateri večkratno zmanjšanje ali povečanje neodvisne vrednosti (imenuje se argument) povzroči sorazmerno (tj. enako število krat) povečanje ali zmanjšanje odvisne vrednosti (imenuje se a funkcijo).

Ponazorimo s preprostim primerom. Na tržnici želite kupiti jabolka. Jabolka na pultu in količina denarja v vaši denarnici sta v obratnem sorazmerju. Tisti. Več jabolk ko kupite, manj denarja vam bo ostalo.

Funkcija in njen graf

Funkcijo obratne sorazmernosti lahko opišemo kot y = k/x. V kateri x≠ 0 in k≠ 0.

Ta funkcija ima naslednje lastnosti:

1. Njegova definicijska domena je množica vseh realnih števil, razen x = 0. D(l): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Obseg so vsa realna števila razen l= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nima najvišjih ali najmanjših vrednosti.
4. Je nenavaden in njegov graf je simetričen glede na izvor.
5. Neperiodično.
6. Njegov graf ne seka koordinatnih osi.
7. Nima ničel.
8. če k> 0 (tj. argument narašča), funkcija sorazmerno pada na vsakem svojem intervalu. če k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Ko se argument poveča ( k> 0) negativne vrednosti funkcije so v intervalu (-∞; 0), pozitivne vrednosti pa v intervalu (0; +∞). Ko se argument zmanjša ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graf inverzne proporcionalne funkcije imenujemo hiperbola. Prikazano na naslednji način:

Problemi obratne sorazmernosti

Da bo bolj jasno, si poglejmo več nalog. Niso preveč zapleteni, njihovo reševanje pa vam bo pomagalo vizualizirati, kaj je obratna sorazmernost in kako vam lahko to znanje koristi v vsakdanjem življenju.

Naloga št. 1. Avto se giblje s hitrostjo 60 km/h. Potreboval je 6 ur, da je prišel do cilja. V kolikšnem času bo pretekel enako razdaljo, če se bo gibal dvakrat hitreje?

Začnemo lahko tako, da zapišemo formulo, ki opisuje razmerje med časom, razdaljo in hitrostjo: t = S/V. Strinjam se, da nas zelo spominja na funkcijo obratne sorazmernosti. In kaže, da sta čas, ki ga avto preživi na cesti, in hitrost, s katero se premika, v obratnem sorazmerju.

Da to preverimo, poiščemo V 2, ki je glede na pogoj 2-krat večji: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Nato izračunamo razdaljo po formuli S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Zdaj ni težko ugotoviti časa t 2, ki se od nas zahteva glede na pogoje problema: t 2 = 360/120 = 3 ure.

Kot lahko vidite, sta čas potovanja in hitrost res obratno sorazmerna: pri hitrosti, ki je 2-krat višja od prvotne hitrosti, bo avto na cesti porabil 2-krat manj časa.

Rešitev tega problema lahko zapišemo tudi kot delež. Torej, najprej ustvarimo ta diagram:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Puščice označujejo obratno sorazmerno razmerje. Predlagajo tudi, da je treba pri sestavljanju razmerja desno stran zapisa obrniti: 60/120 = x/6. Kje dobimo x = 60 * 6/120 = 3 ure.

Naloga št. 2. V delavnici je zaposlenih 6 delavcev, ki lahko zadano količino dela opravijo v 4 urah. Če se število delavcev prepolovi, koliko časa bodo preostali delavci potrebovali, da opravijo enako količino dela?

Zapišimo pogoje problema v obliki vizualnega diagrama:

↓ 6 delavcev – 4 ure

↓ 3 delavci – x h

Zapišimo to kot razmerje: 6/3 = x/4. In dobimo x = 6 * 4/3 = 8 ur. Če je delavcev 2-krat manj, bodo preostali porabili 2-krat več časa za vse delo.

Naloga št. 3. V bazen vodita dve cevi. Skozi eno cev teče voda s hitrostjo 2 l/s in napolni bazen v 45 minutah. Skozi drugo cev se bo bazen napolnil v 75 minutah. S kakšno hitrostjo teče voda skozi to cev v bazen?

Za začetek zreducirajmo vse količine, ki so nam dane glede na pogoje problema, na iste merske enote. Za to izrazimo hitrost polnjenja bazena v litrih na minuto: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Ker iz pogoja izhaja, da se bazen skozi drugo cev polni počasneje, to pomeni, da je pretok vode manjši. Sorazmernost je obratna. Izrazimo neznano hitrost skozi x in sestavimo naslednji diagram:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

In potem sestavimo razmerje: 120/x = 75/45, od koder je x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

V nalogi je stopnja polnjenja bazena izražena v litrih na sekundo, odgovor, ki smo ga prejeli, zreducirajmo na enako obliko: 72/60 = 1,2 l/s.

Naloga št. 4. Mala zasebna tiskarna tiska vizitke. Zaposleni v tiskarni dela s hitrostjo 42 vizitk na uro in dela cel dan - 8 ur. Če bi delal hitreje in v eni uri natisnil 48 vizitk, koliko prej bi lahko šel domov?

Sledimo preverjeni poti in sestavimo diagram glede na pogoje problema, pri čemer želeno vrednost označimo kot x:

↓ 42 vizitk/uro – 8 ur

↓ 48 vizitk/h – x h

Imamo obratno sorazmerno razmerje: kolikorkrat več vizitk zaposleni v tiskarni natisne na uro, tolikokrat manj časa bo potreboval za isto delo. Če vemo to, ustvarimo razmerje:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 ur.

Tako je lahko uslužbenec tiskarne, ko je delo opravil v 7 urah, odšel domov eno uro prej.

Zaključek

Zdi se nam, da so ti problemi obratne sorazmernosti res preprosti. Upamo, da zdaj tudi vi razmišljate o njih tako. In glavna stvar je, da vam lahko znanje o obratno sorazmerni odvisnosti količin resnično koristi večkrat.

Ne samo pri pouku in izpitih matematike. A tudi takrat, ko se pripravljate na izlet, nakupovanje, se odločite za kakšen dodaten zaslužek med počitnicami itd.

V komentarjih nam povejte, katere primere obratnega in premosorazmernega razmerja opazite okoli sebe. Naj bo taka igra. Videli boste, kako razburljivo je. Ne pozabite deliti tega članka na družbenih omrežjih, da se bodo lahko igrali tudi vaši prijatelji in sošolci.

blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.

Poleg premo sorazmernih količin so v aritmetiki upoštevali tudi obratno sorazmerne količine.

Navedimo primere.

1) Dolžina osnove in višina pravokotnika s konstantno ploščino.

Recimo, da morate dodeliti pravokotno zemljišče s površino

Poljubno lahko nastavimo npr. dolžino odseka. Toda potem bo širina območja odvisna od tega, kakšno dolžino smo izbrali. Različne (možne) dolžine in širine so prikazane v tabeli.

Na splošno, če dolžino odseka označimo z x in širino z y, lahko razmerje med njima izrazimo s formulo:

Če izrazimo y skozi x, dobimo:

Če damo x poljubne vrednosti, bomo dobili ustrezne vrednosti y.

2) Čas in hitrost enakomernega gibanja na določeni razdalji.

Naj bo razdalja med mestoma 200 km. Višja kot je hitrost, manj časa bo potrebno za premagovanje določene razdalje. To je razvidno iz naslednje tabele:

Na splošno, če označimo hitrost z x in čas gibanja z y, bo razmerje med njima izraženo s formulo:

Opredelitev. Razmerje med dvema količinama, izraženo z enakostjo , kjer je k določeno število (ni enako nič), imenujemo obratno sorazmerno razmerje.

Število tukaj imenujemo tudi sorazmerni koeficient.

Enako kot pri premi sorazmernosti lahko tudi v enakosti količini x in y v splošnem primeru zavzameta pozitivne in negativne vrednosti.

Toda v vseh primerih obratne sorazmernosti nobena od količin ne more biti enaka nič. Dejansko, če je vsaj ena od količin x ali y enaka nič, potem v enakosti leva stran bo enako dobro

In desno - do nekega števila, ki ni enako nič (po definiciji), to pomeni, da bo rezultat napačna enakost.

2. Graf obratne sorazmernosti.

Zgradimo graf odvisnosti

Če izrazimo y skozi x, dobimo:

Dali bomo poljubne (veljavne) vrednosti x in izračunali ustrezne vrednosti y. Dobimo tabelo:

Konstruirajmo ustrezne točke (slika 28).

Če vzamemo vrednosti x v manjših intervalih, bodo točke nameščene bližje skupaj.

Za vse možne vrednosti x bodo ustrezne točke nameščene na dveh vejah grafa, simetričnih glede na izvor koordinat in potekajo v prvi in ​​tretji četrtini koordinatne ravnine (slika 29).

Torej vidimo, da je graf obratne sorazmernosti ukrivljena črta. Ta linija je sestavljena iz dveh vej.

Ena veja bo pridobljena za pozitivne, druga - za negativne vrednosti x.

Graf obratno sorazmernega razmerja imenujemo hiperbola.

Če želite dobiti natančnejši graf, morate zgraditi čim več točk.

Hiperbolo je mogoče narisati s precej visoko natančnostjo, na primer z uporabo vzorcev.

Slika 30 prikazuje graf obratno sorazmernega razmerja z negativnim koeficientom. Na primer z ustvarjanjem tabele, kot je ta:

dobimo hiperbolo, katere veje se nahajajo v II in IV četrtini.

domov » Tatjana O » Kako rešiti obratno sorazmernost. Praktična uporaba neposredne in obratno sorazmerne odvisnosti