«Преимущества графического способа решения уравнений и неравенств».

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ИНСТИТУТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

«Графические методы решения уравнений и неравенств с параметрами»

Выполнил

учитель математики

МОУ СОШ №62

Липецк 2008

ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................... 3

х ;у ) 4

1.1. Параллельный перенос........................................................................... 5

1.2. Поворот................................................................................................... 9

1.3. Гомотетия. Сжатие к прямой................................................................ 13

1.4. Две прямые на плоскости..................................................................... 15

2. ГРАФИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ. КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ (х ;а ) 17

ЗАКЛЮЧЕНИЕ........................................................................................... 20

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК........................................................ 22

ВВЕДЕНИЕ

Проблемы, возникающие у школьников при решении нестандартных уравнений и неравенств, вызваны как относительной сложностью этих задач, так и тем, что в школе, как правило, основное внимание уделяется решению стандартных задач.

Многие школьники воспринимают параметр как «обычное» число. Действительно, в некоторых задачах параметр можно считать постоянной величиной, но эта постоянная величина принимает неизвестные значения! Поэтому необходимо рассматривать задачу при всех возможных значениях этой постоянной величины. В других задачах бывает удобно искусственно объявить параметром одну из неизвестных.

Иные школьники относятся к параметру как к неизвестной величине и, не смущаясь, могут выразить в ответе параметр через переменную х.

На выпускных и вступительных экзаменах встречаются, в основном, два типа задач с параметрами. Вы сразу отличите их по формулировке. Первый: «Для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй: «Найти все значения параметра, при каждом из которых для данного уравнения или неравенства выполняются некоторые условия». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В ответе к задаче первого типа перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответе к задаче второго типа указываются все значения параметра, при которых выполняются условия, указанные в задаче.

Решением уравнения с параметром для данного фиксированного значения параметра называется такое значение неизвестной, при подстановке которого в уравнение, последнее обращается в верное числовое равенство. Аналогично определяется решение неравенства с параметром. Решить уравнение (неравенство) с параметром - это значит для каждого допустимого значения параметра найти множество всех решений данного уравнения (неравенства).

1. ГРАФИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ. КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ (х ;у )

Наряду с основными аналитическими приемами и методами решений задач с параметрами существуют способы обращения к наглядно-графическим интерпретациям.

В зависимости от того какая роль параметру отводится в задаче (неравноправная или равноправная с переменной), можно соответственно выделить два основных графических приема: первый – построение графического образа на координатной плоскости (х ; у), второй – на (х ; а).

На плоскости (х; у) функция у = f (х ; а) задает семейство кривых, зависящих от параметра а. Понятно, что каждое семейство f обладает определенными свойствами. Нас же в первую очередь будет интересовать, с помощью какого преобразования плоскости (параллельный перенос, поворот и т. д.) можно перейти от одной кривой семейства к какой-либо другой. Каждому из таких преобразований будет посвящен отдельный пункт. Как нам кажется, подобная классификация облегчает решающему поиск необходимого графического образа. Отметим, что при таком подходе идейная часть решения не зависит от того, какая фигура (прямая, окружность, парабола и т. п.) будет являться членом семейства кривых.

Разумеется, не всегда графический образ семейства у = f (х ; а) описывается простым преобразованием. Поэтому в подобных ситуациях полезно сосредоточить внимание не на том, как связаны кривые одного семейства, а на самих кривых. Иными словами можно выделить еще один тип задач, в которых идея решения прежде всего основана на свойствах конкретных геометрических фигур, а не семейства в целом. Какие же фигуры (точнее семейства этих фигур) нас будут интересовать в первую очередь? Это прямые и параболы. Такой выбор обусловлен особым (основным) положением линейной и квадратичной функций в школьной математике.

Говоря о графических методах, невозможно обойти одну проблему, «рожденную» практикой конкурсного экзамена. Мы имеем в виду вопрос о строгости, а следовательно, о законности решения, основанного на графических соображениях. Несомненно, с формальной точки зрения результат, снятый с «картинки», не подкрепленный аналитически, получен нестрого. Однако кем, когда и где определен уровень строгости, которого следует придерживаться старшекласснику? По нашему мнению, требования к уровню математической строгости для школьника должны определяться здравым смыслом. Мы понимаем степень субъективности такой точки зрения. Более того, графический метод – всего лишь одно из средств наглядности. А наглядность может быть обманчивой..gif" width="232" height="28"> имеет единственное решение.

Решение. Для удобства обозначим lg b = а. Запишем уравнение, равносильное исходному: https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif" width="125" height="92">

Строим график функции с областью определения и (рис. 1). Полученный график семейство прямых у = а должно пересекать только в одной точке. Из рисунка видно, что это требование выполняется лишь при а > 2, т. е. lg b > 2, b > 100.

Ответ. https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif" width="15 height=16" height="16"> определить число решений уравнения .

Решение . Построим график функции 102" height="37" style="vertical-align:top">

Рассмотрим . Это прямая параллельна оси ОХ.

Ответ ..gif" width="41" height="20">, то 3 решения;

если , то 2 решения;

если , 4 решения.

Перейдем к новой серии задач..gif" width="107" height="27 src=">.

Решение. Построим прямую у = х +1 (рис. 3)..gif" width="92" height="57">

иметь одно решение, что равносильно для уравнения (х +1)2 = х + а иметь один корень..gif" width="44 height=47" height="47"> исходное неравенство решений не имеет. Заметим, что тот, кто знаком с производной, может получить этот результат иначе.

Далее, смещая «полупараболу» влево, зафиксируем последний момент, когда графики у = х + 1 и имеют две общие точки (положение III). Такое расположение обеспечивается требованием а = 1.

Ясно, что при отрезок [х 1; х 2], где х 1 и х 2 – абсциссы точек пересечения графиков, будет решением исходного неравенства..gif" width="68 height=47" height="47">, то

Когда «полупарабола» и прямая пересекаются только в одной точке (это соответствует случаю а > 1), то решением будет отрезок [-а ; х 2"], где х 2" – больший из корней х 1 и х 2 (положение IV).

Пример 4 ..gif" width="85" height="29 src=">.gif" width="75" height="20 src=">. Отсюда получаем .

Рассмотрим функции и . Среди них лишь одна задает семейство кривых. Теперь мы видим, что произведенная замена приносит несомненную пользу. Параллельно отметим, что в предыдущей задаче аналогичной заменой можно заставить двигаться не «полупараболу», а прямую. Обратимся к рис. 4. Очевидно, если абсцисса вершины «полупараболы» больше единицы, т. е. –3а > 1, , то уравнение корней не имеет..gif" width="89" height="29"> и имеют разный характер монотонности.

Ответ. Если то уравнение имеет один корень; если https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif" width="141" height="81 src=">

имеет решения.

Решение. Ясно, что прямые семейства https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif" width="61" height="52">..jpg" width="259" height="155">

Значение k1 найдем, подставив в первое уравнение системы пару (0;0). Отсюда k 1 =-1/4. Значение k 2 получим, потребовав от системы

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif" width="151" height="47"> при k > 0 иметь один корень. Отсюда k2 = 1/4.

Ответ. .

Сделаем одно замечание. В некоторых примерах этого пункта нам придется решать стандартную задачу: для прямой семейства находить ее угловой коэффициент, соответствующий моменту касания с кривой. Покажем, как это сделать в общем виде при помощи производной.

Если (х0 ; y 0) = центр поворота, то координаты (х 1; у 1) точки касания с кривой у = f (х) можно найти, решив систему

Искомый угловой коэффициент k равен .

Пример 6 . При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение?

Решение ..gif" width="160" height="29 src=">..gif" width="237" height="33">, дуга АВ.

Все лучи проходящие между ОА и ОВ пересекают дугу АВ в одной точке, также в одной точке пересекают дугу АВ ОВ и ОМ (касательная)..gif" width="16" height="48 src=">. Угловой коэффициент касательной равен . Легко находится из системы

Итак, прямые семейства https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif" width="139" height="52">.

Ответ . .

Пример 7 ..gif" width="160" height="25 src="> имеет решение?

Решение ..gif" width="61" height="24 src="> и убывает на . Точка - является точкой максимума.

Функция же - это семейство прямых, проходящих через точку https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif" width="153" height="28"> является дуга АВ. Прямые , которые будут находиться между прямыми ОА и ОВ, удовлетворяют условию задачи..gif" width="17" height="47 src=">.

Ответ ..gif" width="15" height="20">решений нет.

1.3. Гомотетия. Сжатие к прямой.

Пример 8. Сколько решений имеет система

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif" width="41" height="20 src="> система решений не имеет. При фиксированном а > 0 графиком первого уравнения является квадрат с вершинами (а ; 0), (0;-а ), (-a ;0), (0;а). Таким образом, членами семейства являются гомотетичные квадраты (центр гомотетии – точка О(0; 0)).

Обратимся к рис. 8..gif" width="80" height="25"> каждая сторона квадрата имеет две общие точки с окружностью, а значит, система будет иметь восемь решений. При окружность окажется вписанной в квадрат, т. е. решений станет опять четыре. Очевидно при система решений не имеет.

Ответ. Если а < 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, то решений четыре; если , то решений восемь.

Пример 9 . Найти все значения параметра , при каждом из которых уравнение https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif" width="181" height="29 src=">. Рассмотрим функцию ..jpg" width="195" height="162">

Число корней будет соответствовать числу 8 тогда, когда радиус полуокружности будет больше и меньше , то есть . Заметим, что есть .

Ответ . или .

1.4. Две прямые на плоскости

По существу, в основе идеи решения задач настоящего пункта лежит вопрос об исследовании взаимного расположения двух прямых: и . Несложно показать решение этой задачи в общем виде. Мы же обратимся непосредственно к конкретным характерным примерам, что, на наш взгляд, не нанесет ущерба общей стороне вопроса.

Пример 10. При каких a и b система

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif" width="160" height="25 src=">..gif" width="67" height="24 src=">, т..gif" width="116" height="55">

Неравенство системы задает полуплоскость с границей у = 2х – 1 (рис. 10). Легко сообразить, что полученная система имеет решение, если прямая ах + by = 5 пересекает границу полуплоскости или, будучи параллельной ей, лежит в полуплоскости у – 2х + 1 < 0.

Начнем со случая b = 0. Тогда, казалось бы, уравнение ах + by = 5 задает вертикальную прямую, которая очевидно пересекает прямую у = 2х – 1. Однако это утверждение справедливо лишь при ..gif" width="43" height="20 src="> система имеет решения..gif" width="99" height="48">. В этом случае условие пересечения прямых достигается при , т. е. ..gif" width="52" height="48">.gif" width="41" height="20"> и , или и , или и https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24 src=">.

− В координатной плоскости xOa строим график функции .

− Рассмотрим прямые и выделим те промежутки оси Oa, на которых эти прямые удовлетворяют следующим условиям: a) не пересекает график функции https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24"> в одной точке, в) в двух точках, г) в трех точках и так далее.

− Если поставлена задача найти значения x, то выражаем x через a для каждого из найденных промежутков значения a в отдельности.

Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах..jpg" width="242" height="182">

Ответ. а = 0 или а = 1.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы надеемся, что разобранные задачи достаточно убедительно демонстрируют эффективность предложенных методов. Однако, к сожалению, сфера применения этих методов ограничена трудностями, с которыми можно столкнуться при построении графического образа. А так ли это плохо? По-видимому, нет. Ведь при таком подходе в большой степени теряется главная дидактическая ценность задач с параметрами как модели миниатюрного исследования. Впрочем, приведенные соображения адресованы учителям, а для абитуриентов вполне приемлема формула: цель оправдывает средства. Более того возьмем на себя смелость сказать, что в немалом числе вузов составители конкурсных задач с параметрами идут по пути от картинки к условию.

В этих задачах обсуждались те возможности решения задач с параметром, которые открываются нам при изображении на листе бумаге графиков функций, входящих в левую и правую части уравнений или неравенств. В связи с тем, что параметр может принимать произвольные значения, один или оба из изображаемых графиков движутся определенным образом на плоскости. Можно говорить о том, что получается целое семейство графиков, соответствующих различным значениям параметра.

Решительно подчеркнем две детали.

Во-первых, речь не идет о «графическом» решении. Все значения, координаты, корни вычисляются строго, аналитически, как решения соответствующих уравнений, систем. Это же относится к случаям касания или пересечения графиков. Они определяются не на глазок, а с помощью дискриминантов, производных и других доступных Вам инструментов. Картинка лишь дает путь решения.

Во-вторых, даже если Вы не найдете никакого пути решения задачи, связанного изображенными графиками, Ваше представление о задаче значительно расширится, Вы получите информацию для самопроверки и шансы на успех значительно возрастут. Точно представляя себе, что происходит в задаче при различных значениях параметра, Вы, возможно, найдет правильный алгоритм решения.

Поэтому эти слова завершим настоятельным предложением: если в хоть мало-мальски сложной задаче встречаются функции, графики которых Вы рисовать умеете, обязательно сделайте это, не пожалеете.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Черкасов, : Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы [Текст] / , . – М.: АСТ-ПРЕСС, 2001. – 576 с.

2. Горштейн, с параметрами [Текст]: 3-е издание, дополненное и переработанное / , . – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1999. – 336 с.

Один из самых удобных методов решения квадратных неравенств – это графический метод. В этой статье мы разберем, как решаются квадратные неравенства графическим способом. Сначала обсудим, в чем суть этого способа. А дальше приведем алгоритм и рассмотрим примеры решения квадратных неравенств графическим способом.

Навигация по странице.

Суть графического способа

Вообще графический способ решения неравенств с одной переменной применяется не только для решения квадратных неравенств, но и неравенств других видов. Суть графического способа решения неравенств следующая: рассматривают функции y=f(x) и y=g(x) , которые соответствуют левой и правой частям неравенства, строят их графики в одной прямоугольной системе координат и выясняют, на каких промежутках график одной из них располагается ниже или выше другого. Те промежутки, на которых

график функции f выше графика функции g являются решениями неравенства f(x)>g(x) ;
график функции f не ниже графика функции g являются решениями неравенства f(x)≥g(x) ;
график функции f ниже графика функции g являются решениями неравенства f(x)
график функции f не выше графика функции g являются решениями неравенства f(x)≤g(x) .

Также скажем, что абсциссы точек пересечения графиков функций f и g являются решениями уравнения f(x)=g(x) .

Перенесем эти результаты на наш случай – для решения квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c<0 (≤, >, ≥).

Вводим две функции: первая y=a·x 2 +b·x+c (при этом f(x)=a·x 2 +b·x+c) отвечает левой части квадратного неравенства, вторая y=0 (при этом g(x)=0 ) отвечает правой части неравенства. Графиком квадратичной функции f является парабола, а графиком постоянной функции g – прямая, совпадающая с осью абсцисс Ox .

Дальше согласно графическому способу решения неравенств надо проанализировать, на каких промежутках график одной функции расположен выше или ниже другого, что позволит записать искомое решение квадратного неравенства. В нашем случае нужно проанализировать положение параболы относительно оси Ox .

В зависимости от значений коэффициентов a , b и c возможны следующие шесть вариантов (для наших нужд достаточно схематического изображения, и можно не изображать ось Oy , так как ее положение не влияет на решения неравенства):

На этом чертеже мы видим параболу, ветви которой направлены вверх, и которая пересекает ось Ox в двух точках, абсциссы которых есть x 1 и x 2 . Этот чертеж отвечает варианту, когда коэффициент a – положительный (он отвечает за направленность вверх ветвей параболы), и когда положительно значение дискриминанта квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c (при этом трехчлен имеет два корня, которые мы обозначили как x 1 и x 2 , причем приняли, что x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0 , x 1 =−2 , x 2 =3 .

Давайте для наглядности изобразим красным цветом части параболы, расположенные выше оси абсцисс, а синим цветом – расположенные ниже оси абсцисс.

Теперь выясним, какие промежутки этим частям соответствуют. Определить их поможет следующий чертеж (в дальнейшем подобные выделения в форме прямоугольников будем проводить мысленно):

Так на оси абсцисс оказались подсвечены красным цветом два промежутка (−∞, x 1) и (x 2 , +∞) , на них парабола выше оси Ox , они составляют решение квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c>0 , а синим цветом подсвечен промежуток (x 1 , x 2) , на нем парабола ниже оси Ox , он представляет собой решение неравенства a·x 2 +b·x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

А теперь кратко: при a>0 и D=b 2 −4·a·c>0 (или D"=D/4>0 при четном коэффициенте b )

решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c>0 является (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) или в другой записи xx 2 ;
решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c≥0 является (−∞, x 1 ]∪ или в другой записи x 1 ≤x≤x 2 ,

где x 1 и x 2 – корни квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c , причем x 1

Здесь мы видим параболу, ветви которой направлены вверх, и которая касается оси абсцисс, то есть, имеет с ней одну общую точку, обозначим абсциссу этой точки как x 0 . Представленному случаю отвечает a>0 (ветви направлены вверх) и D=0 (квадратный трехчлен имеет один корень x 0 ). Для примера можно взять квадратичную функцию y=x 2 −4·x+4 , здесь a=1>0 , D=(−4) 2 −4·1·4=0 и x 0 =2 .

По чертежу отчетливо видно, что парабола расположена выше оси Ox всюду, кроме точки касания, то есть, на промежутках (−∞, x 0) , (x 0 , ∞) . Для наглядности выделим на чертеже области по аналогии с предыдущим пунктом.

Делаем выводы: при a>0 и D=0

решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c>0 является (−∞, x 0)∪(x 0 , +∞) или в другой записи x≠x 0 ;
решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c≥0 является (−∞, +∞) или в другой записи x∈R ;
квадратное неравенство a·x 2 +b·x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
квадратное неравенство a·x 2 +b·x+c≤0 имеет единственное решение x=x 0 (его дает точка касания),

где x 0 - корень квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c .

В этом случае ветви параболы направлены вверх, и она не имеет общих точек с осью абсцисс. Здесь мы имеем условия a>0 (ветви направлены вверх) и D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Очевидно, парабола расположена выше оси Ox на всем ее протяжении (нет интервалов, на которых она ниже оси Ox , нет точки касания).

Таким образом, при a>0 и D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 и a·x 2 +b·x+c≥0 является множество всех действительных чисел, а неравенства a·x 2 +b·x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

И остаются три варианта расположения параболы с направленными вниз, а не вверх, ветвями относительно оси Ox . В принципе их можно и не рассматривать, так как умножение обеих частей неравенства на −1 позволяет перейти к равносильному неравенству с положительным коэффициентом при x 2 . Но все же не помешает получить представление и об этих случаях. Рассуждения здесь аналогичные, поэтому запишем лишь главные результаты.

Алгоритм решения

Итогом всех предыдущих выкладок выступает алгоритм решения квадратных неравенств графическим способом :

На координатной плоскости выполняется схематический чертеж, на котором изображается ось Ox (ось Oy изображать не обязательно) и эскиз параболы, отвечающей квадратичной функции y=a·x 2 +b·x+c . Для построения эскиза параболы достаточно выяснить два момента:

Во-первых, по значению коэффициента a выясняется, куда направлены ее ветви (при a>0 – вверх, при a<0 – вниз).
А во-вторых, по значению дискриминанта квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c выясняется, пересекает ли парабола ось абсцисс в двух точках (при D>0 ), касается ее в одной точке (при D=0 ), или не имеет общих точек с осью Ox (при D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

Когда чертеж готов, по нему на втором шаге алгоритма
- при решении квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c>0 определяются промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс;
- при решении неравенства a·x 2 +b·x+c≥0 определяются промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс и к ним добавляются абсциссы точек пересечения (или абсцисса точки касания);
- при решении неравенства a·x 2 +b·x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
- наконец, при решении квадратного неравенства вида a·x 2 +b·x+c≤0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox и к ним добавляются абсциссы точек пересечения (или абсцисса точки касания);
они и составляют искомое решение квадратного неравенства, а если таких промежутков нет и нет точек касания, то исходное квадратное неравенство не имеет решений.

Остается лишь решить несколько квадратных неравенств с использованием этого алгоритма.

Примеры с решениями

Пример.

Решите неравенство .

Решение.

Нам требуется решить квадратное неравенство, воспользуемся алгоритмом из предыдущего пункта. На первом шаге нам нужно изобразить эскиз графика квадратичной функции . Коэффициент при x 2 равен 2 , он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Выясним еще, имеет ли парабола с осью абсцисс общие точки, для этого вычислим дискриминант квадратного трехчлена . Имеем . Дискриминант оказался больше нуля, следовательно, трехчлен имеет два действительных корня: и , то есть, x 1 =−3 и x 2 =1/3 .

Отсюда понятно, что парабола пересекает ось Ox в двух точках с абсциссами −3 и 1/3 . Эти точки изобразим на чертеже обычными точками, так как решаем нестрогое неравенство. По выясненным данным получаем следующий чертеж (он подходит под первый шаблон из первого пункта статьи):

Переходим ко второму шагу алгоритма. Так как мы решаем нестрогое квадратное неравенство со знаком ≤, то нам нужно определить промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс и добавить к ним абсциссы точек пересечения.

Из чертежа видно, что парабола ниже оси абсцисс на интервале (−3, 1/3) и к нему добавляем абсциссы точек пересечения, то есть, числа −3 и 1/3 . В результате приходим к числовому отрезку [−3, 1/3] . Это и есть искомое решение. Его можно записать в виде двойного неравенства −3≤x≤1/3 .

Ответ:

[−3, 1/3] или −3≤x≤1/3 .

Пример.

Найдите решение квадратного неравенства −x 2 +16·x−63<0 .

Решение.

По обыкновению начинаем с чертежа. Числовой коэффициент при квадрате переменной отрицательный, −1 , поэтому, ветви параболы направлены вниз. Вычислим дискриминант, а лучше – его четвертую часть: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1 . Его значение положительно, вычислим корни квадратного трехчлена: и , x 1 =7 и x 2 =9 . Так парабола пересекает ось Ox в двух точках с абсциссами 7 и 9 (исходное неравенство строгое, поэтому эти точки будем изображать с пустым центром).Теперь можно сделать схематический рисунок:

Так как мы решаем строгое квадратное неравенство со знаком <, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

По чертежу видно, что решениями исходного квадратного неравенства являются два промежутка (−∞, 7) , (9, +∞) .

Ответ:

(−∞, 7)∪(9, +∞) или в другой записи x<7 , x>9 .

При решении квадратных неравенств, когда дискриминант квадратного трехчлена в его левой части равен нулю, нужно быть внимательным с включением или исключением из ответа абсциссы точки касания. Это зависит от знака неравенства: если неравенство строгое, то она не является решением неравенства, а если нестрогое – то является.

Пример.

Имеет ли квадратное неравенство 10·x 2 −14·x+4,9≤0 хотя бы одно решение?

Решение.

Построим график функции y=10·x 2 −14·x+4,9 . Ее ветви направлены вверх, так как коэффициент при x 2 положительный, и она касается оси абсцисс в точке с абсциссой 0,7 , так как D"=(−7) 2 −10·4,9=0 , откуда или 0,7 в виде десятичной дроби. Схематически это выглядит так:

Так как мы решаем квадратное неравенство со знаком ≤, то его решением будут промежутки, на которых парабола ниже оси Ox , а также абсцисса точки касания. Из чертежа видно, что нет ни одного промежутка, где бы парабола была ниже оси Ox , поэтому его решением будет лишь абсцисса точки касания, то есть, 0,7 .

Ответ:

данное неравенство имеет единственное решение 0,7 .

Пример.

Решите квадратное неравенство –x 2 +8·x−16<0 .

Решение.

Действуем по алгоритму решения квадратных неравенств и начинаем с построения графика. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при x 2 отрицательный, −1 . Найдем дискриминант квадратного трехчлена –x 2 +8·x−16 , имеем D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 и дальше x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Итак, парабола касается оси Ox в точке с абсциссой 4 . Выполним чертеж:

Смотрим на знак исходного неравенства, он есть <. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

В нашем случае это открытые лучи (−∞, 4) , (4, +∞) . Отдельно заметим, что 4 - абсцисса точки касания - не является решением, так как в точке касания парабола не ниже оси Ox.

Ответ:

(−∞, 4)∪(4, +∞) или в другой записи x≠4 .

Обратите особое внимание на случаи, когда дискриминант квадратного трехчлена, находящегося в левой части квадратного неравенства, меньше нуля. Здесь не нужно спешить и говорить, что неравенство решений не имеет (мы же привыкли делать такой вывод для квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом). Дело в том, что квадратное неравенство при D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Пример.

Найдите решение квадратного неравенства 3·x 2 +1>0 .

Решение.

Как обычно начинаем с чертежа. Коэффициент a равен 3 , он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Вычисляем дискриминант: D=0 2 −4·3·1=−12 . Так как дискриминант отрицателен, то парабола не имеет с осью Ox общих точек. Полученных сведений достаточно для схематичного графика:

Мы решаем строгое квадратное неравенство со знаком >. Его решением будут все промежутки, на которых парабола находится выше оси Ox . В нашем случае парабола выше оси абсцисс на всем ее протяжении, поэтому искомым решением будет множество всех действительных чисел.

Ox , а также к ним нужно добавить абсциссы точек пересечения или абсциссу точки касания. Но по чертежу хорошо видно, что таких промежутков нет (так как парабола всюду ниже оси абсцисс), как нет и точек пересечения, как нет и точки касания. Следовательно, исходное квадратное неравенство не имеет решений.

Ответ:

нет решений или в другой записи ∅.

Список литературы.

Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.

Начальный уровень

Решение уравнений, неравенств, систем с помощью графиков функций. Визуальный гид (2019)

Многие задания, которые мы привыкли вычислять чисто алгебраически, можно намного легче и быстрее решить, в этом нам поможет использование графиков функций. Ты скажешь «как так?» чертить что-то, да и что чертить? Поверь мне, иногда это удобнее и проще. Приступим? Начнем с уравнений!

Графическое решение уравнений

Графическое решение линейных уравнений

Как ты уже знаешь, графиком линейного уравнения является прямая линия, отсюда и название данного вида. Линейные уравнения достаточно легко решать алгебраическим путем - все неизвестные переносим в одну сторону уравнения, все, что нам известно - в другую и вуаля! Мы нашли корень. Сейчас же я покажу тебе, как это сделать графическим способом.

Итак, у тебя есть уравнение:

Как его решить?
Вариант 1 , и самый распространенный - перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую, получаем:

А теперь строим. Что у тебя получилось?

Как ты думаешь, что является корнем нашего уравнения? Правильно, координата точки пересечения графиков:

Наш ответ -

Вот и вся премудрость графического решения. Как ты с легкостью можешь проверить, корнем нашего уравнения является число!

Как я говорила выше, это самый распространенный вариант, приближенный к алгебраическому решению, но можно решать и по-другому. Для рассмотрения альтернативного решения вернемся к нашему уравнению:

В этот раз не будем ничего переносить из стороны в сторону, а построим графики напрямую, так как они сейчас есть:

Построил? Смотрим!

Что является решением на этот раз? Все верно. Тоже самое - координата точки пересечения графиков:

И, снова наш ответ - .

Как ты видишь, с линейными уравнениями все предельно просто. Настало время рассмотреть что-нибудь посложнее... Например, графическое решение квадратных уравнений.

Графическое решение квадратных уравнений

Итак, теперь приступим к решению квадратного уравнения. Допустим, тебе нужно найти корни у этого уравнения:

Конечно, ты можешь сейчас начать считать через дискриминант, либо по теореме Виета, но многие на нервах ошибаются при переумножении или в возведении в квадрат, особенно, если пример с большими числами, а калькулятора, как ты знаешь, у тебя на экзамене не будет… Поэтому, давай попробуем немного расслабиться и порисовать, решая данное уравнение.

Графически найти решения данного уравнения можно различными способами. Рассмотрим различные варианты, а уже ты сам выберешь, какой больше всего тебе понравится.

Способ 1. Напрямую

Просто строим параболу по данному уравнению:

Чтобы сделать это быстро, дам тебе одну маленькую подсказку: удобно начать построение с определения вершины параболы. Определить координаты вершины параболы помогут следующие формулы:

Ты скажешь «Стоп! Формула для очень похожа на формулу нахождения дискриминанта» да, так оно и есть, и это является огромным минусом «прямого» построения параболы, чтобы найти ее корни. Тем не менее, давай досчитаем до конца, а потом я покажу, как это сделать намного (намного!) проще!

Посчитал? Какие координаты вершины параболы у тебя получились? Давай разбираться вместе:

Точно такой же ответ? Молодец! И вот мы знаем уже координаты вершины, а для построения параболы нам нужно еще … точек. Как ты думаешь, сколько минимум точек нам необходимо? Правильно, .

Ты знаешь, что парабола симметрична относительно своей вершины, например:

Соответственно, нам необходимо еще две точки по левой или правой ветви параболы, а в дальнейшем мы эти точки симметрично отразим на противоположную сторону:

Возвращаемся к нашей параболе. Для нашего случая точка. Нам необходимо еще две точки, соответственно, можно взять положительные, а можно взять отрицательные? Какие точки тебе удобней? Мне удобней работать с положительными, поэтому я рассчитаю при и.

Теперь у нас есть три точки, и мы спокойно можем построить нашу параболу, отразив две последние точки относительно ее вершины:

Как ты думаешь, что является решением уравнения? Правильно, точки, в которых, то есть и. Потому что.

И если мы говорим, что, то значит, что тоже должен быть равен, или.

Просто? Это мы закончили с тобой решение уравнения сложным графическим способом, то ли еще будет!

Конечно, ты можешь проверить наш ответ алгебраическим путем - посчитаешь корни через теорему Виета или Дискриминант. Что у тебя получилось? То же самое? Вот видишь! Теперь посмотрим совсем простое графическое решение, уверена, оно тебе очень понравится!

Способ 2. С разбивкой на несколько функций

Возьмем все тоже наше уравнение: , но запишем его несколько по-другому, а именно:

Можем мы так записать? Можем, так как преобразование равносильно. Смотрим дальше.

Построим отдельно две функции:

- графиком является простая парабола, которую ты с легкостью построишь даже без определения вершины с помощью формул и составления таблицы для определения прочих точек.
- графиком является прямая, которую ты так же легко построишь, прикинув значения и в голове даже не прибегая к калькулятору.

Построил? Сравним с тем, что вышло у меня:

Как ты считаешь, что в данном случае является корнями уравнения? Правильно! Координаты по, которые получились при пересечении двух графиков и, то есть:

Соответственно, решением данного уравнения являются:

Что скажешь? Согласись, этот способ решения намного легче, чем предыдущий и даже легче, чем искать корни через дискриминант! А если так, попробуй данным способом решить следующее уравнение:

Что у тебя получилось? Сравним наши графики:

По графикам видно, что ответами являются:

Справился? Молодец! Теперь посмотрим уравнения чууууть-чуть посложнее, а именно, решение смешанных уравнений, то есть уравнений, содержащих функции разного вида.

Графическое решение смешанных уравнений

Теперь попробуем решить следующее:

Конечно, можно привести все к общему знаменателю, найти корни получившегося уравнения, не забыв при этом учесть ОДЗ, но мы опять же, попробуем решить графически, как делали во всех предыдущих случаях.

В этот раз давай построим 2 следующих графика:

- графиком является гипербола
- графиком является прямая, которую ты легко построишь, прикинув значения и в голове даже не прибегая к калькулятору.

Осознал? Теперь займись построением.

Вот что вышло у меня:

Глядя на этот рисунок, скажи, что является корнями нашего уравнения?

Правильно, и. Вот и подтверждение:

Попробуй подставить наши корни в уравнение. Получилось?

Все верно! Согласись, графически решать подобные уравнения одно удовольствие!

Попробуй самостоятельно графическим способом решить уравнение:

Даю подсказку: перенеси часть уравнения в правую сторону, чтобы с обоих сторон оказались простейшие для построения функции. Намек понял? Действуй!

Теперь посмотрим, что у тебя вышло:

Соответственно:

- кубическая парабола.
- обыкновенная прямая.

Ну и строим:

Как ты уже давно у себя записал, корнем данного уравнения является - .

Прорешав такое большое количество примеров, уверена, ты осознал как можно легко и быстро решать уравнения графическим путем. Настало время разобраться, как решать подобным способом системы.

Графическое решение систем

Графическое решение систем по сути ничем не отличается от графического решения уравнений. Мы так же будем строить два графика,и их точки пересечения и будут являться корнями данной системы. Один график - одно уравнение, второй график - другое уравнение. Все предельно просто!

Начнем с самого простого - решение систем линейных уравнений.

Решение систем линейных уравнений

Допустим, у нас есть следующая система:

Для начала преобразуем ее таким образом, чтобы слева было все, что связано с, а справа - что связано с. Иными словами, запишем данные уравнения как функцию в привычном для нас виде:

А теперь просто строим две прямые. Что в нашем случае является решением? Правильно! Точка их пересечения! И здесь необходимо быть очень-очень внимательным! Подумай, почему? Намекну: мы имеем дело с системой: в системе есть и, и … Намек понял?

Все верно! Решая систему, мы должны смотреть обе координаты, а не только, как при решении уравнений! Еще один важный момент - правильно их записать и не перепутать, где у нас значение, а где значение! Записал? Теперь давай все сравним по порядку:

И ответы: и. Сделай проверку - подставь найденные корни в систему и убедись, правильно ли мы ее решили графическим способом?

Решение систем нелинейных уравнений

А что если вместо одной прямой, у нас будет квадратное уравнение? Да ничего страшного! Просто ты вместо прямой построишь параболу! Не веришь? Попробуй решить следующую систему:

Какой наш следующий шаг? Правильно, записать так, чтобы нам было удобно строить графики:

А теперь так вообще дело за малым - построил быстренько и вот тебе решение! Строим:

Графики получились такими же? Теперь отметь на рисунке решения системы и грамотно запиши выявленные ответы!

Все сделал? Сравни с моими записями:

Все верно? Молодец! Ты уже щелкаешь подобные задачи как орешки! А раз так, дадим тебе систему посложнее:

Что мы делаем? Правильно! Записываем систему так, чтобы было удобно строить:

Немного тебе подскажу, так как система выглядит ну очень не простой! Строя графики, строй их «побольше», а главное, не удивляйся количеству точек пересечения.

Итак, поехали! Выдохнул? Теперь начинай строить!

Ну как? Красиво? Сколько точек пересечения у тебя получилось? У меня три! Давай сравнивать наши графики:

Так же? Теперь аккуратно запиши все решения нашей системы:

А теперь еще раз посмотри на систему:

Представляешь, что ты решил это за каких-то 15 минут? Согласись, математика - это все-таки просто, особенно, когда глядя на выражение, не боишься ошибиться, а берешь и решаешь! Ты большой молодец!

Графическое решение неравенств

Графическое решение линейных неравенств

После последнего примера тебе все по плечу! Сейчас выдохни - по сравнению с предыдущими разделами этот будет очень-очень легким!

Начнем мы, как обычно с графического решения линейного неравенства. Например, вот этого:

Для начала проведем простейшие преобразования - раскроем скобки полных квадратов и приведем подобные слагаемые:

Неравенство нестрогое, поэтому - не включается в промежуток, и решением будут являться все точки, которые находятся правее, так как больше, больше и так далее:

Ответ:

Вот и все! Легко? Давай решим простое неравенство с двумя переменными:

Нарисуем в системе координат функцию.

Такой график у тебя получился? А теперь внимательно смотрим, что там у нас в неравенстве? Меньше? Значит, закрашиваем все, что находится левее нашей прямой. А если было бы больше? Правильно, тогда закрашивали бы все, что находится правее нашей прямой. Все просто.

Все решения данного неравенства «затушеваны» оранжевым цветом. Вот и все, неравенство с двумя переменными решено. Это значит, что координаты и любой точки из закрашенной области - и есть решения.

Графическое решение квадратных неравенств

Теперь будем разбираться с тем, как графически решать квадратные неравенства.

Но прежде, чем перейти непосредственно к делу, давай повторим некоторый материал, касающийся квадратной функции.

А за что у нас отвечает дискриминант? Правильно, за положение графика относительно оси (если не помнишь этого, то тогда точно прочти теорию о квадратичных функциях).

В любом случае, вот тебе небольшая табличка-напоминалка:

Теперь, когда мы освежили в памяти весь материал, перейдем к делу - решим графически неравенство.

Сразу тебе скажу, что есть два варианта его решения.

Вариант 1

Записываем нашу параболу как функцию:

По формулам определяем координаты вершины параболы (точно так же, как и при решении квадратных уравнений):

Посчитал? Что у тебя получилось?

Теперь возьмем еще две различных точки и посчитаем для них:

Начинаем строить одну ветвь параболы:

Симметрично отражаем наши точки на другую ветвь параболы:

А теперь возвращаемся к нашему неравенству.

Нам необходимо, чтобы было меньше нуля, соответственно:

Так как в нашем неравенстве стоит знак строго меньше, то конечные точки мы исключаем - «выкалываем».

Ответ:

Долгий способ, правда? Сейчас я покажу тебе более простой вариант графического решения на примере того же неравенства:

Вариант 2

Возвращаемся к нашему неравенству и отмечаем нужные нам промежутки:

Согласись, это намного быстрее.

Запишем теперь ответ:

Рассмотрим еще один способ решения, который упрощает и алгебраическую часть, но главное не запутаться.

Умножим левую и правую части на:

Попробуй самостоятельно решить следующее квадратное неравенство любым понравившимся тебе способом: .

Справился?

Смотри, как график получился у меня:

Ответ: .

Графическое решение смешанных неравенств

Теперь перейдем к более сложным неравенствам!

Как тебе такое:

Жуть, правда? Честно говоря, я понятия не имею, как решить такое алгебраически… Но, оно и не надо. Графически ничего сложного в этом нет! Глаза боятся, а руки делают!

Первое, с чего мы начнем, это с построения двух графиков:

Я не буду расписывать для каждого таблицу - уверена, ты отлично справишься с этим самостоятельно (еще бы, столько прорешать примеров!).

Расписал? Теперь строй два графика.

Сравним наши рисунки?

У тебя так же? Отлично! Теперь расставим точки пересечения и цветом определим, какой график у нас по идее должен быть больше, то есть. Смотри, что получилось в итоге:

А теперь просто смотрим, в каком месте у нас выделенный график находится выше, чем график? Смело бери карандаш и закрашивай данную область! Она и будет решением нашего сложного неравенства!

На каких промежутках по оси у нас находится выше, чем? Верно, . Это и есть ответ!

Ну вот, теперь тебе по плечу и любое уравнение, и любая система, и уж тем более любое неравенство!

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Алгоритм решения уравнений с использованием графиков функций:

Выразим через
Определим тип функции
Построим графики получившихся функций
Найдем точки пересечения графиков
Корректно запишем ответ (с учетом ОДЗ и знаков неравенств)
Проверим ответ (подставим корни в уравнение или систему)

Более подробно о построении графиков функций, смотри в теме « ».

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб.
Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - 999 руб.

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Во втором случае мы подарим тебе тренажер “6000 задач с решениями и ответами, по каждой теме, по всем уровням сложности”. Его точно хватит, чтобы набить руку на решении задач по любой теме.

На самом деле это намного больше, чем просто тренажер - целая программа подготовки. Если понадобится, ты сможешь ею так же воспользоваться БЕСПЛАТНО.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Министерство образования и молодежной политики Ставропольского края

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Георгиевский региональный колледж «Интеграл»

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

По дисциплине « Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия»

На тему: “Графическое решение уравнений и неравенств”

Выполнил студент группы ПК-61, обучающийся по специальности

«Программирование в компьютерных системах»

Целлер Тимур Витальевич

Руководитель: преподаватель Серкова Н.А.

Дата сдачи: « » 2017г.

Дата защиты: « » 2017г.

Георгиевск 2017г.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ЦЕЛЬ ПРОЕКТА:

Цель: Выяснить преимущества графического способа решения уравнений и неравенств.

Задачи:

Сравнить аналитический и графический способ решения уравнений и неравенств.

Ознакомиться в каких случаях графический способ имеет преимущества.

Рассмотреть решение уравнений с модулем и параметром.

Актуальность исследования: Анализ материала, посвящённого графическому решению уравнений и неравенств в учебных пособиях «Алгебра и начала математического анализа» разных авторов, учёт целей изучения данной темы. Атак же обязательных результатов обучения, связанных с рассматриваемой темой.

Содержание

Введение

1. Уравнения с параметрами

1.1. Определения

1.2. Алгоритм решения

1.3. Примеры

2. Неравенства с параметрами

2.1. Определения

2.2. Алгоритм решения

2.3. Примеры

3. Применение графиков в решении уравнений

3.1. Графическое решение квадратного уравнения

3.2. Системы уравнений

3.3. Тригонометрические уравнения

4. Применение графиков в решении неравенств

5.Заключение

6. Список литературы

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

В моём проекте рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем.

1. Уравнения с параметрами

Рассмотрим уравнение

(a, b, c, …, k, x)=(a, b, c, …, k, x), (1)

где a, b, c, …, k, x -переменные величины.

Любая система значений переменных

а = а 0 , b = b 0 , c = c 0 , …, k = k 0 , x = x 0 ,

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аА, bB, …, xX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

Находим область определения уравнения.

Выражаем a как функцию от х.

В системе координат хОа строим график функции а=(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой а=с, где с(-;+) с графиком функции а=(х).Если прямая а=с пересекает график а=(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=(х) относительно х.

Записываем ответ.

I. Решить уравнение

(1)

Решение.

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а:

или

График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

Если а  (-;-1](1;+) , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение.

Если а  , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и, получаем

и.

Если а  , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.

Ответ:

Если а  (-;-1](1;+), то;

Если а  , то, ;

Если а  , то решений нет.

II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет три различных корня.

Решение.

Переписав уравнение в виде и рассмотрев пару функций, можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции, при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции.

В системе координат хОу построим график функции). Для этого можно представить её в виде и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде

Поскольку график функции – это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный, и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции. Поэтому находим производную

Ответ: .

III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

имеет решения.

Решение.

Из первого уравнения системы получим при Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы “скользят” вершинами по оси абсцисс.

Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители

Множеством точек плоскости, удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые

Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.

Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается

прямой), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то.

Случай касания “полупараболы” с прямой определим из условия существования единственного решения системы

В этом случае уравнение

имеет один корень, откуда находим:

Следовательно, исходная система не имеет решений при, а при или имеет хотя бы одно решение.

Ответ: а  (-;-3] (;+).

IV. Решить уравнение

Решение.

Использовав равенство, заданное уравнение перепишем в виде

Это уравнение равносильно системе

Уравнение перепишем в виде

. (*)

Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций и Из графика следует, что при графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.

Если, то при графики функций совпадают и, следовательно, все значения являются решениями уравнения (*).

При графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой. Таким образом, при уравнение (*) имеет единственное решение - .

Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям

Пусть, тогда. Система примет вид

Её решением будет промежуток х (1;5). Учитывая, что, можно заключить, что при исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.

На интеграле (1;+∞) опять получаем линейное неравенство 2х<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

Однако тот же самый результат можно получить из наглядных и в то же время строгих геометрических соображений. На рисунке 7 построены графики функций: y = f ( x )=| x -1|+| x +1| и y =4.

Рисунок 7.

На интеграле (-2;2) график функции y = f (x ) расположен под графиком функции у=4, а это означает, что неравенство f (x )<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II )Неравенства с параметрами.

Решение неравенств с одним или несколькими параметрами представляет собой, как правило, задачу более сложную по сравнению с задачей, в которой параметры отсутствуют.

Например, неравенство √а+х+√а-х>4, содержащее параметр а, естественно, требует, для своего решения гораздо больше усилий, чем неравенство √1+х + √1-х>1.

Что значит решить первое из этих неравенств? Это, по существу, означает решить не одно неравенство, а целый класс, целое множество неравенств, которые получаются, если придавать параметру а конкретные числовые значения. Второе же из выписанных неравенств является частным случаем первого, так как получается из него при значении а=1.

Таким образом, решить неравенство, содержащее параметры, это значит определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения и для всех таких значений параметров найти все решения.

Пример1:

Решить неравенство |х-а|+|х+а|< b , a <>0.

Для решения данного неравенства с двумя параметрами a u b воспользуемся геометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики функций.

Y = f (x )=| x - a |+| x + a | u y = b .

Очевидно, что при b <=2| a | прямая y = b проходит не выше горизонтального отрезка кривой y =| x - a |+| x + a | и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет решений (рисунок 8). Если же b >2| a |, то прямая y = b пересекает график функции y = f (x ) в двух точках (- b /2; b ) u (b /2; b )(рисунок 6) и неравенство в этом случае справедливо при – b /2< x < b /2,так как при этих значениях переменной кривая y =| x + a |+| x - a | расположена под прямой y = b .

Ответ: Если b <=2| a | , то решений нет,

Если b >2| a |, то x €(- b /2; b /2).

III ) Тригонометрические неравенства:

При решении неравенств с тригонометрическими функциями существенно используется периодичность этих функций и их монотонность на соответствующих промежутках. Простейшие тригонометрические неравенства. Функция sin x имеет положительный период 2π. Поэтому неравенства вида: sin x>a, sin x>=a,

sin x

Достаточно решить сначала на каком-либо отрезке длины 2 π . Множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида 2 π п, пЄ Z .

Пример 1: Решить неравенство sin x >-1/2.(рисунок 10)

Сначала решим это неравенство на отрезке[-π/2;3π/2]. Рассмотрим его левую часть – отрезок [-π/2;3π/2].Здесь уравнение sin x =-1/2 имеет одно решение х=-π/6; а функция sin x монотонно возрастает. Значит, если –π/2<= x <= -π/6, то sin x <= sin (- π /6)=-1/2, т.е. эти значения х решениями неравенства не являются. Если же –π/6<х<=π/2 то sin x > sin (-π/6) = –1/2. Все эти значения х не являются решениями неравенства.

На оставшемся отрезке [π/2;3π/2] функция sin x монотонно убывает и уравнение sin x = -1/2 имеет одно решение х=7π/6. Следовательно, если π/2<= x <7π/, то sin x > sin (7π/6)=-1/2, т.е. все эти значения х являются решениями неравенства. Для x Є имеем sin x <= sin (7π/6)=-1/2, эти значения х решениями не являются. Таким образом, множество всех решений данного неравенства на отрезке [-π/2;3π/2] есть интеграл (-π/6;7π/6).

В силу периодичности функции sin x с периодом 2π значения х из любого интеграла вида: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄ Z , также являются решениями неравенства. Никакие другие значения х решениями этого неравенства не являются.

Ответ: -π/6+2π n < x <7π/6+2π n , где n Є Z .

Заключение

Мы рассмотрели графический метод решения уравнений и неравенств; рассмотрели конкретные примеры, при решении которых использовали такие свойства функций, как монотонность и четность. Анализ научной литературы, учебников математики позволил структурировать отобранный материал в соответствии с целями исследования, подобрать и разработать эффективные методы решения уравнений и неравенств. В работе представлен графический метод решения уравнений и неравенств и примеры, в которых используются данные методы. Результатом проекта можно считать творческие задания, как вспомогательный материал для развития навыка решения уравнений и неравенств графическим методом.

Список использованной литературы

Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.

Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.

Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.

Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.

Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.

Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико–математическая литература. Москва 1977 г.

Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Минск 1996 г.

Интернет ресурсы

Графическое представление функций позволяет приближённо решать неравенства с одним неизвестным и системы неравенств с одним и двумя неизвестными. Чтобы решить графически неравенство с одним неизвестным , необходимо перенести все его члены в одну часть, т.e. привести к виду:

f (x ) > 0 ,

и построить график функции y = f ( x ). После этого, используя построенный график, можно найти нули функции , которые разделят ось Х на несколько интервалов. Теперь на основе этого определим интервалы x , внутри которых знак функции соответствует знаку неравенства. Например, нули нашей функции: a и b (рис.30). Тогда из графика очевидно, что интервалы, внутри которых f ( x ) > 0: x < a и x > b (они выделеныжирными стрелками). Ясно, что знак > здесь условный; вместо него может быть любой другой: < , .

Чтобы решить графически систему неравенств с одним неизвестным, нужно перенести в каждом из них все члены в одну часть, т.e. привести неравенства к виду:

и построить графики функций y = f (x ), y = g (x ) , ... , y = h (x ). Каждое из этих неравенств решается графическим методом, описанным выше. После этого нужно найти пересечение решений всех неравенств, т.e. их общую часть.

П р и м е р. Решить графически систему неравенств:

Р е ш е н и е. Сначала построим графики функций y = - 2 / 3 x + 2 и

y = x 2 -1 (рис.31):

Решением первого неравенства является интервал x > 3, обозначенный на рис.31 чёрной стрелкой; решение второго неравенства состоит из двух интервалов: x < -1 и x > 1, обозначенных на рис.31 серыми стрелками.

Из графика видно, что пересечением этих двух решений является интервал x > 3. Это и есть решение заданной системы неравенств.

Чтобы решить графически систему двух неравенств сдвумя неизвестными, надо:

1) в каждом из них перенести все члены в одну часть, т.e. привести

неравенства к виду: