Напряженность электростатического поля. Движение заряженных частиц в однородном электрическом поле

8. Электростатическое поле создается равномерно заряженной бесконечной плоскостью. Покажите, что это поле является однородным.

Пусть поверхностная плотность заряда равна s. Очевидно что вектор Е может быть только перпендикулярным заряженной плоскости. Кроме того очевидно, что в симметричных относительно этой плоскости точках вектор Е одинаков по модулю и противоположен по направлению. Такая конфигурация поля подсказывает, что в качестве замкнутой поверхности следует выбрать прямой цилиндр, где предполагается что s больше нуля. Поток сквозь боковую поверхность этого цилиндра равен нулю, и поэтому полный поток через всю поверхность цилиндра будет равным 2*Е*DS, где DS – площадь каждого торца. Согласно теореме Гаусса

где s*DS – заряд заключенный внутри цилиндра.

Точнее это выражение следует записать так:

где Еn – проекция вектора Е на нормаль n к заряженной плоскости, причем вектор n направлен от этой плоскости.

Тот факт, что Е не зависит от расстояния до плоскости, означает, что соответствующее электрическое поле является однородным.

9. Из медной проволоки изготовлена четверть окружности радиусом 56 см. По проволоке равномерно распределен заряд с линейной плотностью 0,36 нКл/м. Найдите потенциал в центре окружности.

Так как заряд линейно распределен по проволоке для нахождения потенциала в центре воспользуемся формулой:

Где s - линейная плотность заряда, dL – элемент проволоки.

10. В электрическом поле, созданном точечным зарядом Q, по силовой линии из точки расположенной на расстоянии r 1 от заряда Q в точку, расположенную на расстоянии r 2 , перемещается отрицательный заряд -q. Найдите приращение потенциальной энергии заряда -q на этом перемещении.

По определению потенциал – это величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля. Следовательно потенциальная энергия заряда q 2:

11. Два одинаковых элемента с э.д.с. 1,2 В и внутренним сопротивлением 0,5 Ом соединены параллельно. Полученная батарея замкнута на внешнее сопротивление 3,5 Ом. Найдите силу тока во внешней цепи.

Согласно закону Ома для всей цепи сила тока во внешней цепи:

Где E` - ЭДС батареи элементов,

r` - внутреннее сопротивление батареи, которое равно:

ЭДС батареи равна сумме ЭДС трех последовательно соединенных элементов:

Следовательно:

12 В электрическую цепь включены последовательно медная и стальная проволоки равной длины и диаметра. Найдите отношение количеств тепла выделяющегося в этих проволоках.

Рассмотрим проволоку длиной L и диаметром d, изготовленную из материала с удельным сопротивление p. Сопротивление проволоки R можно найти по формуле

Где s= – площадь поперечного сечения проволоки. При силе тока I за время t в проводнике выделяется количество теплоты Q:

При этом, падение напряжения на проволоке равно:

Удельное сопротивление меди:

p1=0.017 мкОм*м=1.7*10 -8 Ом*м

удельное сопротивление стали:

p2=10 -7 Ом*м

так как проволоки включены последовательно, то силы тока в них одинаковы и за время t в них выделяются количества теплоты Q1 и Q2:

12. В однородном магнитном поле находится круговой виток с током. Плоскость витка перпендикулярна силовым линиям поля. Докажите, что результирующая сил, действующих со стороны магнитного поля на контур, равна нулю.

Так как круговой виток с током находится в однородном магнитном поле, на него действует сила Ампера. В соответствии с формулой dF=I результирующая амперова сила, действующая на виток с током определяется:

Где интегрирование проводится по данному контуру с током I. Так как магнитное поле однородно, то вектор В можно вынести из-под интеграла и задача сволится к вычислению векторного интеграла . Этот интеграл представляет замкнутую цепочку элементарных векторов dL, поэтому он равен нулю. Значит и F=0, то есть результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле.

13. По короткой катушке, содержащей 90 витков диаметром 3 см, идет ток. Напряженность магнитного поля, созданного током на оси катушки на расстоянии 3 см от нее равна 40 А/м. Определите силу тока в катушке.

Считая, что магнитная индукция в точке А есть суперпозиция магнитных индукций, создаваемых каждым витком катушки в отдельности:

Для нахождения В витка воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа.

Где, dBвитка – магнитная индукция поля, создаваемая элементом тока IDL в точке, определяемой радиус-вектором r Выделим на конце элемент dL и от него в точку А проведем радиус-вектор r. Вектор dBвитка направим в соответствие с правилом буравчика.

Согласно принципу суперпозиции:

Где интегрирование ведется по всем элементам dLвитка. Разложим dBвитка на две составляющие dBвитка(II) – параллельную плоскости кольца и dBвитка(I) – перпендикулярную плоскости кольца. Тогда

Заметив, что из соображений симметрии и что векторы dBвитка(I) сонаправленные, заменим векторное интегрирование скалярным:

Где dBвитка(I) =dBвитка*cosb и

Поскольку dl перпендикулярен r

Сократим на 2p и заменим cosb на R/r1

Выразим отсюда I зная что R=D/2

согласно формуле связывающей магнитную индукцию и напряженность магнитного поля:

тогда по теореме Пифагора из чертежа:

14. В однородное магнитное поле в направлении перпендикулярном силовым линиям влетает электрон со скоростью 10۰10 6 м/с и движется по дуге окружности радиусом 2,1 см. Найдите индукцию магнитного поля.

На электрон, движущийся в однородном магнитном поле будет действовать сила Лоренца, перпендикулярная скорости электрона и следовательно направленная к центру окружности:

Так как угол между v и И равен 90 0:

Так как сила Fл направлена к центру окружности, и электрон двигается по окружности под действием этой силы, то

Выразим магнитную индукцию:

15. Квадратная рамка со стороной 12 см, изготовленная из медной проволоки, помещена в магнитное поле, магнитная индукция которого меняется по закону В=В 0 ·Sin(ωt), где В 0 =0,01 Тл, ω=2·π/Т и Т=0,02 с. Плоскость рамки перпендикулярна к направлению магнитного поля. Найдите наибольшее значение э.д.с. индукции, возникающей в рамке.

Площадь квадратной рамки S=a 2 . Изменение магнитного потока dj, при перпендикулярности плоскости рамки dj=SdB

ЭДС индукции определяется

Е будет максимальна при cos(wt)=1

Тема 7.3 Работа, совершаемая силами электрического поля при перемещение заряда. Потенциал. Разность потенциала, напряжение. Связь между напряженностью и разностью потенциалов.

Работа электрических сил при перемещении заряда q в однородном электрическом поле. Вычислим работу при перемещении электрического заряда в однородном электрическом поле с напряженностью Е. Если перемещение заряда происходило по линии напряженности поля на расстояние ∆d = d 1 - d 2 (рис. 134), то работа равна

А = Fэ(d 1 - d 2) = qE(d 1 - d 2), где d 1 и d 2 - расстояния от начальной и конечной точек до пластины В.

Пусть заряд q находится в точке В однородного электрического поля.

Из курса механики известно, что работа равна произведению силы на перемещение и на косинус угла между ними. Поэтому работа электрических сил при перемещении заряда q в точку С по прямой ВС выразится следующим образом:

Так как ВС cos α = BD, то получим, что А BC = qE·BD.

Pабота сил поля при перемещении заряда q в точку С по пути BDС равна сумме работ на отрезках BD и DC, т.е.

Поскольку cos 90° = 0, работа сил поля на участке DC равна нулю. Поэтому

Следовательно:

а) когда заряд перемещается по линии напряженности, а затем перпендикулярно к ней, то силы поля совершают работу только при перемещении заряда вдоль линии напряженности поля.

б) В однородном электрическом поле работа электрических сил не зависит от формы траектории.

в) Работа сил электрического поля по замкнутой траектории всегда равна нулю.

Потенциальное поле. Поле, в котором работа не зависит от формы траектории, называется потенциальным. Примерами потенциальных полей являются поле тяготения и электрическое поле.

Потенциальная энергия заряда.

Когда заряд перемещается в электрическое поле из точки 1, где его потенциальная энергия была W 1 , в точку 2, где его энергия оказывается равной W 2 , то работа сил поля:

А 12 = W 1 - W 2 = - (W 1 - W t) = -ΔW 21 (8.19)

где ΔW 21 = W 2 - W t представляет собой приращение потенциальной энергии заряда при его перемещении из точки 1 в точку 2.

Потенциальная энергия заряда, находящегося в какой-либо точке поля, будет численно равна работе, совершаемой силами при перемещении данного заряда из этой почки в бесконечность.

Потенциал электростатического поля - физическая величина, равная отношению потенциальной энергии электрического заряда в электрическом поле к заряду. Он является энергетической характеристикой электрического поля в данной точке. Потенциал измеряется потенциальной энергией одиночного, положительного заряда, находящегося в заданной точке поля к величине этого заряда

а) Знак потенциала определяется знаком заряда, создающего поле, поэтому потенциал поля положительного заряда уменьшается при удалении от него, а потенциал поля отрицательного заряда - увеличивается.

б) Поскольку потенциал является величиной скалярной, то, когда поле создано многими зарядами, потенциал в любой точке поля равен алгебраической сумме потенциалов, созданных в этой точке каждым зарядом в отдельности.

Разность потенциалов. Работу сил поля можно выразить с помощью разности потенциалов. Разность потенциалов Δφ =(φ 1 - φ 2) есть не что иное, как напряжение между точками 1 и 2, поэтому обозначается U 12 .

1 вольт – это такое напряжение (разность потенциалов) между двумя точками поля, при котором, перемещая заряд в 1 Кл из одной точки в другую, поле совершает работу в 1 Дж.

Эквипотенциальные поверхности. Во всех точках поля, находящихся на расстоянии r 1 от точечного заряда q, потенциал φ 1 будет одинаковый. Все эти точки находятся на поверхности сферы, описанной радиусом r 1 из точки, в которой находится точечный заряд q.

Поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной .

Эквипотенциальными поверхностями поля точечного электрического заряда являются сферы, в центре которых расположен заряд (рис. 136).

Эквипотенциальные поверхности однородного электрического поля представляют собой плоскости, перпендикулярные линиям напряженности (рис. 137).

При перемещении заряда вдоль этой поверхности работа не совершается.

Линии напряженности электрического поля всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям. Это означает, что работа сил поля при перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю.

Связь между напряженностью поля и напряжением. Напряженность однородного поля численно равна разности потенциалов на единице длины линии напряженности:

Тема 7.4 Проводники в электрическом поле. Диэлектрики в электрическом поле. Поляризация диэлектриков. Распределение зарядов в проводнике, внесенном в электрическое поле. Электростатическая защита. Пьезоэлектрический эффект.

Проводники - вещества, хорошо проводящие электрический ток. В них всегда имеется большое количество носителей зарядов, т.е. свободных электронов или ионов. Внутри проводника эти носители зарядов движутся хаотически.

Если проводник (металлическую пластинку) поместить в электрическое поле, то под действием электрического поля свободные электроны перемещаются в сторону действия электрических сил. В результате смещения электронов под действием этих сил на правом конце проводника возникает избыток положительных зарядов, а на левом - избыток электронов, поэтому между концами проводника возникает внутреннее поле (поле смещенных зарядов), которое направлено против внешнего поля. Перемещение электронов под действием поля происходит до тех пор, пока поле внутри проводника не исчезнет совсем.

Наличие свободных электрических зарядов в проводниках можно обнаружить в следующих опытах. Установим на острие металлическую трубу. Соединив проводником трубу со стержнем электрометра, убедимся в том, что труба не имеет электрического заряда.

Теперь наэлектризуем эбонитовую палочку и поднесем к одному концу трубы (рис. 138). Труба поворачивается на острие, притягиваясь к заряженной палочке. Следовательно, на том конце трубы, который расположен ближе к эбонитовой палочке, появился электрический заряд, противоположный по знаку заряду палочки.

Электростатическая индукция. Когда проводник попадает в электрическое поле, то он электризуется так, что на одном его конце возникает положительный заряд, а на другом конце такой же по величине отрицательный заряд. Такая электризация называется электростатической индукцией.

а) Если такой проводник удалить из поля, его положительные и отрицательные заряды вновь равномерно распределятся по всему объему проводника и все его части станут электрически нейтральными.

б) Если же такой проводник разрезать на две части, то одна часть будет иметь положительный заряд, а другая отрицательный

При равновесии зарядов на проводнике (при электризации проводника) потенциал всех его точек одинаков и поля внутри проводника нет, а потенциал всех точек проводника одинаков (как внутри него, так ина поверхности). В то же время поле вне наэлектризованного проводника существует, а его линии напряженности нормальны (перпендикулярны) к поверхности проводника. Следовательно, при равновесии зарядов на проводнике его поверхность является эквипотенциальной поверхностью.

Потенциал поля

потенциалов поля

Потенциал электрического поля точечного заряда Q в точке:

Поле заряженного бесконечно длинного цилиндра (нити)

Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R , заряженной с постоянной линейной плотностью , где dq – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра (рис. 2.14).

Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдоль радиуса, перпендикулярно оси цилиндра.

Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре ) радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси). Для оснований цилиндров для боковой поверхности т.е. зависит от расстояния r.

Следовательно, поток вектора через рассматриваемую поверхность, равен

При на поверхности будет заряд По теореме Остроградского-Гаусса , отсюда

(2.5.6)

Если , т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет (рис.2.15).

Если уменьшать радиус цилиндра R (при ), то можно вблизи поверхности получить поле с очень большой напряженностью и, при , получить нить.

27. Потенциал поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью.

Потенциал поля - это энергетическая характеристика поля, характеризует потенциальнную энергию, которой обладал бы положительный единичный заряд, помещенный в данную точку поля.

Единица электрического потенциала - вольт (В).

Потенциал поля равнен отношению потенциальной энергии заряда к этому заряду:

Потенциал поля является энергетической характеристикой электрического поля и как скалярная величина может принимать положительные или отрицательные значения.

Физический смысл имеет разность потенциалов поля , так как через нее выражается работа сил поля по перемещению заряда.

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.

Введем понятие поверхностной плотности заряда >0, численно равной заряду единицы площади:

В силу однородности и изотропности пространства силовые линии поля равномерно заряженной бесконечной плоскости должны быть перпендикулярными к ней и иметь равномерную густоту, что соответствует определению однородности поляЕ =const. В качестве "удобной" замкнутой поверхности выберем прямой цилиндр, боковая поверхность которого параллельна силовым линиям (везде на ней 0 и, следовательно, поток сквозь нее равен 0), а торцевые поверхности площадью S - параллельны заряженной плоскости (так что везде на них 1):

Поток однородного поля Е сквозь обе перпендикулярные ему торцевые поверхности S равен просто Е 2S, а заряд, сосредоточенный на участке площадью S заряженной поверхности, равен S:

Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле:

где dq – заряд, сосредоточенный на площади dS ; dS – физически бесконечно малый участок поверхности.

Пусть σ во всех точках плоскости S одинакова. Заряд q – положительный. Напряженность во всех точках будет иметь направление, перпендикулярное плоскости S (рис. 2.11).

Очевидно, что в симметричных, относительно плоскости точках, напряженность будетодинакова по величине и противоположна по направлению.

Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS , расположенными симметрично относительно плоскости (рис. 2.12).


	Рис. 2.11	Рис. 2.12

Применим теорему Остроградского-Гаусса. Поток Ф Е через боковую часть поверхности цилиндра равен нулю, т.к. Дляоснования цилиндра

Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен:

Внутри поверхности заключен заряд . Следовательно, из теоремы Остроградского–Гаусса получим:

;

откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна:

Электростатическое поле обладает важным свойством: Работа сил электростатического поля при перемещении заряда из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек и величиной заряда. Аналогичным свойством обладает и гравитационное поле, и в этом нет ничего удивительного, так как гравитационные и кулоновские силы описываются одинаковыми соотношениями. Следствием независимости работы от формы траектории является следующее утверждение: Работа сил электростатического поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории равна нулю. Силовые поля, обладающие этим свойством, называют потенциальными или консервативными . На рис. 1.4.2 изображены силовые линии кулоновского поля точечного заряда Q и две различные траектории перемещения пробного заряда q из начальной точки (1) в конечную точку (2). На одной из траекторий выделено малое перемещение Работа ΔA кулоновских сил на этом перемещении равна

Полученный результат не зависит от формы траектории. На траекториях I и II, изображенных на рис. 1.4.2, работы кулоновских сил одинаковы. Если на одной из траекторий изменить направление перемещения заряда q на противоположное, то работа изменит знак. Отсюда следует, что на замкнутой траектории работа кулоновских сил равна нулю.

Если электростатическое поле создается совокупностью точечных зарядов то при перемещении пробного заряда q работа A результирующего поля в соответствии спринципом суперпозиции будет складываться из работ кулоновских полей точечных зарядов: Так как каждый член суммы не зависит от формы траектории, то и полная работа A результирующего поля не зависит от пути и определяется только положением начальной и конечной точек.

Свойство потенциальности электростатического поля позволяет ввести понятие потенциальной энергии заряда в электрическом поле. Для этого в пространстве выбирается некоторая точка (0), и потенциальная энергия заряда q , помещенного в эту точку, принимается равной нулю.

Потенциальная энергия заряда q , помещенного в любую точку (1) пространства, относительно фиксированной точки (0) равна работе A 10 , которую совершит электростатическое поле при перемещении заряда q из точки (1) в точку (0):

W p1 = A 10 .

(В электростатике энергию принято обозначать буквой W , так как буквой E обозначают напряженность поля.)

Так же, как и в механике, потенциальная энергия определена с точностью до постоянной величины, зависящей от выбора опорной точки (0). Такая неоднозначность в определении потенциальной энергии не приводит к каким-либо недоразумениям, так как физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а разность ее значений в двух точках пространства.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

ПОИСК ПО САЙТУ:

Пример 1 . Тонкая, бесконечно длинная нить заряжена однородно с линейной плотностью заряда λ . Найти напряженность электростатического поля Е (r ) на произвольном расстоянии r от нити.

Сделаем рисунок:

Анализ:

Т.к. нить несет не точечный заряд, применим метод ДИ. Выделим бесконечно малый элемент длины проводника dl , который будет содержать заряд dq =dlλ . Рассчитаем напряженность поля, созданного каждым элементом проводника в произвольной точке А, находящейся от нити на расстоянии а . Вектор будет направлен вдоль прямой, соединяющей точечный заряд с точкой наблюдения. Результирующее поле получим по нормали к нити вдоль оси х. Необходимо найти величину dE x : dE x = dE cosα ..

По определению:

Величина dl , r , меняются согласованно при изменении положения элемента dl . Выразим их через величину α:

где dα – бесконечно малое приращение угла α в результате поворота радиуса-вектора относительно точки А при перемещении по нити на dl . Тогда dl= r 2 dα/ а . При перемещении dl от до точки О угол меняется от 0 0 до π/2.

Следовательно .

Проверка размерности:[Е]=В/м=кгм/мфм=КлВ/Клм=В/м;

Ответ: .

Способ 2.

В силу аксиальной симметрии распределения заряда, все точки, расположены на равном расстоянии от нити, эквивалентны и напряженность поля в них одинакова, т. е. Е (r )=const, где r - расстояние от точки наблюдения до нити. Направление Е в этих точках всегда совпадает с направлением нормали к нити. По теореме Гаусса ; где Q -заряд, охваченный поверхностью – S’ через которую вычисляется поток, выберем в виде цилиндра радиусом а и образующей с нитью. Учитывая, что нормален боковой поверхности цилиндра, получим для потока:

Т. к. Е =const.

S бок.пов. =На 2π .

С другой стороны Е 2πаН=Q/ε 0 ,

где λН=q .

Ответ: Е =λ /4πε 0 а .

Пример 2 . Рассчитать напряженность равномерно заряженной бесконечной плоскости с поверхностной плотностью зарядов σ .

Линии напряженности перпендикулярны и направлены в обе стороны от плоскости. В качестве замкнутой поверхности выберем поверхность цилиндра, основания которого параллельны плоскости, а ось цилиндра перпендикулярна плоскости. Т.к. образующие цилиндра параллельны линиям напряженности (α=0, cos α=1), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность равна нулю, а полный поток сквозь замкнутую цилиндрическую поверхность равен сумме потоков сквозь его основание. Заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности равен σS осн. , тогда:

Ф Е =2Е S осн или Ф Е = = , тогда E = =

Ответ: E =, не зависит от длинны цилиндра и на любых расстояниях от плоскости одинакова по модулю. Поле равномерно заряженной плоскости однородно.

Пример 3 . Рассчитать поле двух бесконечно заряженных плоскостей, с поверхностной плотностью +σ и –σ соответственно.

E = E = 0 ; E = E + + E - = .

Ответ: Результирующая напряженность поля в области между плоскостями равна E =, а вне объема, ограниченного плоскостями равняется нулю.

Пример 4 . Рассчитать напряженность поля равномерно заряженной с поверхностной плотностью заряда +σ сферической поверхности радиуса R .

То , и ,

если r < R , то внутри замкнутой поверхности нет зарядов и электростатическое поле отсутствует (Е=0).

Ответ: .

Пример 5 . Рассчитать напряженность объемно заряженной с объемной плотностью ρ , шара радиусам R .

В виде замкнутой поверхности возьмем сферу.

Если r ≥R , то = 4πr 2 E ; E =

если r < R , то сфера радиусом r , охватывает заряд q" равный q"= (так как заряды относятся как объёмы, а объёмы, как кубы радиусов)

Тогда по т.Гаусса

Ответ: ; внутри равномерно заряженного шара напряжённость растет линейно с расстоянием r от его центра, а вне - убывает обратно пропорционально r 2 .

Пример № 6 . Рассчитать напряжённость поля бесконечного, круглого цилиндра, заряженного с линейной плотностью заряда λ , радиуса R .

Поток вектора напряженности сквозь торцы цилиндра равен 0, а сквозь боковую поверхность:

Т.к. , или ,

тогда (если r > R )

если λ > 0, Е > 0 , вектор Ē направлен от цилиндра,

если λ < 0, Е < 0 , вектор Ē направлен к цилиндру.

Если r < R, то замкнутая поверхность зарядов внутри не содержит, поэтому в этой области Е = 0

Ответ: (r > R ) ; E = 0 (R >r ). Внутри равномерно заряженного по поверхности бесконечного, круглого цилиндра, поля нет.

Пример 7 . Электрическое поле создано двумя бесконечно длинными параллельными плоскостями с поверхностными плоскостями зарядов 2 нКл/м 2 и 4нКл/м 2 . Определить напряжённость поля в областях І, ІІ, ІІІ. Построить график зависимости Ē (r ) .

Плоскости делят пространство на 3 области

Направление Ē результирующего поля в сторону большего.

В проекции на r :

; «–»;;

; «+»;.

График Ē (r )

Выбор масштаба: Е 2 =2 Е 1

Е 1 = 1; Е 2 =2

Ответ: Е І = –345 В/м; Е І I = –172 В/м; Е І II = 345 В/м.

Пример № 8 . Эбонитовый сплошной шар радиусом R = 5 см несет заряд, равномерно распределенный с объёмной плотностью ρ =10 нКл/м 3 . Определить напряженность электрического поля в точках: 1) на расстоянии r 1 = 3 см от центра сферы; 2) на поверхности сферы; 3) на расстоянии r 2 = 10 см от центра сферы.

Продемонстрируем возможности теоремы Остроградского-Гаусса на нескольких примерах.

Поле бесконечной однородно заряженной плоскости

Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле:

где dq – заряд, сосредоточенный на площади dS; dS – физически бесконечно малый участок поверхности.


	Рис. 2.11	Рис. 2.12

Применим теорему Остроградского-Гаусса. Поток Ф Е через боковую часть поверхности цилиндра равен нулю, т.к.Дляоснования цилиндра

Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен:

Внутри поверхности заключен заряд . Следовательно, из теоремы Остроградского–Гаусса получим:

;

откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна:

(2.5.1)

Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Это значит, что на любом расстоянии от плоскости

Поле двух равномерно заряженных плоскостей

Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью σ (рис. 2.13).

Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей .

Тогда внутри плоскостей

(2.5.2)

Вне плоскостей напряженность поля

Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор).

Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин):

где S – площадь обкладок конденсатора. Т.к. , то

(2.5.5)

Это формула для расчета пондермоторной силы.

Поле заряженного бесконечно длинного цилиндра (нити)

Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью , где dq – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра (рис. 2.14).

Следовательно, поток вектора через рассматриваемую поверхность, равен

При на поверхности будет заряд По теореме Остроградского-Гаусса , отсюда

(2.5.6)

Если , т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет (рис.2.15).

Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком

Внутри меньшего и вне большего цилиндров поле будет отсутствовать (рис. 2.16).

В зазоре между цилиндрами, поле определяется так же, как и в предыдущем случае:

Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины, если зазор между цилиндрами намного меньше длины цилиндров (цилиндрический конденсатор).

Поле заряженного пустотелого шара

Пустотелый шар (или сфера) радиуса R заряжен положительным зарядом с поверхностной плотностью σ. Поле в данном случае будет центрально симметричным, – в любой точке проходит через центр шара. ,и силовые линии перпендикулярны поверхности в любой точке. Вообразим вокруг шара – сферу радиуса r (рис. 2.17).

Главная » Школа » Напряженность электростатического поля. Движение заряженных частиц в однородном электрическом поле