Как определить делится ли число без остатка. Основные признаки делимости

Определение 1. Пусть число a 1) есть произведение двух чисел b и q так, что a=bq. Тогда a называется кратным b .

1) В данной статье под словом число будем понимать целое число.

Можно сказать также a делится на b, или b есть делитель a , или b делит a , или b входит множителем в a .

Из определения 1 вытекают следующие утверждения:

Утверждение 1. Если a -кратное b , b -кратное c , то a кратное c .

Действительно. Так как

где m и n какие то числа, то

Следовательно a делится на c.

Если в ряду чисел, каждое делится на следующее за ним, то каждое число есть кратное всех последующих чисел.

Утверждение 2. Если числа a и b - кратные числа c , то их сумма и разность также кратные числа c .

Действительно. Так как

a+b=mc+nc=(m+n)c,

a−b=mc−nc=(m−n)c.

Следовательно a+b делится на c и a−b делится на c .

Признаки делимости

Выведем общую формулу для определения признака делимости чисел на некоторое натуральное число m , которое называется признаком делимости Паскаля.

Найдем остатки деления на m следующей последовательностью. Пусть остаток от деления 10 на m будет r 1 , 10·r 1 на m будет r 2 , и т.д. Тогда можно записать:

Докажем, что остаток деления числа A на m равна остатку деления числа

Как известно, если два числа при делении на какое то число m дают одинаковый остаток, то из разность делится на m без остатка.

Рассмотрим разность A−A"

(6)

(7)

Каждый член правой части (5) делится на m следовательно левая часть уравнения также делится на m . Рассуждая аналогично, получим - правая часть (6) делится на m , следовательно левая часть (6) также делится на m , правая часть (7) делится на m , следовательно левая часть (7) также делится на m . Получили, что правая часть уравнения (4) делится на m . Следовательно A и A" имеют одинаковый остаток при делении на m . В этом случае говорят, что A и A" равноостаточные или сравнимыми по модулю m .

Таким образом, если A" делится на m m ) , то A также делится на m (имеет нулевой остаток от деления на m ). Мы показали что для определения делимости A можно определить делимость более простого числа A" .

Исходя из выражения (3), можно получить признаки делимости для конкретных чисел.

Признаки делимости чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Признак делимости на 2.

Следуя процедуре (1) для m=2 , получим:

Все остатки от деления на 2 равняются нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки от деления на 3 равняются 1. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки от деления на 4 кроме первого равняются 0. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки равны нулю. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки равны 4. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 6. То есть из числа отбрасываем правую цифру, далее суммируем полученное число с 4 и добавляем отброшенное число. Если данное число делится на 6, то исходное число делится на 6.

Пример. 2742 делится на 6, т.к. 274*4+2=1098, 1098=109*4+8=444, 444=44*4+4=180 делится на 6.

Более простой признак делимости. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3 (т.е. если оно четное число и если сумма цифр делится на 3). Число 2742 делится на 6, т.к. число четное и 2+7+4+2=15 делится на 3.

Признак делимости на 7.

Следуя процедуре (1) для m=7 , получим:

Все остатки разные и повторяются через 7 шагов. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки все остатки нулевые, кроме первых двух. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки от деления на 9 равняются 1. Тогда, из уравнения (3) имеем

Все остатки от деления на 10 равняются 0. Тогда, из уравнения (3) имеем

Следовательно число делится на 10 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 10 (то есть последняя цифра нулевая).

Применение навыков делимости упрощает вычисления, и соразмерно повышает скорость их исполнения. Разберем детально основные характерные особенности делимости .

Наиболее незамысловатый признак делимости для единицы : на единицу делится все числа . Так же элементарно и с признаками делимости на два , пять , десять . На два можно поделить четные число либо то у которого итоговая цифра 0, на пять - число у которого конечная цифры 5 или 0. На десять поделятся только те числа, у которых заключительная цифра 0, на 100 — только те числа, у которых две заключительных цифры нули, на 1000 — только те, у которых три заключительных нуля.

Например:

Цифру 79516 можно разделить на 2, так как она заканчивается на 6— четное число ; 9651 не поделится на 2, так как 1 - цифра нечетная; 1790 поделится на 2, так как конечная цифра нуль. 3470 поделится на 5 (заключительная цифра 0); 1054 не поделится на 5 (конечная цифра 4). 7800 поделится на 10 и на 100; 542000 поделится на 10, 100, 1000.

Менее широко известны, но весьма удобны в использовании характерные особенности делимости на 3 и 9 , 4 , 6 и 8, 25 . Имеются так же характерные особенности делимости на 7, 11, 13, 17, 19 и так далее, но ими пользуются на практике значительно реже.

Характерная особенность деления на 3 и на 9 .

На три и/или на девять без остатка разделятся те числа, у которых результат сложения цифр кратен трем и/или девяти.

Например :

Число 156321, результат сложения 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 поделится на 3 и поделится на 9, соответственно и само число можно поделить на 3 и 9. Число 79123 не поделится ни на 3, ни на 9, так как сумма его цифр (22) не поделится на эти числа.

Характерная особенность деления на 4, 8, 16 и так далее .

Цифру можно без остатка разделить на четыре , если у нее две последние цифры нули или являются числом , которое можно поделить на 4. Во всех остальных вариантах деление без остатка не возможно.

Например :

Число 75300 поделится на 4, так как последние две цифры нули; 48834 не делится на 4, так как последние две цифры дают число 34, не делящееся на 4; 35908 делится на 4, так как две последние цифры 08 дают число 8, делящееся на 4.

Схожий принцип пригоден и для признака делимости на восемь . Число делится на восемь, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8. В прочих случаях частное, полученное от деления, не будет целым числом.

Такие же свойства для деления на 16, 32, 64 и т. д., но в повседневных вычислениях они не используются.

Характерная особенность делимости на 6.

Число делится на шесть , если оно делится и на два и на три, при всех прочих вариантах, деление без остатка невозможно.

Например:

126 поделится на 6, так как оно делится и на 2 (заключительное четное число 6), и на 3 (сумма цифр 1 + 2 + 6 = 9 делится на три)

Характерная особенность делимости на 7.

Число делится на семь если разность его удвоенного последнего числа и "числа, оставшегося без последней цифры"делится на семь, то и само число делится на семь.

Например :

Число 296492. Возьмем последнюю цифру "2", удваиваем, выходит 4. Вычитаем 29649 - 4 = 29645. Проблематично выяснить делится ли оно на 7, следовательно анализируемом снова. Далее удваиваем последнюю цифру "5", выходит 10. Вычитаем 2964 - 10 = 2954. Результат тот же, нет ясности, делится ли оно на 7, следовательно продолжаем разбор. Анализируем с последней цифрой "4", удваиваем, выходит 8. Вычитаем 295 - 8 = 287. Сверяем двести восемьдесят семь - не делится на 7, в связи с этим продолжаем поиск. По аналогии последнюю цифру "7", удваиваем, выходит 14. Вычитаем 28 - 14 = 14. Число 14 делится на 7, итак исходное число делится на 7.

Характерная особенность делимости на 11 .

На одиннадцать делятся только те числа, у которых результат сложения цифр, размещающихся на нечетных местах, либо равен сумме цифр, размещающихся на четных местах, либо отличен на число, делящееся на одиннадцать.

Например:

Число 103 785 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, 1 + 3 + 8 = 12 равна сумме цифр, размещающихся на четных местах 0 + 7 + 5 = 12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, размещающихся на четных местах, есть 1 + 3 + 2 = 6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461 025 не делится на 11, так как числа 4 + 1 + 2 = 7 и 6 + 0 + 5 = 11 не равны друг другу, а их разность 11 - 7 = 4 не делится на 11.

Характерная особенность делимости на 25 .

На двадцать пять поделятся числа , две заключительные цифры которых нули или составляют число, которое можно разделить на двадцать пять (т. е. числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75). При прочих вариантах - число невозможно поделить целиком на 25.

Например:

9450 поделится на 25 (оканчивается на 50); 5085 не делится на 25.

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ чисел - простейшие критерии (правила), позволяющие судить о делимости (без остатка) одних натуральных чисел на другие. Решение вопроса о делимости чисел признаки делимости сводят к действиям над небольшими числами, обычно выполняемым в уме.
Так как основанием общепринятой системы счисления является 10, то наиболее простыми и распространенными являются признаки делимости на делители чисел трех видов: 10 k , 10 k - 1, 10 k + 1 .
Первый вид - признаки делимости на делители числа 10 k , для делимости любого целого числа N на любой целый делитель q числа 10 k необходимо и достаточно, чтобы последняя k-циферная грань (к-циферное окончание) числа N делилась на q. В частности (при к = 1, 2 и 3), получаем следующие признаки делимости на делители чисел 10 1 = 10 (I 1), 10 2 = 100 (I 2) и 10 3 = 1000 (I 3):
I 1 . На 2, 5 и 10 - одноциферное окончание (последняя цифра) числа должно делиться соответственно на 2, 5 и 10. Например, число 80 110 делится на 2, 5 и 10, так как последняя цифра 0 этого числа делится на 2, 5 и 10; число 37 835 делится на 5, но не делится на 2 и 10, так как последняя цифра 5 этого числа делится на 5. но не делится на 2 и 10.

I 2 . На 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100-двуциферное окончание числа должно делиться соответственно на 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100. Например, число 7 840 700 делится на 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100, так как двуциферное окончание 00 этого числа делится на 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100; число 10 831 750 делится на 2, 5, 10, 25 и 50, но не делится на 4, 20 и 100, так как двуциферное окончание 50 этого числа делится на 2, 5, 10, 25 и 50, но не делится на 4, 20 и 100.

I 3 . На 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 и 1000 - трехциферное окончание числа должно делиться соответственно на 2,4,5,8,10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 и 1000. Например, число 675 081 000 делится на все перечисленные в этом признаке числа, так как на каждое из них делится трехциферное окончание 000 заданного числа; число 51 184 032 делится на 2, 4 и 8 и не делится на остальные, так как трехциферное окончание 032 заданного числа делится только на 2, 4 и 8 и не делится на остальные.

Второй вид - признаки делимости на делители числа 10 k - 1: для делимости любого целого числа N на любой целый делительq числа 10 k - 1 необходимо и достаточно, чтобы сумма k-циферных граней числа N делилась на q. В частности (при к=1, 2 и 3), получаем следующие признаки делимости на делители чисел 10 1 - 1 = 9 (II 1), 10 2 - 1=99 (II 2) и 10 3 - 1 = 999 (II 3):
II 1 . На 3 и 9 -сумма цифр (одноциферных граней) числа должна делиться соответственно на 3 и 9. Например, число 510 887 250 делится на 3 и 9, так как сумма цифр 5+1+0+8+8+7+2+5+0=36 (и 3+6=9) этого числа делится на 3 и 9; число 4 712 586 делится на 3, но не делится на 9, так как сумма цифр 4+7+1+2+5+8+6=33 (и 3+3=6) этого числа делится на 3, но не делится на 9.

II 2 . На 3, 9, 11, 33 и 99 - сумма двуциферных граней числа должна делиться соответственно на 3, 9, 11, 33 и 99. Например, число 396 198 297 делится на 3, 9, 11, 33 и 99, так как сумма двуциферных граней 3+96+19+ +82+97=297 (и 2+97=99) делится на 3, 9,11, 33 и 99; число 7 265 286 303 делится на 3, 11 и 33, но не делится на 9 и 99, так как сумма двуциферных граней 72+65+28+63+03=231 (и 2+31=33) этого числа делится на 3, 11 и 33 и не делится на 9 и 99.

II 3 . На 3, 9, 27, 37, 111, 333 и 999 - сумма трехциферных граней числа должна делиться соответственно на 3, 9, 27, 37, 111, 333 и 999. Например, число 354 645 871 128 делится на все перечисленные в этом признаке числа, так как на каждое из них делится сумма трехциферных граней 354+645+ +871 + 128=1998 (и 1 + 998 = 999) этого числа.

Третий вид - признаки делимости на делители числа 10 k + 1: для делимости любого целого числа N на любой целый делитель q числа 10 k + 1 необходимо и достаточно, чтобы разность между суммой k-циферных граней, стоящих в N на четных местах, и суммой k-циферных граней, стоящих в N на нечетных местах, делилась на q. В частности (при к = 1, 2 и 3), получаем следующие признаки делимости на делители чисел 10 1 + 1 =11 (III 1), 10 2 + 1 = 101 (III 2) и 10 3 +1 = 1001 (III 3).

III 1 . На 11 - разность между суммой цифр (одноциферных граней), стоящих на четных местах, и суммой цифр (одноциферных граней), стоящих на нечетных местах, должна делиться на 11. Например, число 876 583 598 делится на 11, так как разность 8 - 7+6 - 5+8 - 3+5 - 9+8=11 (и 1 - 1=0) между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, делится на 11.

III 2 . На 101 - разность между суммой двуциферных граней, стоящих в числе на четных местах, и суммой двуциферных граней, стоящих на нечетных местах, должна делиться на 101. Например, число 8 130 197 делится на 101, так как разность 8-13+01-97 = 101 (и 1-01=0) между суммой двуциферных граней, стоящих в этом числе на четных местах, и суммой двуциферных граней, стоящих на нечетных местах, делится на 101.

III 3 . На 7, 11, 13, 77, 91, 143 и 1001 - разность между суммой трехциферных граней, стоящих в числе на четных местах, и суммой трехциферных граней, стоящих на нечетных местах, должна делиться соответственно на 7, 11, 13, 77, 91, 143 и 1001. Например, число 539 693 385 делится на 7, 11 и 77, но не делится на 13, 91, 143 и 1001, так как 539 - 693+385=231 делится на 7, 11 и 77 и не делится на 13, 91, 143 и 1001.

Серию статей о признаках делимости продолжает признак делимости на 3 . В этой статье сначала дана формулировка признака делимости на 3 , и приведены примеры применения этого признака при выяснении, какие из данных целых чисел делятся на 3 , а какие – нет. Дальше дано доказательство признака делимости на 3 . Также рассмотрены подходы к установлению делимости на 3 чисел, заданных как значение некоторого выражения.

Навигация по странице.

Признак делимости на 3, примеры

Начнем с формулировки признака делимости на 3 : целое число делится на 3 , если сумма его цифр делится на 3 , если же сумма цифр данного числа не делится на 3 , то и само число не делится на 3 .

Из приведенной формулировки понятно, что признаком делимости на 3 не удастся воспользоваться без умения выполнять . Также для успешного применения признака делимости на 3 нужно знать, что из всех на 3 делятся числа 3 , 6 и 9 , а числа 1 , 2 , 4 , 5 , 7 и 8 – не делятся на 3 .

Теперь можно рассмотреть простейшие примеры применения признака делимости на 3 . Выясним, делится ли на 3 число −42 . Для этого вычисляем сумму цифр числа −42 , она равна 4+2=6 . Так как 6 делится на 3 , то в силу признака делимости на 3 можно утверждать, что и число −42 делится на 3 . А вот целое положительное число 71 на 3 не делится, так как сумма его цифр равна 7+1=8 , а 8 не делится на 3 .

А делится ли на 3 число 0 ? Чтобы ответить на этот вопрос, признак делимости на 3 не понадобится, здесь нужно вспомнить соответствующее свойство делимости , которое утверждает, что нуль делится на любое целое число. Таким образом, 0 делится на 3 .

В некоторых случаях чтобы показать, что данное число обладает или не обладает способностью делиться на 3 , к признаку делимости на 3 приходится обращаться несколько раз подряд. Приведем пример.

Пример.

Покажите, что число 907 444 812 делится на 3 .

Решение.

Сумма цифр числа 907 444 812 равна 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39 . Чтобы выяснить, делится ли 39 на 3 , вычислим его сумму цифр: 3+9=12 . А чтобы узнать, делится ли 12 на 3 , находим сумму цифр числа 12 , имеем 1+2=3 . Так как мы получили число 3 , которое делится на 3 , то в силу признака делимости на 3 число 12 делится на 3 . Следовательно, 39 делится на 3 , так как сумма его цифр равна 12 , а 12 делится на 3 . Наконец, 907 333 812 делится на 3 , так как сумма его цифр равна 39 , а 39 делится на 3 .

Для закрепления материала разберем решение еще одного примера.

Пример.

Делится ли на 3 число −543 205 ?

Решение.

Вычислим сумму цифр данного числа: 5+4+3+2+0+5=19 . В свою очередь сумма цифр числа 19 равна 1+9=10 , а сумма цифр числа 10 равна 1+0=1 . Так как мы получили число 1 , которое не делится на 3 , из признака делимости на 3 следует, что 10 не делится на 3 . Поэтому 19 не делится на 3 , так как сумма его цифр равна 10 , а 10 не делится на 3 . Следовательно, исходное число −543 205 не делится на 3 , так как сумма его цифр, равная 19 , не делится на 3 .

Ответ:

Нет.

Стоит заметить, что непосредственное деление данного числа на 3 также позволяет сделать вывод о том, делится ли данное число на 3 нацело, или нет. Этим мы хотим сказать, что не нужно пренебрегать делением в пользу признака делимости на 3 . В последнем примере, 543 205 на 3 , мы бы убедились, что 543 205 не делится нацело на 3 , откуда можно было бы сказать, что и −543 205 не делится на 3 .

Доказательство признака делимости на 3

Доказать признак делимости на 3 нам поможет следующее представление числа a . Любое натуральное число a мы можем , после чего позволяет получить представление вида , где a n , a n−1 , …, a 0 – цифры, стоящие слева направо в записи числа a . Для наглядности приведем пример такого представления: 528=500+20+8=5·100+2·10+8 .

Теперь запишем ряд достаточно очевидных равенств: 10=9+1=3·3+1 , 100=99+1=33·3+1 , 1 000=999+1=333·3+1 и так далее.

Подставив в равенство a=a n ·10 n +a n−1 ·10 n−1 +…+a 2 ·10 2 +a 1 ·10+a 0 вместо 10 , 100 , 1 000 и так далее выражения 3·3+1 , 33·3+1 , 999+1=333·3+1 и так далее, получим
.

И позволяют полученное равенство переписать так:

Выражение есть сумма цифр числа a . Обозначим ее для краткости и удобства буквой А , то есть, примем . Тогда получим представление числа a вида , которым и воспользуемся при доказательстве признака делимости на 3 .

Также для доказательства признака делимости на 3 нам потребуются следующие свойства делимости:

• чтобы целое число a делилось на целое число b необходимо и достаточно, чтобы a делился на модуль числа b ;
• если в равенстве a=s+t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b .

Теперь мы полностью подготовлены и можем провести доказательство признака делимости на 3 , для удобства этот признак сформулируем в виде необходимого и достаточного условия делимости на 3 .

Теорема.

Для делимости целого числа a на 3 необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3 .

Доказательство.

Для a=0 теорема очевидна.

Если a отлично от нуля, то модуль числа a является натуральным числом, тогда возможно представление , где - сумма цифр числа a .

Так как сумма и произведение целых чисел есть целое число, то - целое число, тогда по определению делимости произведение делится на 3 при любых a 0 , a 1 , …, a n .

Если сумма цифр числа a делится на 3 , то есть, А делится на 3 , то в силу свойства делимости, указанного перед теоремой, делится на 3 , следовательно, a делится на 3 . Так доказана достаточность.

Если a делится на 3 , то и делится на 3 , тогда в силу того же свойства делимости число А делится на 3 , то есть, сумма цифр числа a делится на 3 . Так доказана необходимость.

Другие случаи делимости на 3

Иногда целые числа задаются не в явном виде, а как значение некоторого при данном значении переменной. Например, значение выражения при некотором натуральном n является натуральным числом. Понятно, что при таком задании чисел для установления их делимости на 3 не поможет непосредственное деление на 3 , да и признак делимости на 3 удастся применить далеко не всегда. Сейчас мы рассмотрим несколько подходов к решению подобных задач.

Суть этих подходов заключается в представлении исходного выражения в виде произведения нескольких множителей, и если хотя бы один из множителей будет делиться на 3 , то в силу соответствующего свойства делимости можно будет сделать вывод о делимости на 3 всего произведения.

Иногда реализовать такой подход позволяет . Рассмотрим решение примера.

Пример.

Делится ли значение выражения на 3 при любом натуральном n ?

Решение.

Очевидно равенство . Воспользуемся формулой бинома Ньютона:

В последнем выражении мы можем вынести 3 за скобки, при этом получим . Полученное произведение делится на 3 , так как содержит множитель 3 , а значение выражения в скобках при натуральных n представляет собой натуральное число. Следовательно, делится на 3 при любом натуральном n .

Ответ:

Да.

Во многих случаях доказать делимость на 3 позволяет . Разберем его применение при решении примера.

Пример.

Докажите, что при любом натуральном n значение выражения делится на 3 .

Решение.

Для доказательства применим метод математической индукции.

При n=1 значение выражения равно , а 6 делится на 3 .

Предположим, что значение выражения делится на 3 при n=k , то есть, делится на 3 .

Учитывая, что делится на 3 , покажем, что значение выражения при n=k+1 делится на 3 , то есть, покажем, что делится на 3 .

Главная » Группы » Как определить делится ли число без остатка. Основные признаки делимости